3.2.1 Comportements expérimentaux des composantes de champs
a. Courbe anhysterétique Hanhys(B)
La Fig. 3-4 présente les courbes Hanhys(B) mesurées de trois matériaux (M235-35A, FeNi et FeCo). Elles sont en fait les courbes médianes de deux branches des cycles d’hystérésis à quasi-saturation. Le comportement de ces courbes est bien connu avec une augmentation monotone et une perméabilité relative µ0 à la saturation.
Fig. 3-4 Courbes anhysterétique de M235-35A, FeNi et FeCo : (a) vue globale, (b) zoom.
b. Enveloppe du cycle majeur 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 (𝐵)
Dans laFig. 3-2b, 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 (𝐵) comprend deux parties symétriques : l’une positive 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 (𝐵) associée à l'augmentation de B et l’autre négative 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣−(𝐵) associée à la décroissance de B. La surface définie par 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 (𝐵) est rigoureusement la même que celle du cycle d'hystérésis prin-cipal. L'allure de l'enveloppe est modifiée en fonction des propriétés intrinsèques du matériau considéré. La Fig. 3-5 représente l’enveloppe positive de 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 pour 6 matériaux. Même si ces enveloppes ne présentent pas un motif tout à fait similaire, on observe toujours un maximum de 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 dans le plan positive et un autre dans le plan négatif. Après le pic positif ou avant le pic négative, 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 décline rapidement et s'annule pour les valeurs extrêmes de B (±Ba). La courbe 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 (𝐵) est potentiellement modélisable par des fonctions mathématiques. L’échantil-lon FeCo est un cas particulier très dynamique. Donc, même si la mesure quasi-statique est menée à 10 Hz, on observe bien les pics mineurs dû aux phénomènes dynamiques.
Fig. 3-5 Enveloppe des matériaux examinés.
0 0.5 1 1.5 2 0 5000 10000 15000 20000 B (T) H (A/m) M235-35A FeNi FeCo 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 100 200 300 400 B (T) H (A/m) M235-35A FeNi FeCo (a) (b) (a) (b)
c. Courbes 𝐻1𝑠𝑡𝑀𝑎𝑔𝑒𝑛𝑣 (𝐵) et ΔH1stMag(B)
En effectuant la mesure d’un ensemble de cycles d’hystérésis centrés, on peut déterminer la courbe de première aimantation par les points de renversements (Ba, Ha) de ces cycles. Car (Ba, Ha) ∈ H1stMag(B), on a donc :
𝐻𝑎= 𝐻1𝑠𝑡𝑀𝑎𝑔(𝐵𝑎) (3-5)
Les courbes Hanhys(B) et H1stMag(B) sont confondues à l’origine et à ±Jsat. La différence entre ces courbes donne la courbe 𝐻1𝑠𝑡𝑀𝑎𝑔𝑒𝑛𝑣 (𝐵). Dans la modélisation d’hystérésis statique, en géné-rale, la courbe de première aimantation est supposée ne jamais traverser la frontière engendrée par deux branches du cycle majeur. On observe cette hypothèse dans la Fig. 3-2b et la Fig. 3-6
(exemple sur l’échantillon M330-35). La différence entre la partie positive de 𝐻1𝑠𝑡𝑀𝑎𝑔𝑒𝑛𝑣 (𝐵) et l’enveloppe positive 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 (𝐵) s’annule de façon monotone et progressive lorsque B se dirige vers +Jsat. Cette différence est désignée ΔH1stMag(B). Elle est calculée par :
Δ𝐻1𝑠𝑡𝑀𝑎𝑔(𝐵) = 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 (𝐵) − 𝐻1𝑠𝑡𝑀𝑎𝑔𝑒𝑛𝑣 (𝐵) 𝑠𝑖 𝐵 ≥ 0 Δ𝐻1𝑠𝑡𝑀𝑎𝑔(𝐵) = 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣−(𝐵) − 𝐻1𝑠𝑡𝑀𝑎𝑔𝑒𝑛𝑣 (𝐵) 𝑠𝑖 𝐵 < 0
(3-6)
En modélisant 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 (𝐵) et ΔH1stMag(B), on trouve une modélisation de 𝐻1𝑠𝑡𝑀𝑎𝑔𝑒𝑛𝑣 (𝐵).
