L’algorithme de Vinberg donne une pr´esentation des groupes O(qj, Z), dont les g´en´e-
rateurs sont les r´eflexions par rapport aux faces du poly`edre fondamental. Au paragraphe pr´ec´edent, on a exprim´e les g´en´erateurs des groupes Γ′
j en fonction de ceux de O(qj, Z). Il
reste donc `a calculer l’indice, dans un groupe finiment pr´esent´e, d’un sous-groupe donn´e par ses g´en´erateurs. Ceci peut ˆetre fait `a l’aide de la m´ethode de Todd-Coxeter, d´ecrite succinctement au paragraphe suivant.
La m´ethode de Todd-Coxeter pour le calcul de l’indice d’un sous-groupe La
r´ef´erence utilis´ee dans cette partie est l’article de Neub¨user [Neu81]. Soient G = ⟨g1, . . . , gn∣r1, . . . , rt⟩ un groupe finiment pr´esent´e, et H = ⟨h1, . . . , hs⟩ un sous-groupe de G donn´e par ses
g´en´erateurs, o`u les hi sont des mots en les gj. La m´ethode de Todd-Coxeter permet de
calculer l’indice [G ∶ H] (s’il est fini) en ´enum´erant au fur et `a mesure toutes les classes lat´erales `a droite Hg, g ∈ G, de H. Une table r´esumant l’action des gi et de leurs inverses
sur les classes lat´erales est construite et remplie tout au long du proc´ed´e. Lorsque l’algo- rithme termine, on obtient donc en plus de l’indice [G ∶ H] une repr´esentation de l’action de G sur l’ensemble des classes `a droite H/G.
Les classes Hg sont num´erot´ees au cours de l’algorithme : H est la classe 1, et on construit pas `a pas des classes 2, 3, etc. La “table de multiplication“ de G sur H/G, qui admet une ligne par classe construite jusqu’`a pr´esent, est remplie au fur et `a mesure. A
chaque cr´eation de classe, une ligne est ajout´ee. Exemple d’une telle table en cours de construction : g1 . . . gn g1−1 . . . gn−1 1 2 3 2 1 3 1
dans cet exemple : 2 = Hg1, 3 = Hg1−1
A chaque ´etape, on utilise les relations ri et les g´en´erateurs hj de H pour d´eduire des
relations sur les classes d´ej`a existantes. On construit donc en parall`ele des “tables de sous- groupes” et ”tables de relations” pour trouver ces informations suppl´ementaires. Elles sont bas´ees sur le principe suivant :
— si hj est un g´en´erateur de H, alors Hhj = H : pour chaque g´en´erateur hj = gj1. . . gjm, on a donc une table de la forme
gj1 . . . gjm
1 1 o`u
gj
k l signifie que kgj =l — si ri =gi1. . . gi
l est une relation de G, alors pour chaque classe lat´erale Hg, on a
Hggi1. . . gil = Hg : chaque relation donne donc une table (avec autant de lignes
que de classes lat´erales construites) de la forme suivante gi1 . . . gil
1 1
2 2
⋮ ⋮
Chaque fois qu’une nouvelle classe lat´erale est d´efinie, une ligne est ouverte dans la table de multiplication et les tables de relations. Les informations contenue dans la table de multiplication permettent de remplir un certain nombre de cases. Au fur et `a mesure du remplissage, des informations suppl´ementaires peuvent ˆetre obtenues : des d´eductions (donnant une nouvelle relation du type kgj =l), ou des co¨ıncidences (k = l). Ces informa- tions suppl´ementaires sont `a nouveau report´ees dans la table de multiplication, puis dans les autres tables. La construction de la table de multiplication (la seule qui importe `a la fin, puisqu’elle contient toutes les informations) est donc compl`etement algorithmique.
Sous certaines conditions sur l’ordre de d´efinition des classes, si l’indice [G ∶ H] est fini, alors l’algorithme se termine en un nombre fini d’´etapes.
R´esultats La m´ethode de Todd-Coxeter est impl´ement´ee dans plusieurs logiciels de calcul formel, comme GAP, Sage ou Magma. Pour chaque type j de m´etriques, on utilise GAP [GAP08] pour calculer l’indice du groupe Γ′
j dans O(qj, Z). Les r´esultats obtenus
permettent de terminer la description explicite des composantes de l’espace de modules des m´etriques sym´etriques `a 8 singularit´es.
