3.4.1 Cycles d'hystérésis centrés
Le modèle, construit dans MATLAB, comprend deux outils distincts, l'un pour l'identifica-tion automatique du modèle et l'autre pour la construcl'identifica-tion de cycles d'hystérésis et l'interpréta-tion ultérieure. Le nouveau modèle statique LS a été appliqué à la plupart des familles de ma-tériaux ferromagnétiques, comme l'ensemble des mama-tériaux présentés au Chapitre 2. Par la suite, les performances de ce modèle seront vérifiées par une série de mesures effectuées avec l'échantillon Epstein de NO20. Pour l'identification du modèle, des mesures quasi-statiques ont été réalisées dans les conditions suivantes :
- Fréquence : 5 Hz ;
- Forme d'onde de B : triangulaire contrôlée ;
- Amplitude de B du cycle principal : 1,75 T (champ magnétique de 11 000 A/m) ; - Amplitude de B des cycles intermédiaires : 0,1 T à 1,7 T par pas de 0,1 T, (17 cycles). Il est à noter que la polarisation de saturation du NO20 est d'environ 1,9 T.
Les trois séries d’entrée, ci-dessous pour identifier le modèle, permettent d'analyser la sen-sibilité du modèle aux nombre de cycles utilisés pour identifier le modèle :
- SET1 comprend l'ensemble des 17 cycles mesurés ;
- SET2 comprend 9 cycles avec Ba variant de 0,1 à 1,7 T par pas de 0.2 T - SET3 comprend 5 cycles avec un pas de 0.4 T
Les paramètres γ, δ et σ obtenus pour les 3 séries sont présentés dans le Tableau 3-5 en considérant comme référence ceux du SET1. Comme on peut le voir, dans la majorité des cas, les écarts sont très faibles. Le pire cas observé est le coefficient γ2 du SET2 avec un écart de 39%. De plus, la combinaison de coefficients obtenue est, la plupart du temps, unique. Ces résultats montrent que l’identification des coefficients de la fonction f (δb, Ba) est peu sensible
au nombre de cycles. Donc, il suffit d’utiliser SET3 avec seulement 5 cycles intermédiaires pour construire le modèle de l’uDRC. D’autre part, une faible dérivation signifie que la présence de tous les coefficients dans le modèle est nécessaire, aucun coefficient n’est redondant.
Tableau 3-5 Paramètres de trois modèles identifiés avec trois ensembles de données (valeurs présentées dans le système p.u où les coefficients du SET1 sont définis comme l'unité de base).
(p.u) 𝜹 (p.u) 𝝈 (p.u) (p.u) 𝜹 (p.u) 𝝈 (p.u) (p.u) 𝜹 (p.u) 𝝈 (p.u)
SET1 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
SET2 1,05 1,03 0,90 1,07 1,00 0,95 1,39 1,12 0,99
SET3 1,04 1,06 0,94 1,00 1,04 0,94 1,19 1,08 0,92
Tableau 3-6 Écart relatif des pertes fer de tous les cycles intermédiaires par trois modèles identifiés avec trois séries de données (les valeurs en oranges sont à des cycles qui ne sont pas utilisés pour l’identification de deux modèles par SET2 ou SET3).
Ampli-tude (T) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 SET1 (%) -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,7 -0,6 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -2,5 -1,5 -0,1 -1,0 -2,1 SET2 (%) 0,9 0,6 -0,1 -0,3 -0,4 -0,3 -0,7 -0,3 0,5 0,5 0,3 -0,1 -2,9 -2,0 -0,5 -1,3 -2,4 SET3 (%) 0,8 -0,1 0,1 0,7 0,9 0,5 -1,2 2,5 3,0 -2,9 -2,0 -1,2 -3,2 -1,9 -0,3 -1,1 -2,1
Nous avons également évalué l’impact de ces écarts sur la précision d’estimation des pertes. Les écarts relatifs de pertes fer par rapport aux pertes mesurées (Per e simulation−Per e mesure
Per e mesure ∙
100%) sont donnés dans leTableau 3-6. Même avec le SET3, l’écart est faible, majoritairement inférieur à 2 %, et ne dépasse pas 3,5 %.
Fig. 3-19 (a) Cycles d'hystérésis du NO20 : mesurés et simulés par trois modèles, B(t) sinusoïdale, Ba
= 0,8 T ; (b) Cycles d’hystérésis du NO20 : mesurés et simulés, B(t) sinusoïdale, plusieurs Ba.
La capacité prédictive du modèle est partiellement démontrée par des cycles d'hystérésis centrés, en particulier celles qui ne font pas partie de SET2 et SET3. La Fig. 3-19a présente une comparaison entre les cycles simulés et mesurés à 0,8 T, les cycles identifiés sur la base de SET2 et SET3 étant volontairement décalés vers la gauche et la droite respectivement pour ac-croître la lisibilité de la comparaison. Sans ce traitement, tous les cycles simulés et mesurés seraient confondus. Dans la Fig. 3-19b, plusieurs cycles symétriques simulés et mesurés sont
-1 0 1 -100 0 100 B (T) H (A/m) SET1 Measures -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 -100 -50 0 50 100 Measures SET1 SET2 - 20 A/m SET3 + 20 A/m H (A/m) B (T) (a) (b)
introduits. La précision est remarquable pour tous les cycles.
