Preuve de la compl´ etude de Z

On suppose dans toute cette partie que les hypoth`eses du th´eor`eme 3.3.8 sont v´erifi´ees. D’apr`es l’article de Mostow [Mos80], l’application d´eveloppante DZ ∶ Z → H2

C est un

hom´eomorphisme local, et la structure cellulaire de Z est localement finie. Rappelons d’abord la m´etrique consid´er´ee sur Z :

— ´etant donn´es deux points x et y de Z, on consid`ere l’ensemble des chemins entre x et y qui sont une union finie de sous-chemins C1, chacun inclus dans une copie de P. On les appelle chemins admissibles. La longueur d’un chemin admissible est la somme des longueurs hyperboliques des sous-chemins. La distance entre x et y est alors l’infimum des longueurs des chemins admissibles entre x et y.

Notons dZ cette m´etrique. L’application d´eveloppante DZ ∶ (Z, d_Z) → (_H2

C, dhyp) d´ecroˆıt

alors les distances : l’image d’un chemin admissible par DZest un chemin C1 par morceaux

de H2_Cde mˆeme longueur, et cette longueur est sup´erieure `a la distance hyperbolique entre ses extr´emit´es.

Cette m´etrique sur Z fait de DZ une isom´etrie locale. En effet, supposons que DZ∣_U ∶ U ⊂ Z → V ⊂ H2_C est un hom´eomorphisme (o`u U et V sont des ouverts). Le relev´e `a U d’un segment g´eod´esique dans V est un chemin admissible pour Z (la structure cellulaire de Z est localement finie, donc le relev´e intersecte bien un nombre fini de copies de P), et sa longueur dans Z est ´egale `a la longueur hyperbolique. Donc DZ∣_U est une isom´etrie.

Pour montrer la compl´etude de Z sous les hypoth`eses du th´eor`eme 3.3.8, on utilise le lemme suivant :

Lemme 3.3.9. Soit P ⊂ H2_Cun poly`edre bord´e par des bissecteurs et admettant un syst`eme d’identifications de faces qui v´erifie les conditions de cycles et la propri´et´e 3.3.7. Alors il existe ε > 0 tel que pour tout g ∈ G, le ε−voisinage de {g} × P dans Z intersecte seulement un nombre fini de copies de P.

Montrons d’abord la compl´etude de Z avec le lemme 3.3.9. Soit (xn)_n∈N une suite de Cauchy dans Z. D’apr`es le lemme pr´ec´edent, (xn)<sub>n∈N</sub> visite seulement un nombre fini de copies de P dans Z. Quitte `a extraire une sous-suite et `a composer par un ´el´ement de Γ, on peut donc supposer que tous les termes xn sont dans {id} × P. Mais P est ferm´e dans

H2_C, donc complet, donc toute suite de Cauchy dans P converge. Donc par d´efinition de la m´etrique sur Z, (xn)_n∈N converge, et Z est complet.

Montrons `a pr´esent le lemme 3.3.9.

D´emonstration. G agit par isom´etries sur Z, donc il suffit de montrer le lemme pour {id} × P. La structure cellulaire de Z est localement finie, donc pour tout point [(id, x)] ∈ {id} × P, il existe εx>0 tel que la boule (dans Z) de rayon ε_xautour de [(id, x)] rencontre seulement un nombre fini de copies de P.

P n’est pas compact en g´en´eral, donc on ne peut pas en d´eduire l’existence d’un sous-recouvrement fini. On va montrer cependant que l’hypoth`ese sur les points `a l’infini implique l’existence d’un ε uniforme hors d’un compact de P, ce qui donne le r´esultat voulu. Soit p ∈ ∂∞P un point `a l’infini de P. On se place dans le mod`ele de Siegel, et on

suppose que p est le point `a l’infini dans ce mod`ele. D’apr`es la propri´et´e 3.3.7, l’image de la d´eveloppante du sous-ensemble Zp de Z est form´ee seulement d’un nombre fini de copies

de P. P admet un nombre fini de faces, donc il y a seulement un nombre fini de faces non verticales (i.e. non adjacentes `a p) dans la d´eveloppante de Zp. Les sph`eres spinales des

bissecteurs portant les faces non verticales sont born´ees dans ∂∞H 2

C, donc il existe une

sph`ere spinale qui les contient toutes strictement. Soit Bp le bissecteur correspondant.

D’apr`es le th´eor`eme 3.3.6, puisque la sph`ere spinale de Bp est disjointe de celles des

copies de P, et s´epare p des faces non verticales, voir Figure 3.5. On note B−

p le demi-

espace contenant les faces non verticales, et B+

p celui contenant p.

Figure 3.5 – Exemple dans H3_R : Zp est form´e de trois copies de P. Dans ce contexte, B

est un h´emisph`ere, qui englobe toutes les faces non verticales.

Bp est `a distance strictement positive des faces non verticales, donc il existe εp tel que

le εp-voisinage de P ∩ Bp+ est enti`erement inclus dans la d´eveloppante de Zp. Montrons

alors que dans Z, le εp-voisinage de {id} × (P ∩ B+p) est inclus dans Zp. Soit x un point

de {id} × (P ∩ B+

p), et y ∈ Z ∖ Zp. Alors tout chemin de x `a y sort de Zp et donc traverse

une face qui n’est pas incidente `a p dans Z. L’image dans H2_C d’un tel chemin traverse B et l’une des faces non verticales de la d´eveloppante de Zp. Sa longueur hyperbolique est

Puisque Zp est compos´e d’un nombre fini de copies de P par hypoth`ese, le εp-voisinage

de {id} × (P ∩ B+

p) rencontre seulement un nombre fini de copies de P.

Notons de plus que ∂∞P ⊂∂∞H 2

Cest un compact de ∂∞H 2

C, et que pour tout bissecteur

B, ∂∞(P ∩B +

)est un ouvert pour la topologie induite sur ∂∞P par la topologie du bord

de l’espace hyperbolique (voir section 1.1.3). Il existe donc un nombre fini de points `a l’infini p1, . . . , pm de P tels que ∂∞P est recouvert par les ∂∞(P ∩B

+

pi), en reprenant les

notations du paragraphe pr´ec´edent. P priv´e des demi-espaces B_p+

i est compact, donc son image dans {id} × P est recouverte

par un nombre fini de boules B(x, εx) comme ci-dessus. Soit ε le minimum de ces ε_x et des εpi : alors le ε-voisinage de {id} × P dans Z intersecte seulement un nombre fini de

copies de P.