Les r´esultats de cette section sont principalement tir´es de [Rat06]. On consid`erera seule- ment des poly`edres bord´es par des hyperplans hyperboliques, et admettant un nombre fini de faces.
D´efinitions Consid´erons l’espace Rn+1 muni d’une forme quadratique q de signature (n, 1), not´e Rn,1. La forme bilin´eaire associ´ee `a q est not´ee ⟨., .⟩. Soit v ∈ Rn,1 un vecteur positif pour q : ⟨v, v⟩ > 0. Son orthogonal Hv = {x ∈ Rn,1 ∣ ⟨v, x⟩ = 0} est un hyperplan de Rn,1 qui contient des vecteurs n´egatifs. Hv donne donc, apr`es passage au quotient, un
hyperplan de Hn not´e Hv, de polaire v. Hv s´epare l’espace hyperbolique en deux demi-
espaces.
Pour pouvoir d´ecrire ces demi-espaces en termes des coordonn´ees dans Rn,1, il faut fixer la nappe de l’hyperbolo¨ıde {q(x) = −1} avec laquelle on veut travailler. Supposons qu’une r´eduction de Gauss de la forme quadratique q s’´ecrive q(x) = −l0(x)2+l1(x)2+⋯+ln(x)2, o`u les lj sont des formes lin´eaires ind´ependantes. Soit Q−sup= {x ∈ Rn,1∣ ⟨x, x⟩ < 0, l0(x) > 0} le cˆone sup´erieur des vecteurs n´egatifs. Les demi-espaces hyperboliques d´elimit´es par Hv
peuvent alors ˆetre repr´esent´es par les ensembles H− v =H − v/R∗+, o`u H − v = {x ∈ Q − sup∣ ⟨v, x⟩ ⩽ 0} et H+ v =H + v/R ∗ +, o`u H + v = {x ∈ Q − sup∣ ⟨v, x⟩ ⩾ 0}
Dans la suite, on oubliera souvent la distinction entre Hv et Hv, et de mˆeme pour H ± v et
H± v.
D´efinition 2.2.1. Un poly`edre convexe P de Hn est l’intersection d’un nombre fini de demi-espaces bord´es par des hyperplans :
P = m ⋂ j=1 H− vj
o`u les vj sont des vecteurs positifs de Rn,1. La dimension de P est la dimension minimale
des sous-espaces totalement g´eod´esiques de Hn contenant P.
Dans la suite, P d´esigne un poly`edre de dimension n. Un hyperplan Hvj est dit essentiel
pour P si Hvj∩P contient un ouvert de Hvj. Si Hvj est essentiel, alors l’intersection Hvj∩P
est la face de P port´ee par Hvj. Toute face de P est un poly`edre convexe de dimension
n − 1. L’ensemble des facettes de P est construit par r´ecurrence sur la codimension : les facettes de codimension 1 de P sont les faces de P, et les facettes de codimension k + 1 sont les faces des facettes de codimension k. Les facettes de P de codimension 2 sont appel´ees arˆetes de P.
Toute arˆete de P est sur exactement deux faces (voir [Rat06] p.203), donc P est bien un polytope au sens de la section 1.3.
L’espace Hn∪∂∞Hn admet une topologie (voir section 1.1.3), et il est naturel de consid´erer l’adh´erence P∞ de P dans cet espace. Les points `a l’infini de P sont les points de P∞∩∂∞Hn. P est compact si et seulement si il n’admet pas de points `a l’infini.
Angles di`edres Etant donn´es deux hyperplans H et H′
de Hn, l’une des trois situations suivantes est v´erifi´ee :
— H et H′
se coupent dans Hn : l’angle entre H et H′ est alors constant.
— H et H′
ne se coupent pas dans Hn, mais se coupent dans ∂∞H
n: ils sont parall`eles.
— H et H′
sont disjoints dans Hn∪∂∞H
n : ils sont dits ultraparall`eles. Dans ce cas,
H et H′ admettent une perpendiculaire commune.
Une partie de la g´eom´etrie d’un poly`edre P est donn´ee par les angles di`edres entre les hy- perplans (qui sont tous suppos´es essentiels). La proposition suivante permet de d´eterminer ces angles `a partir de la donn´ee des polaires :
Proposition 2.2.2 ([Rat06] §3.2). Soient H et H′ deux hyperplans, de polaires v et v′,
qui d´efinissent deux demi-espaces H−
v et Hv−′. Notons δ = ⟨v, v ′ ⟩ √ ⟨v, v⟩ √ ⟨v′, v′⟩ Alors : — si ∣δ∣ < 1, H et H′
s’intersectent dans Hn. L’angle entre les hyperplans est donn´e par arccos(∣δ∣) ∈ [0,π2]. L’angle di`edre entre les deux demi-espaces Hv− et Hv−′ est
arccos(−δ).
— Si ∣δ∣ = 1, alors H et H′ sont parall`eles.