En plus des résultats de l'échantillon NO20, nous résumons également certains résultats no-tables obtenus avec les six matériaux présentés au chapitre 2. Le modèle LS statique de chaque matériau est identifié à l'aide de trois ensembles de données.
- SET1 : 15 à 21 cycles d’hystérésis avec un pas d’amplitude de 0,1 T ; - SET2 : 8 à 11 cycles d’hystérésis avec un pas d’amplitude de 0,2 T ; - SET3 : 5 à 7 cycles d’hystérésis avec un pas d’amplitude de 0,3 T ;
Pour chaque échantillon, tous les cycles de SET1 sont reconstruits par trois modèles identi-fiés par trois ensembles de données. La procédure de comparaison, comme dans le cas de l'échantillon NO20, est reproduite. Dans le Tableau 3-7, l'écart relatif moyen de pertes fer de tous les cycles (somme de tous les écarts divisés par le nombre de cycles) ainsi que la valeur la plus mauvaise de l'écart relatif de pertes fer sont présentés.
Tableau 3-7 Résultats notables trouvés pour différents matériaux : B(t) sinusoïdale.
Matériau 𝑺 (𝑻) (𝑻) Ecart relatif moyen (%) Le plus mauvais écart relatif (%) SET1 (%) SET2 (%) SET3 (%) SET1 (%) SET2 (%) SET3 (%)
M330-35A 1,97 1,75 0,8 0,8 1,5 3,0 3,1 6,4 M235-35A 1,97 1,75 0,7 0,7 1,3 1,5 1,9 6,5 NO20 1,9 1,75 0,6 0,8 1,4 2,5 2,9 3,2 GO H23L 2,0 1,9 0,8 0,9 0,9 8,7 9,3 10,4 FeNi 1,6 1,55 0,6 0,7 1,5 3,3 3,1 4,9 FeCo 2,4 2,1 0,5 0,6 0,7 1,1 1,6 1,9
L'écart moyen obtenu sur l’estimation des pertes reste très faible dans tous les cas même pour le SET3 quel que soit le matériau. Cela signifie que la plupart des cycles sont reconstruits avec une grande précision. En outre, le plus mauvais résultat obtenu jusqu'à présent est un écart de 10,4 %, ce qui est tout à fait acceptable. Par conséquent, nous pouvons conclure que SET3 (cinq à sept cycles d'hystérésis d'entrée) permet d’identifier le modèle et de reconstruire préci-sément les cycles pour n'importe quel matériau. La fonction d'ajustement présentée s'avère suf-fisamment robuste pour représenter des courbes uDRC avec peu de données expérimentales. En ce qui concerne l'identification du modèle, , le modèle étudié nécessite beaucoup moins de données que le modèle de Preisach (voir la Fig. 1-18) pour une précision identique.
3.4.2 Cycles d'hystérésis contenant des cycles mineurs
La capacité de prédiction du modèle est validée en utilisant des cycles d'hystérésis contenant des cycles mineurs. Ces cycles sont mesurés en imposant une forme d'onde de B(t) qui inclut des harmoniques jusqu'au rang 11. Comme présenté au Chapitre 2 un signal H3-50-60-1 cor-respond à une excitation B(t) d'une amplitude de 1 T comprenant une harmonique fondamentale et une harmonique 3 dont l'amplitude est de 50% de la fondamentale et est déphasée de 60°. Les résultats d'une combinaison de quatre formes d'onde d'induction et de trois niveaux
d'amplitude sont présentés dansle Tableau 3-8.
Ce tableau montre que la prédiction de pertes fer est constamment bonne, et que la plus grande divergence est tout à fait acceptable. La sous-estimation observée des pertes peut s'ex-pliquer par des effets dynamiques. Bien que la fréquence fondamentale soit de 5 Hz, l’harmo-nique d’ordre 11 est déjà de 55 Hz, ce qui nous éloigne du régime quasi-statique.
Tableau 3-8 Ecarts des pertes fer du NO20 données par trois modèles de pertes : B(t) harmonique.
Type de signal H3-50-60 H5-50-60 H5-25-180 H11-25-60
Amplitude (T) 0,5 1,0 1,5 0,5 1,0 1,5 0,5 1,0 1,5 0,5 1,0 1,5
SET1 (%) 0,5 2,0 3,8 -2,0 -0,2 -0,1 -2,2 -0,6 3,2 -3,9 -2,1 -4,6
SET2 (%) 0,1 2,5 3,4 -2,2 0,2 -0,4 -2,6 -0,1 2,8 -4,2 -1,7 -5,0
SET3 (%) 1,3 -0,7 3,5 -1,2 -2,7 -0,4 -1,4 -3,4 3,0 -3,2 -4,7 -5,0
Dans la Fig. 3-21, trois cycles simulés sont comparés avec les cycles expérimentaux corres-pondants. Comme on peut le voir, malgré la sur- et la sous-estimation, l'écart est insignifiant et les courbes de renversement sont bien représentées. Un autre résultat notable est présenté dans la Fig. 3-21, où la courbe d'hystérésis de désaimantation simulée coïncide en grande partie avec l'expérience. Dans ce cas, la forme d'onde d'induction est imposée pour avoir une amplitude initiale de 1,7 T, qui se réduit et atteint à l'état désaimanté après 17 périodes (Fig. 3-20).
Fig. 3-20 B(t) d'un cycle d'hystérésis de désaimantation de 1 s.