Principe de la méthode numérique

Nous présentons la méthode utilisée pour mesurer la dépendance en température de la fréquence de résonance et du facteur de qualité de l’oscillateur de torsion en utilisant la détection synchrone numérique SR 830. Est présenté Fig. 4.18 le circuit du montage électrique de mesure. La tension excitatrice sinusoïdale est produite par le générateur de tension (Agilent 33250 A) dont la base de temps est synchronisée à l’horloge du fréquencemètre (HP 53132A). Ce fréquencemètre dispose de l’op-tion 012, ce qui lui confère une horloge interne très stable. Les fluctual’op-tions relatives de la fréquence sont inférieures à 2.10⁻⁹ par an. Pour une fréquence d’utilisation de 1 kHz, les fluctuations de période sont inférieures à 10 fs sur 1 an, ce qui est très faible devant le bruit sur la période de l’oscillateur (∼0.02 ns) mesuré avec cette méthode.

Le courant produit par l’électrode détectrice est amplifié par le préamplificateur de courant (SR 570), la tension résultante est filtrée par le filtre passe-bande (SR 650) avant d’entrer dans la détection synchrone (SR 830). La détection synchrone est

synchronisée avec le générateur de tension et permet d’extraire la partie en phase et la partie en quadrature de phase de cette tension entrante.

R

Détéction

Tension de polarisation (bias voltage)

Excitation

Détection synchrone (SR 830)

entrée entrée

(ref)

Base de temps (HP 53132A)

sortie «time base»

Générateur (Agilent 33250 A)

sortie sync.

Préampli. de courant (SR570)

entrée sortie

entrée

«time base»

GPIB

Ordinateur Filtre passe-bande

(SR650)

sortie entrée

Figure4.18 – Schéma du montage électrique de mesure de la méthode à fréquence et amplitude constante réalisée avec la détection synchrone SR830.

La démarche suivie pour obtenir la dépendance en température du facteur de qualité et de la fréquence de résonance de l’oscillateur est la suivante :

1. Un balayage en fréquence autour de la fréquence de résonance de l’oscillateur (∼ 906 Hz) permet, à partir d’un ajustement par une fonction lorentzienne, d’obtenir le facteur de qualité du résonateur, la fréquence de résonance et l’am-plitude de la résonance à une température donnée. Un exemple d’ajustement des mesures réalisés dans le liquide à 10 mK est présenté Fig. 4.19

2. Nous réalisons ensuite un balayage en température, en excitant l’oscillateur de torsion à la fréquence de résonance ajustée précédemment, c’est-à-dire au début du balayage en température. Ensuite, la fréquence de résonance évolue suffisamment peu (quelques mHz au plus) pour qu’on puisse extraire la vraie fréquence de résonance à chaque température. Pour extraire la nouvelle fré-quence de résonance à partir de la précédente, on utilise une méthode proposée par Morley et al. [132]. Nous mesurons la partie en phase et en quadrature

Figure4.19 – Ajustement

de phase de l’oscillateur avec la détection synchrone. Ainsi, à partir des équa-tions constitutives de l’oscillateur de torsion harmonique amorti en régime forcé, nous pouvons déterminer le nouveau facteur de qualité et la nouvelle fréquence de résonance à chaque température.

3. Un programme Labview nous permet d’automatiser le balayage en tempéra-ture et de calculer le facteur de qualité à chaque palier de températempéra-ture. Nous pouvons réajuster la tension d’excitation en fonction du facteur de qualité de l’oscillateur à chaque palier de température. On peut ainsi réaliser une mesure à amplitude constante. Les mesures précédentes avec la détection synchrone PAR 124 étaient réalisées à tension d’excitation constante donc l’amplitude variait en température avec le facteur de qualité.

4. À la fin de la descente (ou montée) en température, on fait un nouvel ajus-tement de la résonance par une fonction lorentzienne afin de vérifier qu’on a bien déterminé la bonne fréquence de résonance.

Nous écrivons maintenant les équations constitutives de l’oscillateur de torsion har-monique amorti en régime forcé à partir de l’équation du mouvement :

I ¨θ+ b ˙θ+ Kθ =τ (4.30) où I est le moment d’inertie de l’oscillateur,θest la position angulaire,τ est le couple excitateur, K est la constante de rigidité et b est le coefficient d’amortissement.

