Dans cette partie, on souhaite appliquer le th´eor`eme de Poincar´e `a des poly`edres hy- perboliques r´eels, munis d’identifications de faces (voir section 1.3). La r´ef´erence principale dans ce cas est l’article d’Epstein et Petronio [EP94], ainsi que les livres [Mas88] et [Rat06]. Tous les poly`edres consid´er´es dans ce chapitre sont bord´es par des hyperplans hyper- boliques. Ils ne sont en g´en´eral pas compacts, mais n’ont qu’un nombre fini de points `a l’infini, et tous ces points sont des sommets id´eaux, voir d´efinition 2.2.6 (l’intersection d’une horosph`ere suffisamment haute bas´ee en un point `a l’infini avec le poly`edre est compacte). Dans ce cadre, les hypoth`eses du th´eor`eme de Poincar´e (pavage des arˆetes et compl´etude de l’espace Z) peuvent ˆetre reformul´ees pour rendre leur v´erification plus ais´ee.
2.2.2.1 V´erification des hypoth`eses
Dans toute la suite, on reprend les notations de la section 1.3. Soit P ⊂ HnRun poly`edre hyperbolique r´eel bord´e par des hyperplans, admettant un nombre fini de sommets id´eaux, et muni d’identifications de faces.
Cycles d’arˆetes L’angle di`edre `a l’intersection de deux hyperplans de HnRest constant, donc l’hypoth`ese de pavage autour des arˆetes est tr`es simple `a v´erifier dans ce contexte. Pour toute arˆete e ⊂ P, la transformation de cycle teest une rotation autour du sous-espace
de codimension 2 portant e, d’angle θ ´egal `a la somme des angles di`edres apparaissant dans le cycle (voir [EP94] p.129, lemme 3.12). Les copies de P pavent un voisinage de e si et seulement si θ est de la forme 2π/k, k ⩾ 1.
Compl´etude de Z La compl´etude de l’espace Z peut se traduire par l’existence d’horosph`eres coh´erentes pour le poly`edre P (voir par exemple [EP94] p.152, Th´eor`eme 6.3). Soient p1, . . . , pm les sommets id´eaux de P, et S1, . . . , Sm des horosph`eres centr´ees en les pj.
{S1, . . . , Sm}forme un syst`eme d’horosph`eres coh´erentes pour P si les conditions suivantes sont v´erifi´ees pour tout 1 ⩽ j ⩽ m :
— les Sj sont deux `a deux disjointes,
— Sj ne rencontre que les faces de P qui contiennent pj,
— si F est une face de P contenant pj, d’identification de face associ´ee γF, alors
l’horosph`ere γF(Sj) appartient `a l’ensemble {S1, . . . , Sm}.
On donne les arguments principaux montrant la compl´etude de Z si un syst`eme d’ho- rosph`eres coh´erentes existe. Pour chaque sommet `a l’infini pj, on consid`ere le sous-ensemble
de Z minimal form´e par les copies de P qui passent par pj, dans le sens suivant : lorsqu’on
d´eveloppe Z sur Hn en envoyant pj `a l’infini, on consid`ere seulement les copies de P qui
contiennent le point `a l’infini, et sont image de P par une suite finie d’identifications de faces associ´ees `a des faces verticales, voir [EP94] p.151. Ce sous-espace de Z est not´e Zj.
Consid´erons la restriction `a Zj de l’application d´eveloppante DZ ∶Z → Hn. L’existence d’horosph`eres coh´erentes pour P assure que les links euclidiens P ∩ Si des sommets pi qui
apparaissent dans le cycle du sommet `a l’infini pj sont tous d´evelopp´es sur Sj. Ils sont
munis d’identifications de faces qui v´erifient les conditions de cycle, et le th´eor`eme de Poin- car´e appliqu´e `a Rn−1 assure que les copies de P formant Zj pavent l’horoboule d´elimit´ee
par Sj. On peut faire de mˆeme pour tout sommet `a l’infini de toute copie {g} × P de P
dans Z.