— Si ∣δ∣ > 1, alors H et H′ sont ultraparall`eles, et la distance entre les deux hyperplans
Poly`edres de Coxeter Parmi les poly`edres les plus simples, on trouve les poly`edres de Coxeter :
D´efinition 2.2.3. Soit P = ⋂mj=1H−
j un poly`edre de Hn. P est un poly`edre de Coxeter si
quels que soient Hi et Hj des hyperplans bordant P qui s’intersectent dans Hn, l’angle
di`edre αij entre Hi− et Hj−est de la forme π/kij, o`u kij ⩾2 est un entier.
Les poly`edres de Coxeter peuvent ˆetre repr´esent´es par un graphe, appel´e diagramme de Coxeter. Soit P un poly`edre de Coxeter. Le diagramme de Coxeter de P a pour sommets les hyperplans (essentiels) bordant P. Etant donn´es deux tels hyperplans Hi et Hj, l’arˆete
entre les sommets correspondants est donn´ee par les conventions suivantes :
— si Hi et Hj s’intersectent dans Hn avec un angle di`edre αij =π/2 : pas d’arˆete, — si Hi et Hj s’intersectent et αij =π/3 (respectivement π/4) : arˆete simple (respec-
tivement double),
— si Hi et Hj s’intersectent et αij =π/kij avec kij ⩾5 : arˆete avec l’´etiquette kij, — si Hi et Hj sont parall`eles : arˆete ´epaisse (ou arˆete simple avec l’´etiquette ∞),
— si Hi et Hj sont ultraparall`eles : arˆete ´epaisse en pointill´es.
La Figure 2.7 donne un exemple de diagramme de Coxeter. 6
Figure 2.7 – Exemple de diagramme de Coxeter.
Links Soit P un poly`edre de Hn. La g´eom´etrie locale de P au voisinage d’une facette E ⊂ P est d´ecrite par l’objet suivant ([Rat06] p.214) :
D´efinition 2.2.4. Soit P ⊂ Hn un poly`edre hyperbolique, et p un point de P. Soit Sp
une (n − 1)-sph`ere centr´ee en p qui n’intersecte que les faces de P qui contiennent p. L’intersection P ∩ Sp est un poly`edre sph´erique. Le link de p est le poly`edre de la sph`ere
unit´e Sn−1 donn´e par P ∩ Sp, apr`es changement d’´echelle.
Cette d´efinition peut ˆetre ´etendue aux points `a l’infini de P, voir [Rat06] p.217. D´efinition 2.2.5. Soit p un point `a l’infini de P, et soit Σp une horosph`ere bas´ee en p qui
n’intersecte que les faces de P incidentes `a p. Le link de p dans P est le poly`edre euclidien P ∩Σp (unique `a similitude pr`es).
Noter qu’il existe toujours une horosph`ere qui n’intersecte que les faces incidentes `a p, puisque les poly`edres consid´er´es ici admettent seulement un nombre fini de faces.
On peut alors distinguer deux types de points `a l’infini pour P, suivant la topologie du link.
D´efinition 2.2.6 ([Rat06] p.219). Soit P un poly`edre hyperbolique, et p un point `a l’infini de P. p est un sommet id´eal de P si son link dans P est compact.
Si p est un sommet id´eal de P, P admet une “pointe” infinie vers p, qui est de volume fini : si Σ est une horosph`ere en p qui n’intersecte que les faces incidentes `a p, et si B est l’horoboule d´elimit´ee par Σ, alors le volume de P ∩ Σ est fini, voir [Rat06] p.222.
Condition suffisante de volume fini La remarque pr´ec´edente permet d’obtenir une condition suffisante pour qu’un poly`edre P soit de volume fini. Cette condition sera utilis´ee tout au long du chapitre pour montrer que les poly`edres ´etudi´es sont de volume fini. Proposition 2.2.7. Soit P ⊂ Hn un poly`edre hyperbolique. Si P admet un nombre fini de faces et de points `a l’infini, alors tous ces points `a l’infini sont des sommets id´eaux et P est de volume fini.
D´emonstration. Si tous les points `a l’infini de P sont des sommets id´eaux, i.e. de link compact, alors le volume de P est fini. En effet, pour tout sommet pj muni d’une horoboule
Bj qui n’intersecte que les faces incidentes `a pj, le volume de la pointe P ∩ Bj est fini. P
se d´ecompose en une partie compacte et un nombre fini de pointes, donc il est de volume fini.
Soit donc p ∈ P un point `a l’infini. On se place dans le mod`ele du demi-espace de Poincar´e avec p comme point `a l’infini. Les faces de P qui passent par p sont donc verticales, les autres sont des h´emisph`eres. P admet un nombre fini de faces, donc la projection verticale des faces h´emisph´eriques de P sur l’espace `a l’infini Rn−1forme une partie born´ee B. Soit S une horosph`ere en p qui n’intersecte que les faces verticales de P, et L(p) = S ∩P le link de p. Pour tout point x de L(p), si la projection π(x) de x sur Rn−1 est hors de B, alors π(x) est un point `a l’infini de P. Or P admet seulement un nombre fini de points `a l’infini, donc la projection de L(p) sur le bord est incluse dans B. L(p) est donc born´e, et par cons´equent compact.