Mise en forme du problème pour le calcul de la courbe des points d’équilibre121

Soit un système dynamique _X˙ _{= f(X, U) dont les points d’équilibre sont recherchés. Ces}

derniers sont assimilés aux valeurs d’états et de commandes(X, U) qui annulent la dynamique

du système.

La mise en œuvre de la méthodologie nécessite l’utilisation de l’algorithme de continuation.

Cependant, comme expliqué dans la section 5.1, l’algorithme de continuation résout un

problème impliciteayantnéquations et (n+ 1)variables. Il s’ensuit qu’il n’utilise qu’un seul

paramètre de contrôle et qu’il est nécessaire de choisir celui à faire varier pour cette étude de

bifurcation.

Pour un hélicoptère, la traction développée par le rotor est directement liée à l’angle d’attaque

des pales dont la valeur moyenne est commandée par le pas collectif DT0 du rotor principal,

c’est donc cette commande qui a été choisie comme paramètre de contrôle du diagramme de

bifurcation dans le cas de l’étude du Vortex Ring State. En effet, ce phénomène apparaissant au

niveau du rotor principal en vol de descente, le pas collectif est la commande prédominante dans

122 Etude d’un cas de bifurcation réelle : l’état d’anneaux tourbillonnaires

ce type de vol.

Dans un premier temps, une tentative est faite de procéder de la même façon que pour

les études menées sur les avions. Elle consiste à concevoir des lois qui font varier les autres

commandes de façon linéaire par rapport à DT0 en rajoutant des équations qui gouvernent les

commandes directement, comme DT A=k

₀

×DT0 +k

₁

.

Mais la dynamique non-linéaire très forte et les couplages importants de l’hélicoptère rendent

de telles lois totalement inefficaces pour fixer le cas de vol et stabiliser l’appareil en un point

donné. Même en asservissant chacune des commandes (par des lois linéaires), l’hélicoptère

de-vient immédiatement instable dès qu’il s’éloigne légèrement du point d’équilibre initial.

Fig. ^{8.1. Lois implicites pour imposer le cas de vol}

Par conséquent, la décision est prise d’imposer les conditions de vol avec des lois qui sont

en fait définies de façon implicite (schéma 8.1). Elles sont construites par l’intermédiaire des

équations algébriques qui correspondent au cas des vols de descente i.e. dans un plan vertical et

de vitesse de lacet nulle :







R

hel

(X, U, DT C, DT S,DTA) = 0

V

Y

(X, U,DTC, DT S, DT A) = 0

V

_X

(X, U, DT C,DTS, DT A) =const

La commande qui se retrouve principalement déterminée par chaque équation est marquée

en gras :

– la condition de vitesse de lacet nulle détermine la commande du rotor arrièreDT A

– la condition de vitesse latérale nulle impose le pas cyclique latéral DT C

– la condition de vitesse longitudinale constante fixe le pas cyclique longitudinalDT S

Ces équations algébriques permettent de spécifier ou d’imposer un cas de vol donné sans

qu’il ne soit nécessaire de construire une loi de commande explicite qui, de toute façon, ne serait

valide qu’aux alentours immédiats du point choisi pour la conception de cette loi. En effet, les

très nombreux couplages et les fortes non-linéarités de l’hélicoptère rendent (la validité de) toute

boucle de retour figée inadaptée dès que l’état s’écarte du point de conception de cette loi de

commande. En agissant de la sorte, le pas collectif DT0 peut être choisi comme paramètre de

continuation tandis que les trois commandes(DT C, DT S, DT A) sont déterminées par les

équa-tions algébriques complémentaires.

Courbe caractéristique des points d’équilibre (diagramme de bifurcation) 123

En résumé, la description mathématique du problème est la suivante. Le modèle d’hélicoptère

se compose de 13 équations pour 14 variables. Les variables sont constituées de 10 états et de 4

commandes. Quant aux équations, il y a d’une part celles qui correspondent à l’annulation des

dynamiques :

˙

X=ⁿU^˙

_hel

,V^˙

_hel

,W^˙

_hel

,P^˙

_hel

,Q^˙

_hel

,R^˙

_hel

,φ,^˙ θ,^˙ V im^˙

_RP

,V im^˙

_RA

^o= 0

et d’autre part celles qui correspondent aux contraintes algébriques imposant le cas de vol :

{R

_hel

, V

_Y

, V

_X

}={0,0, const}

La commande principale est le pas collectif DT0 et les commandes supplémentaires sont

{DT C, DT S, DT A}.