Si (xn)n∈N est une suite de Cauchy dans Z qui ne converge pas, alors quitte `a extraire elle reste `a partir d’un certain rang dans un Zj, au dessus du relev´e de l’horosph`ere Sj.
En effet, P admet un nombre fini de sommets `a l’infini, donc la projection de la suite sur l’espace quotient P/{γF}admet une sous-suite qui reste dans le quotient d’une horoboule Sj, et la construction des Si assure qu’il existe ε > 0 tel que les diff´erents relev´es de Sj `a Z
sont `a distance plus grande que ε. Ce sous-ensemble de Z est hom´eomorphe `a l’horoboule d´elimit´ee par Sj dans Hn, qui est compl`ete, d’o`u une contradiction. Donc Z est complet.
Horosph`eres coh´erentes L’existence d’horosph`eres coh´erentes peut se voir simplement sur les relev´es `a Rn,1 des sommets id´eaux du poly`edre. Dans le mod`ele de l’hyperbolo¨ıde, une horosph`ere centr´ee en un point p = [x0, . . . , xn] (en coordonn´ees homog`enes) est l’in- tersection de l’hyperbolo¨ıde avec un plan affine d´efini par
{x ∈ Hn∣ ⟨x, P ⟩ = −1}
o`u P est un relev´e de p `a Rn,1, dans la partie sup´erieure du cˆone. Le choix du relev´e P d´etermine la hauteur de l’horosph`ere. L’image d’une telle horosph`ere par une isom´etrie γ est donc l’horosph`ere centr´ee en γ(p)
{x ∈ Hn∣ ⟨x, γ(P )⟩ = −1}
Ceci permet de caract´eriser simplement l’existence d’horosph`eres coh´erentes :
Proposition 2.2.8. Soit P ⊂ Hnun poly`edre muni d’identifications de faces {γF ∣F face de P}, qui v´erifient les conditions de cycle. Soient p1, . . . , pm les sommets id´eaux de P. P admet
des horosph`eres coh´erentes si et seulement si la propri´et´e suivante est v´erifi´ee : il existe des relev´es P1, . . . , Pm des sommets id´eaux de P `a Rn,1, tels que si F est une face de P
Un syst`eme d’horosph`eres coh´erentes en les pj est alors donn´e par les Hj = { x ∈ Hn ∣ ⟨x, λPj⟩ = −1}, o`u λ > 0 est choisi suffisamment grand pour que l’horosph`ere Hj n’intersecte que les faces passant par le sommet id´eal pj, et que les Hj soient deux `a deux
disjointes.
Les poly`edres que l’on ´etudiera dans ce chapitre seront tous d´ecrits explicitement comme quotients de poly`edres de Rn,1 par les scalaires, la propri´et´e 2.2.8 est donc bien adapt´ee pour v´erifier l’existence d’horosph`eres coh´erentes, et donc la compl´etude de Z. C’est ce que l’on utilisera en pratique. Cependant, la compl´etude de Z peut ˆetre v´erifi´ee aussi, de mani`ere ´equivalente, via l’´etude des transformations de cycles de sommets `a l’infini (d´efinies de la mˆeme fa¸con que les transformations de cycles d’arˆetes) : Z est complet si et seulement si toutes ces transformations sont non loxodromiques. Elles pr´eservent bien alors les horosph`eres centr´ees au sommet id´eal correspondant.
Cas particulier : les poly`edres de Coxeter Soit P ⊂ Hn un poly`edre de Coxeter : tous les angles di`edres entre deux faces de P sont de la forme π/k, o`u k ∈ N∗
∪ {∞}. On le munit d’identifications de faces les plus simples possible : pour toute face F de P, γF
est la r´eflexion par rapport `a l’hyperplan portant F . Ce syst`eme d’identifications de faces v´erifie alors les hypoth`eses du th´eor`eme.
Soient F et F′ deux faces de P dont l’intersection est une arˆete de codimension 2, et
d’angle di`edre θ = π/k. Les r´eflexions γF et γF′ fixent l’arˆete, donc le cycle correspondant
est le suivant : F ∩ F′ Ð→ γF ′ F′ ∩F Ð→ γF F ∩ F′
La transformation de cycle est donc γF ⋅γF′ car c’est bien l’identit´e sur l’arˆete F ∩ F′. C’est une rotation d’angle 2θ = 2π/k. Les conditions de cycles sont donc v´erifi´ees.