Fig. 3-6 M330-35A : (a) Courbe H1 env (B) et (b) courbe ΔH1stMag(B).
d. Courbes Hcomp(B) et ΔH(B)
La courbe Hcomp(B) d’un cycle d'hystérésis intermédiaire est présentée dans la Fig. 3-2b. La partie descendante apparait en trait plein, et celle ascendante est en pointillés. Comme dans tout cycle d'hystérésis intermédiaire, les branches d’hystérésis coupent toujours la courbe anhysté-rétique, la courbe Hcomp(B) correspondante doit donc passer par zéro. Elle varie d'une valeur positive à une valeur négative avec une trajectoire imposée par l'enveloppe 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 (𝐵) et le point de rebroussement. En général, la variation de la courbe Hcomp d’un cycle intermédiaire n'est pas uniformément monotone comme montrée dans la Fig. 3-2. Cette variation est assez difficile à modéliser mathématiquement.
En ce qui concerne ΔH, la Fig. 3-8 présente l’allure de ΔH(B) pour deux échantillon NO20 et FeNi à divers niveaux d’amplitude Ba. Dans tous les cas, ΔH s'annule progressivement à partir de la valeur initiale ΔHreb (points noirs) à la valeur finale ΔHrebp (la fin des courbes). Sa
variation est visiblement monotone ce qui ouvre la possibilité de modéliser l’allure ΔH(B) par une homothétie. Dans ce cas, en modélisant l’enveloppe 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 et la quantité ΔH, on peut dé-duire Hcomp(B) par (3-7).
𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝 = 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 + Δ𝐻 (3-7)
Fig. 3-7 Courbes Hcomp(B) des cycles centrés du NO20 (Ba de 0,1 T à 1,7 T avec un pas de 0,1 T).
Fig. 3-8 Courbes ΔH(B) de (a) NO20 et (b) FeNi : plusieurs Ba (pas de 0,1 T).
e. Courbe de renversement différentielle unitaire (uDRC)
Dans la Fig. 3-9, les courbes ΔH(B) des du NO20 et du FeNi sont ramenées en échelles relatives et deviennent δh(δb). Δh et δb d’une courbe de renversement quelconque limitée par deux extremums avec coordonnées (Breb, ΔHreb) et (Brebp, ΔHrebp) sont normalisés selon les équa-tions (3-8). Pour les cycles centrés comme dans le cas de la Fig. 3-9, comme Breb = + Ba et Brebp = – Ba, δb est simplement calculé par (B + Ba)/(2Ba). Cela induit nécessairement (δbreb, δhreb) = (1,1) et (δbrebp, δhrebp) = (0,0). Comme B varie de Breb à Brebp, δb varie entre 1 et 0.
𝛿ℎ = 𝛥𝐻 − 𝛥𝐻𝑟𝑒𝑏𝑝
𝛥𝐻𝑟𝑒𝑏− 𝛥𝐻𝑟𝑒𝑏𝑝 ; 𝛿𝑏 =
𝐵 − 𝐵𝑟𝑒𝑏𝑝
𝐵𝑟𝑒𝑏− 𝐵𝑟𝑒𝑏𝑝 (3-8)
Comme le montre laFig. 3-9, il existe visiblement une règle de variation δh=f(δb). Lorsque δb varie de 1 à 0, la courbe δh varie rapidement au début (B = Breb = Ba ou δbreb = 1), pour se rapprocher de sa valeur minimale d’une manière monotone. Cette remarque est d’autant plus vraie que le niveau d’induction est élevé. Si l'on compare des courbes δh(δb) à un niveau de δb, plus l'amplitude de l’induction est élevée, plus la valeur de δh est faible.
(a) (b) Ba Ba Ba Ba ∆H (A/m)
Fig. 3-9 δh en fonction de la δb pour différents niveaux de Ba : (a) NO20 et (b) FeNi.