Pour une excitation harmonique τ =τ0exp iωt, une solution particulière est θ(ω) =

K/I est la pulsation de résonance etQ= I/(bω₀)est le facteur de qualité de l’oscillateur. L’amplitude angulaire maximum θ^max est donc :

θ^max=θ0(ω=ω0) = Qτ0

Iω²₀ (4.34)

En prenant la partie imaginaire et la partie réelle de l’équation 4.31, on trouve : ω²₀ = ω²

Le signe − dans l’expression du facteur de qualité Q provient du fait que le couple excitateurτ et la position angulaireθsont en quadrature de phase (φ0 =−π) lorsque ω << ω0. Le termesinφ0 est donc toujours négatif et le facteur de qualité est bien toujours positif. Nous utiliserons une pulsation d’excitation ω toujours très proche de la pulsation de résonance ω0.

ω=ω0+δω , avec δω ∼1 mHz (4.37) soit δω/ω∼10⁻⁶. Ainsi, nous pouvons réécrire les équations 4.35 et 4.36 :

ω₀² ≃ ω² En réalisant un balayage en fréquence à une température T=T1 quelconque et en ajustant la tension mesuréeVmes(ω) par une fonction lorentzienne, nous obtenons la fréquence de résonance, le facteur de qualité et l’amplitude de la résonance à cette température T=T1. En excitant l’oscillateur à une pulsationωproche de la fréquence de résonance trouvée et mesurant le signal de réponse en phase et en quadrature de phase de l’oscillateur de torsion. Nous pouvons déterminer, à partir de θ^max₁ et Q1, respectivement l’amplitude de la résonance et le facteur de qualité mesuré à

la température T=T1, le nouveau facteur de qualité Q et la nouvelle pulsation de résonance ω0 à toute autre température.

Nous rappelons l’expression de Vmes(ω)en utilisant les formules de l’oscillateur de torsion données à la section 4.2.1. On rappelle que la force excitatrice F(t) s’exerçant sur l’ailette excitatrice de l’oscillateur de torsion est :

F(t)≃ CeV₀²

2x_e − CeV0Ve

x_e exp iωt (4.40)

et que le courant I(t) produit par l’électrode de détection est : I(t) = −iωCdV0

δxdexp i(ωt+φ0(ω))

x⁰_d (4.41)

Le couple τ(t) est relié à la force excitatrice F(t) par :

τ(t) = Raile×F(t) (4.42) Ce qui nous intéresse, c’est la partie oscillante du couple appliqué :

τ(t) =−Raile

C_eV₀V_e xe

exp iωt (4.43)

et l’amplitude de la position angulaireθ0 est reliée au déplacementδxdde l’électrode de détection par :

θ0 ≃ δx_d Raile

(4.44) Finalement, l’amplitude I0(ω)du courant produit par l’électrode détectrice s’écrit :

I0(ω) = − iω R²_aile(CdV0)²Ve

x⁰_dx⁰_e I(ω²₀−ω²+ iQ⁻¹ω0ω) (4.45) La tension mesuréeV_mes(ω)par la détection synchrone SR 830 est :

Vmes(ω) = G(I0(ω) +Icapa(ω)) exp iξ (4.46) où G est le gain du préamplificateur de courant (SR 570), Icapa est le courant dû au couplage capacitif entre les électrodes excitatrices et détectrices et ξ est la phase supplémentaire du filtre et du préamplificateur de courant. Nous pouvons déterminer ce courant capacitif facilement en coupant la tension de polarisation de l’électrode centrale (V0 = 0) et en mesurant l’amplitude de la position angulaire θ0 en fonction de la tension appliquée Ve à l’électrode excitatrice. L’oscillateur de torsion sort du régime linéaire à basse tension d’excitation lorsque le couplage capacitif devient aussi important que le signal direct de l’oscillateur. Nous avons mesuré un courant capacitif entre l’électrode excitatrice et l’électrode détectrice de 6 fA (rms), ce qui est négligeable devant le courant I0(ω), typiquement de l’ordre de 100 pA (rms).