Les r´eflexions pr´eservent les horosph`eres centr´ees en un point `a l’infini appartenant `a leur miroir, donc il existe bien des horosph`eres coh´erentes.
Th´eor`eme 2.2.9 (Th´eor`eme de Poincar´e, version Coxeter). Soit P ⊂ Hn un poly`edre de Coxeter. Alors le groupe Γ engendr´e par les r´eflexions par rapport aux faces de P est discret et P est un domaine fondamental pour Γ. Γ admet la pr´esentation suivante :
⟨γ1, . . . , γm∣ (γi⋅γj)kij, ∀ 1 ⩽ i, j ⩽ m⟩,
o`u ki,j est tel que l’angle di`edre entre les faces Fi et Fj est π/ki,j (ki,j= ∞ si Fi et Fj sont parall`eles ou ultraparall`eles).
Γ est donc ce qu’on appelle un groupe de Coxeter. 2.2.2.2 Le cas de plusieurs poly`edres
Le th´eor`eme de Poincar´e peut ˆetre appliqu´e `a une famille de poly`edres munie d’iden- tifications de faces, avec tr`es peu de modifications (voir [EP94]). Tout revient en effet `a recoller ces diff´erents poly`edres les uns aux autres pour former un “gros” polytope (c’est l’espace Y de [EP94], p137), qui est naturellement muni d’identifications de faces. La version classique du th´eor`eme s’applique alors.
La version pour plusieurs poly`edres peut ˆetre avantageuse pour deux raisons. D’abord, il est inutile de v´erifier au d´epart que le recollement de la famille de poly`edres se fait sans chevauchement : c’est donn´e a posteriori par la conclusion du th´eor`eme de Poincar´e. D’autre part, elle permet d’´eviter de travailler avec des polytopes non convexes dans Hn.
Les poly`edres convexes sont parfaitement adapt´es pour faire de l’alg`ebre lin´eaire puisqu’ils sont simplement d´ecrits par un syst`eme d’in´egalit´es lin´eaires. On peut alors appliquer directement le th´eor`eme de Poincar´e `a une famille de poly`edres convexes, sans avoir besoin de chercher un recollement convexe de ces poly`edres (s’il en existe un), et sans travailler avec des polytopes non convexes.
Dans les sections 2.4.1.4 et 2.4.1.5, l’´etude de l’espace de modules des m´etriques four- nit naturellement des familles de poly`edres convexes, munies d’identifications de faces. On utilisera donc la version du th´eor`eme adapt´ee `a plusieurs poly`edres.
Soit F = {P1, . . . , Pn} une famille finie de poly`edres de Hn munie d’identifications de faces {γF ∣F face de P, P ∈ F } : pour tout P ∈ F et toute face F de P, il existe P′ ∈ F et une face F′ de P′ telle que γ
F∣F ∶F → F′ pr´eserve la structure cellulaire, γF′ =γF−1, et l’image de P par γF est `a l’ext´erieur de P′. On suppose dans la suite que les Pi ont un
nombre fini de faces et de points `a l’infini. En particulier, tous leurs points `a l’infini sont des sommets id´eaux (cf. proposition 2.2.7).
Les hypoth`eses `a v´erifier pour une famille de poly`edres sont semblables `a celles de la version classique. Les cycles d’arˆetes se calculent de la mˆeme fa¸con. La somme des angles di`edres le long d’un cycle d’arˆetes doit ˆetre de la forme 2π/k : la transformation de cycle t correspondante est alors une rotation d’angle 2π/k et v´erifie la relation de cycle tk=id. La compl´etude de Z se v´erifie par l’existence d’horosph`eres coh´erentes pour la famille de poly`edres F , centr´ees en les sommets `a l’infini de tous les poly`edres P ∈ F .