Fig. 3-10 NO20 : (a) Cycle majeur avec Bmax = 1,75 T et cycle d'hystérésis composant des cycles mineurs ; (b) ΔH et (c) δh(δb) (uDRC) de trois courbes de renversement.
L'annulation progressive de δh n'est pas seulement observée dans le cas des cycles d'hysté-résis centrées, mais aussi dans le cas des courbes de renversement d'ordre quelconque (cycles mineurs) comme illustré dans la Fig. 3-10. Dans cette figure, trois courbes de renversement d’un cycle d’hystérésis avec des cycles mineurs sont représentées. Ces courbes ont des valeurs différentes de Breb, Brebp mais leurs courbes ΔH(B) et δh(δb) suivent toutes le même type de variation.
Ainsi, en développant un modèle de δh(δb) appelé courbe de renversement différentielle unitaire (uDRC), on a la possibilité d'identifier ΔH quelle que soit la courbe de renversement en utilisant la relation suivante.
Δ𝐻 = (Δ𝐻𝑟𝑒𝑏− Δ𝐻𝑟𝑒𝑏𝑝) ∙ 𝛿ℎ + Δ𝐻𝑟𝑒𝑏𝑝; avec 𝛿ℎ = 𝑓(𝛿𝑏, 𝐵𝑎) (3-9)
Avec Ba à ce stade l’amplitude équivalente en B d’une courbe de renversement, elle est cal-culée par Ba = (Breb – Brebp)/2; dans le cas d’un cycle d’hystérésis centré, Ba est exactement l’amplitude de l’aimantation B(t).
Pour une courbe de renversement, ΔHreb et ΔHrebp sont déterminés par les coordonnées sau-vegardées dans la mémoire magnétique. En appliquant (3-9) dans (3-7), on trouve l’expression de Hcomp(B) dans le cas général.
𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝(𝐵) = (Δ𝐻𝑟𝑒𝑏− Δ𝐻𝑟𝑒𝑏𝑝) ∙ 𝛿ℎ(𝛿𝑏, 𝐵𝑎) + Δ𝐻𝑟𝑒𝑏𝑝+ 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 (𝐵) (3-10)
Maintenant, on considère le cas des cycles d’hystérésis centrés utilisés pour l’identification de notre modèle. Comme les extrema de ces cycles sont déterminés par la courbe de première aimantation, les valeurs de ΔHreb et ΔHrebp de la branche descendante sont données par :
(a) (b) Ba Ba Ba Ba (a) (b) (c) Ba Ba Ba B a Ba Ba
{Δ𝐻𝑟𝑒𝑏= 𝐻1𝑠𝑡𝑀𝑎𝑔
𝑒𝑛𝑣 (𝐵𝑎) − 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣−(𝐵𝑎)
Δ𝐻𝑟𝑒𝑏𝑝= −𝐻1𝑠𝑡𝑀𝑎𝑔𝑒𝑛𝑣 (𝐵𝑎) − 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣−(𝐵𝑎) (3-11)
Et donc l’expression de ΔH dans (3-9) devient :
Δ𝐻 = 2𝐻1𝑠𝑡𝑀𝑎𝑔𝑒𝑛𝑣 (𝐵𝑎) ∙ 𝛿ℎ(𝛿𝑏, 𝐵𝑎) − 𝐻1𝑠𝑡𝑀𝑎𝑔𝑒𝑛𝑣 (𝐵𝑎) − 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣−(𝐵𝑎) (3-12)
En remplaçant 𝐻1𝑠𝑡𝑀𝑎𝑔𝑒𝑛𝑣 (𝐵𝑎) par 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 (𝐵𝑎) − 𝛥𝐻1𝑠𝑡𝑀𝑎𝑔(𝐵𝑎) et −𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣−(𝐵𝑎) par 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 (𝐵𝑎), on trouve :
Δ𝐻 = 2[Hcompenv (B ) − Δ𝐻1𝑠𝑡𝑀𝑎𝑔(𝐵𝑎)] ∙ 𝛿ℎ(𝛿𝑏, 𝐵𝑎) + Δ𝐻1𝑠𝑡𝑀𝑎𝑔(𝐵𝑎) (3-13)
L’expression de Hcomp(B) de la branche descendante d’un cycle d’hystérésis centré devient :
𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝(𝐵) = 2[𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 (𝐵𝑎) − 𝛥𝐻1𝑠𝑡𝑀𝑎𝑔(𝐵𝑎)] ∙ 𝛿ℎ(𝛿𝑏, 𝐵𝑎) + 𝛥𝐻1𝑠𝑡𝑀𝑎𝑔(𝐵𝑎) − 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 (𝐵) (3-14)
Avec la même procédure, on trouve l’expression de Hcomp(B) de la branche montante :
𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝(𝐵) = 2[−𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 (𝐵𝑎) + 𝛥𝐻1𝑠𝑡𝑀𝑎𝑔(𝐵𝑎)] ∙ 𝛿ℎ(𝛿𝑏, 𝐵𝑎) − 𝛥𝐻1𝑠𝑡𝑀𝑎𝑔(𝐵𝑎) + 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 (𝐵) (3-15)
Pour reconstruire la courbe Hcomp(B) d’un cycle d’hystérésis centré considéré comme entrée de la démarche d’identification du modèle, il nous faut la modélisation de : 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 (𝐵), ΔH1stMag(B) et δh(δb, Ba).
3.2.2 Procédure générale du modèle
Pour reconstruire le champ statique, on a besoin d’outils mathématiques capables de modé-liser les courbes Hanhys(B), 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 (𝐵), ΔH1A(B) et δh(δb, Ba). Les composantes Hanhys(B),
𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 (𝐵) et ΔH1stMag(B) peuvent être simplement modélisées par des tableaux de points et une technique d’interpolation car elles ne dépendent pas de l’histoire magnétique. Néanmoins, la modélisation analytique est toujours préférable. En effet, selon les observations expérimentales, ces courbes sont potentiellement modélisables mathématiquement. La fonction δh(δb, Ba) est sans doute la plus importante car elle décide du comportement d’hystérésis du modèle. Des formules dédiées à ces quatre composantes sont présentées dans la section 3.3.
Après avoir présenté les principes du modèle et séparé le champ statique en différentes com-posantes modélisables par des outils mathématiques, on présente dans ce paragraphe la procé-dure générale pour reconstruire un cycle d’hystérésis dans le cas d’une excitation B(t) quel-conque. Cette procédure a été mise en œuvre dans un programme MATLAB. Elle comprend quatre étapes principales en orange illustrées par l’organigramme de la Fig. 3-11.
A chaque état magnétique B(t), le programme aborde quatre étapes principales suivantes : 1. Calcul à chaque instant des composantes de champs indépendants de l’histoire
magné-tique : Hanhys(B), et 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 (𝐵) sont interpolés ou calculés analytiquement ;
2. Mise à jour de l’histoire magnétique : en utilisant la stratégie de gestion de l’histoire magnétique, le programme détecte s’il y a un nouvel extremum à ajouter aux deux piles des extrema ou s’il faut effacer un ou plusieurs anciens extrema ; les coordonnées (Breb,
Hreb, ΔHreb) et (Brebp, Hrebp, ΔHrebp) de deux extrema les plus récents sont utilisés pour les calculs dans l’étape 3 ;
3. Calcul de la composante dépendant de l’histoire magnétique ΔH(B, Ba) : l’amplitude équivalente Ba et la valeur normalisée de l’induction δb sont déduites sur la base Breb et Brebp en utilisant (3-8) ; ensuite, en phrase d’initiation où il n’existe aucun extremum dans la mémoire, ΔH(B, Ba) est remplacé par ΔH1stMag(B), au cas contraire, δh(δb, Ba) est calculée analytiquement pour déduire ΔH(B, Ba) en utilisant (3-9) ;
4. Détermination de Hstat : sommer les composantes de champs pour trouver Hstat par (3-7).
Fig. 3-11 Organigramme de la procédure générale du modèle.