On d´ecrit la m´ethode utilis´ee pour le cas des m´etriques de type 4. Les g´en´erateurs r1, . . . , r6 de O(q4, Z) ont ´et´e d´etermin´es section 2.4.2.1, et ceux de Γ4 ont ´et´e exprim´es en
fonction des rjsection 2.4.2.2. La pr´esentation de O(q4, Z), obtenue `a partir du diagramme
de Coxeter de la Figure 2.58, permet de d´efinir le groupe O(q4, Z) dans GAP. Γ4est d´efini
comme sous-groupe de O(q4, Z) `a partir du syst`eme g´en´erateur en les rj. La m´ethode de
Todd-Coxeter, impl´ement´ee dans la commande “Index” par exemple, donne alors l’indice [O(q4, Z) ∶ Γ′4]. On donne un extrait du fichier GAP correspondant :
> t := FreeGroup( 6 );
>
> Oq4Z := t / [ t.1^2, t.2^2, t.3^2, t.4^2, t.5^2, t.6^2,
(t.1*t.2)^2, (t.1*t.3)^2, (t.1*t.4)^2, (t.1*t.5)^2, (t.1*t.6)^3, (t.2*t.3)^4, (t.2*t.4)^2, (t.2*t.5)^2, (t.2*t.6)^2, (t.3*t.4)^3, (t.3*t.5)^2, (t.3*t.6)^2, (t.4*t.5)^3, (t.4*t.6)^2, (t.5*t.6)^4 ]; <fp group on the generators [ f1, f2, f3, f4, f5, f6 ]>
>
>r1 := Oq4Z.1;; r2 := Oq4Z.2;; r3 := Oq4Z.3;; r4 := Oq4Z.4;; r5 := Oq4Z.5;; r6 := Oq4Z.6;;
>
>Gamma4 := Subgroup( Oq4Z, [ r2, r3*r5, r4*r5*r1*r4, r4*r3*r1*r4, r6*r5, r6*r4*r1*r5, r1*r4*r6*r1 ] ); Group([ f2, f3*f5, f4*f5*f1*f4, f4*f3*f1*f4, f6*f5, f6*f4*f1*f5, f1*f4*f6*f1 ])
>
>Index( Oq4Z, Gamma4 ); 6
Γ4 est donc d’indice 6 dans O(q4, Z). Les autres indices sont calcul´es de la mˆeme fa¸con.
Les commensurabilit´es explicites obtenues sont donn´ees Table 2.1. composante [Γj∶Γ′j] [O(qj, Z) ∶ Γ′j] M0 2 15 M1 2 15 M2 2 12 M3 2 6 M4 1 6
Table 2.1 – Indices de commensurabilit´e explicites entre les groupes Γj et O(qj, Z).
2.4.3 Conclusion
Les calculs effectu´es dans cette section permettent finalement de d´ecrire les compo- santes de l’espace de modules M des m´etriques plates sym´etriques sur S2 `a 8 singularit´es d’angles ´egaux.
Th´eor`eme 2.4.15. L’espace de modules M des m´etriques sym´etriques non d´eg´en´er´ees `a 8 singularit´es d’angles ´egaux peut ˆetre muni d’une topologie telle que :
— M admet 5 composantes connexes Mk, 0 ⩽ k ⩽ 4, o`u Mk est l’espace de modules
des m´etriques de type k,
— pour tout k, 0 ⩽ k ⩽ 4, Mk admet une structure hyperbolique non compl`ete : Mk
est hom´eomorphe `a un orbifold hyperbolique arithm´etique non compact de volume fini H5/Γk, priv´e d’hypersurfaces correspondant aux m´etriques d´eg´en´er´ees.
Les r´eseaux Γk sont commensurables `a des groupes d’isom´etries enti`eres O(qk, Z), o`u qk
est la forme quadratique donn´ee par la matrice 6 × 6
Qk=diag ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ (0 −1 −1 0), 1, . . . , 1´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ 4−k , 2, . . . , 2 ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ k ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
avec k “2” sur la diagonale. Les O(qk, Z) sont des groupes de Coxeter dont les diagrammes
sont donn´es Figures 2.57 et 2.58. Les indices de commensurabilit´e entre les Γk et O(qk, Z)