La seule diff´erence est l’ajout d’une condition de connexit´e sur l’espace obtenu en quo- tientant l’union disjointe des poly`edres par les identifications de faces. L’hypoth`ese suivante doit donc ˆetre v´erifi´ee : quels que soient P et P′des ´el´ements de la famille, on peut trouver
une face F de P, une face F′de P′et une suite finie d’identifications de faces reliant F `a F′.
La conclusion du th´eor`eme est l´eg`erement modifi´ee, notamment pour d´efinir le groupe engendr´e par les identifications de faces. La premi`ere ´etape consiste `a recoller les diff´erents poly`edres P ∈ F . Soit G le graphe dont les sommets sont les ´el´ements de F , et dont les arˆetes correspondent aux identifications de faces γF ∶F ⊂ P → F′⊂ P′ (le graphe est non orient´e : les arˆetes pour γF et γF−1 sont identifi´ees). Par hypoth`ese, G est connexe, donc
il admet un arbre couvrant T . L’arbre T d´ecrit comment recoller les poly`edres P ∈ F : on d´efinit l’espace Y comme le quotient de l’union disjointe ⊔P ∈FP par les identifications
de faces correspondant aux arˆetes de T . Y peut ˆetre d´evelopp´e dans Hn : ´etant donn´e un ´el´ement P0 ∈ F choisi comme poly`edre de base, on peut recoller pas `a pas les autres poly`edres de F `a P0 en suivant les arˆetes de T . L’espace recoll´e Pr n’est a priori pas
forc´ement plong´e dans Hn : le plongement (de l’int´erieur de Y , au sens de la d´efinition 4.11 de [EP94]) sera en fait une cons´equence du th´eor`eme de Poincar´e.
Une fois choisis un arbre T et un d´eveloppement de Y dans Hn, on peut construire le groupe Γ engendr´e par les identifications de faces (voir [EP94] p.137 pour une d´efinition abstraite). Heuristiquement, l’espace recoll´e Pr peut ˆetre vu comme un poly`edre, et les
identifications de faces entre les poly`edres P ∈ F induisent des identifications de faces pour Pr. Elles sont construites `a partir des identifications de faces γF de la fa¸con suivante : soient F ⊂ P et F′
⊂ P′ deux faces reli´ees par l’isom´etrie γF. Notons τ et τ′ les isom´etries de recollement de P et P′ dans P
r : Pr contient les copies τ (P) et τ′(P′). Alors γF est remplac´ee par l’isom´etrie
δF =τ′⋅γF ⋅τ−1 qui est bien une identification de faces entre τ (F ) et τ′
de faces correspondant aux arˆetes de l’arbre T sont remplac´ees par l’identit´e. Le groupe Γ est le groupe engendr´e par les δF, pour tout F ⊂ P, P ∈ F .
Le groupe Γ ainsi d´efini ne d´epend pas des choix effectu´es pour sa construction, `a conjugaison pr`es. Un choix diff´erent du poly`edre de base P0donne un groupe Γ′, conjugu´e
de Γ par une isom´etrie. Le choix de l’arbre T ne modifie pas le groupe Γ, mais donne des identifications de faces diff´erentes, donc une pr´esentation diff´erente apr`es application du th´eor`eme de Poincar´e.
Dans ce contexte, le th´eor`eme du poly`edre de Poincar´e s’´ecrit donc :
Th´eor`eme 2.2.10. Soit F = {P1, . . . , Pm}une famille finie de poly`edres hyperboliques. On suppose que les Piont un nombre fini de faces, que tous leurs points `a l’infini sont des som-
mets id´eaux, et que F est munie d’un syst`eme d’identifications de faces {γF ∣F face de Pi, i = 1, . . . , m} comme ci-dessus. Si les identifications de faces v´erifient la condition de connexit´e, les conditions de cycles, et s’il existe un syst`eme d’horosph`eres coh´erentes pour F , alors :
— le groupe Γ construit ci-dessus est discret, et Pr est un domaine fondamental pour
Γ,
— une pr´esentation de Γ pour les g´en´erateurs {δF} est donn´ee par les relations obte- nues en rempla¸cant les γF par les δF dans les relations de paires et les relations de
cycles.