Première non-linéarité : la sensibilité non-linéaire du manche

La force du pilote qui agit sur le manche est transformée en valeur numérique de consigne ou

de commande. La fonction qui convertit la force exercée sur le manche en valeur de consigne a un

gradient non-linéaire (croissant) afin de fournir une commande adaptée à l’appareil et d’exiger

des variations importantes quand le manche se rapproche de la butée. Comme première

confi-guration est étudié le cas simplifié où cette fonction présente (seulement) une zone morte au

voisinage de la position neutre et sature quand la position du manche est trop grande (mais pas

de gradients différents entre la zone morte et la saturation).

Les données concrètes de l’élément non-linéaire sélectionné pour cette application sont les

suivantes. Le manche a une zone morte qui s’étend jusqu’à 0.1, une saturation à partir de 1.1et

une pente de 2.

Comme le montre l’illustration (10.13), il y a deux non-linéarités, la zone morte et la butée,

qui, l’une et l’autre, peuvent donner naissance à un cycle limite.

Pour caractériser l’influence de la sensibilité non-linéaire du manche, la nervosité du pilote

est d’abord fixée et l’examen cherche à déterminer l’existence éventuelle de pompage piloté. Par

la suite, l’espoir est de brosser un portrait global des différentes configurations qui peuvent être

rencontrées en fonction de la modélisation du pilote. Un diagramme synoptique du système

étu-dié est fourni par le schéma Simulink

^c

(10.14).

Deuxième cas : le pilote automatique complet du concept ADOCS 171

Fig.^{10.13. Sensibilité non-linéaire du manche}

Fig.^{10.14. Schéma Simulink de l’ADOCS avec une zone morte et une saturation entre le manche}

et l’hélicoptère

172 Analyse de bifurcations de cycles limites : les oscillations induites par le pilote

L’analyse utilise la méthode du premier harmonique. En appelant f le premier harmonique

de la saturation unitaire (cf. l’annexe C),δ

₁

la valeur en laquelle finit la zone morte,δ

₂

la position

en laquelle le manche sature etm la pente entre les amplitudes des signaux de sortie et d’entrée

quand la position est comprise entre δ

1

et δ

2

, le premier harmonique N(A) de la sensibilité

non-linéaire du manche a pour expression :

N(A) =m·(f(δ

2

/A)−f(δ

1

/A))

et pour représentation graphique :

Fig.10.15. Graphe du premier harmonique de la sensibilité non-linéaire du manche

D’une part, la fonctionN part de0, croît jusqu’à son maximum puis décroît jusqu’à0, d’où il

suit que−1/N part de−∞pour atteindre son maximum puis décroît jusqu’à−∞. D’autre part,

N est une fonction à valeurs réelles. L’auto-oscillation se produit donc, le cas échéant, quand le

graphe de la dynamique de l’aéronef et du pilote coupe l’axe réel et une idée des configurations

possibles se conçoit ainsi : il y a deux orbites périodiques ou rien.

Deuxième cas : le pilote automatique complet du concept ADOCS 173

Fig.^{10.16. Diagramme de Nyquist de la partie linéaire} G du prototype ADOCS et de la

sen-sibilité non-linéaire du manche −1/N dans la configuration choisie pour la section

(10.2.2)

Un pilote moyennement nerveux est choisi et modélisé par un gain purK

pil

= 6. Sachant que

le diagramme de Nyquist deK

_pil

·Gs’obtient par translation suivant l’axe réel du diagramme de

Nyquist deG, l’observation de ce dernier conduit à envisager qu’il y a deux intersections entre

la courbe représentative de la partie linéaire de l’aéronefK

pil

·Get celle de la partie non-linéaire

−1/N. Il existe donc deux cycles limites et le critère de Loeb permet de statuer que celui

d’amplitude la plus grande est stable et celui d’amplitude la plus petite est instable. Deux

simulations temporelles sont effectuées en guise de tests, une dont la condition initiale est à

l’intérieur du cycle limite instable et une autre dont la condition initiale est à l’extérieur.

Fig.^{10.17. Simulations temporelles de}θ pourK

_pil

= 6et de conditions initiales θ(0) = 0.04rad

174 Analyse de bifurcations de cycles limites : les oscillations induites par le pilote

Le comportement prédit est vérifié. La première simulation converge vers le point d’équilibre

stable à l’origine et la deuxième s’enroule sur le cycle limite stable. La sensibilité non-linéaire du

manche est bien responsable de PIO.

L’examen cherche par la suite à caractériser l’influence de la non-linéarité sur le

comporte-ment du système pilote-véhicule en fonction de la nervosité du pilote. Pour cela, il faut résoudre

l’équation d’auto-oscillations qui informe de l’existence de cycles limites éventuels, de leur

am-plitude et de leur pulsation respectives.

Fig. ^{10.18. Gain pilote en fonction de l’amplitude et de pulsation des oscillations}

La pulsation des cycles limites est toujours la même et pour des gains pilote inférieurs à

K

_pil^∗

= 3.9, il n’existe pas de phénomène de PIO. Deux simulations temporelles sont faites avec

des pilotes qui ne sont pas assez nerveux

K

_pil

< K

_pil^∗

ou trop nerveux

K

_pil

> K

_pil^∗

. Pour ces

dernières, une condition initiale grande est sélectionnée afin de capturer le cycle limite éventuel

s’il existe.

Deuxième cas : le pilote automatique complet du concept ADOCS 175

Fig.^{10.19. Simulations temporelles de} θ de condition initiale θ(0) = 1.0rad et pour des gains

pilote K

_pil

= 3.5 ou K

_pil

= 4.1

Les prévisions sur l’existence ou non d’un cycle limite s’avèrent exactes. La figure (10.19)

confirme que même une nervosité de pilotage moyenne peut générer du pompage piloté (PIO).

Les recherches accomplies concluent qu’un mauvais dimensionnement de la fonction de sensibilité,

de la saturation ou de la zone morte du manche est donc dangereux : une bifurcation

nœud-selle de cycles limitespeut apparaître (avec des pilotes relativement peu nerveux) qui modifie

le comportement du système et engendre desoscillations indésirables.

10.2.3 Deuxième non-linéarité : la limitation en vitesse de l’actionneur

Dans le document Théorie des bifurcations appliquée à l'analyse de la dynamique du vol des hélicoptères (Page 171-176)