La formulation mathématique adoptée n’est plus celle usuelle d’un système différentiel. Comme

des équations algébriques sont prises en compte, il s’agit en fait d’unsystème algébro-différentiel

(DAE). La méthodologie d’analyse devra s’adapter à cette situation.

La figure (8.2) montre une comparaison de la courbe de gauche obtenue par balayage avec

l’al-gorithme de Newton-Raphson du HOST avec celle de droite issue de la continuation d’ASDOBI.

Elle certifie que les mêmes valeurs sont bien retrouvées et valide le travail de couplage.

Fig.^{8.2. Comparaison des courbes de points d’équilibre obtenues par balayage avec le HOST (à}

gauche) ou par continuation avec ASDOBI (à droite)

Les travaux de théorie des bifurcations appliquée recherchent souvent à appliquer la

mé-thodologie sur le modèle le plus réduit possible et commencent la plupart du temps par une

phase de réduction de modèles. Suivant cette démarche habituelle et dans un premier temps, les

investigations se limitaient aux états {W

_hel

, V im

RP

} afin de choisir un modèle de petite taille

mais contenant toute l’information nécessaire au cas de vol étudié i.e. l’état d’anneaux

tourbillon-naires en vol de descente. Cependant, l’approximation se révèle mauvaise après comparaison avec

le balayage d’équilibre correspondant. Cela provient du fait que dans le cas du système restreint

les autres états de l’hélicoptère ne varient pas, comme les assiettes latérales et longitudinalesφ

124 Etude d’un cas de bifurcation réelle : l’état d’anneaux tourbillonnaires

A noter qu’à première vue, il peut sembler paradoxal de considérer les vitesses induites comme

des variables d’état mais en fait pour un hélicoptère, il est important d’avoir des variables qui

ca-ractérisent le rotor et en particulier sa dynamique représentée ici par la vitesse induite moyenne.

Par ailleurs, la prise en compte de la dynamique de la vitesse induite permet aussi d’équilibrer

celle-ci, la traction et les angles de conicité, qui sont tous interdépendants, la conicité désignant

l’angle de battement moyen des pales β

₀

.

Une alternative pratique à cette première formulation consiste à réécrire le problème en

ra-joutant l’équation algébrique : V

_Z

(X, U,DT0, DT C, DT S, DT A) = V

_Z0

. Le pas collectif DT0

est alors gouverné grâce à une équation implicite et le paramètre de contrôle devient alors la

vitesse de descente verticale V

_Z0

.

Le problème est alors décrit par14 équations et15 variables. Les paramètres de contrôle

sont V

_Z0

etV

_H0

, ces derniers définissent les conditions du vol de descente.

8.1.2 Résultat et interprétation

L’application du couple de codes HOST-ASDOBI au cas du vol de descente de l’hélicoptère

Dauphin traversant le Vortex Ring State permet de déterminer la courbe des points d’équilibre,

appeléediagramme de bifurcation, obtenue après calcul avec l’algorithme de continuation et

illustrée par (8.3). Le paramètre de contrôle utilisé est ici le pas collectif DT0. C’est donc lui qui

se retrouve en abscisse. Les états du système et les variables contraintes sont en ordonnée.

Lieu des points de bifurcation 125

Il y a 2 branches d’équilibres stables (en vert) au milieu desquelles se trouve une

branche instable(en rouge). Les deux bifurcations sont despoints de retournement, cas

particulier de bifurcation (associée à une valeur propre) réelle. Entre les deux points de

bifurcation, la branche est instable et pour une valeur du paramètre de contrôle comprise entre

ces deux valeurs critiques, il apparaît 3 états d’équilibre. En dehors de cette zone, il ne reste plus

qu’un seul état d’équilibre stable. Lediagramme de bifurcationest typique d’unhystérésis.

Concrètement, pour le type de vol étudié (descente dans un plan vertical), l’instabilité

pos-sible liée au VRS apparaît sur le mouvement du centre de gravité. La stabilité du système peut

donc être caractérisée par le jeu de variables{V

X

, V

Z

, V im

RP

}, ce qui dans le repère hélicoptère

correspond à {U

_hel

, V

_hel

, W

_hel

, V im

_RP

}. Les autres variables sont prises en compte afin d’avoir

des résultats réalistes (sinon des variables resteraient fixées arbitrairement). Mais ces dernières

ne caractérisent pas physiquement la stabilité du système.

Au niveau du premier point de bifurcation dont la vitesse de descente est la moins forte et du

deuxième de vitesse de descente la plus importante, les matrices jacobiennes du système complet

ont pour vecteurs propres associés à la valeur propre nulle :

0.0212 -0.0039 -0.0464 0.0511 -0.6957 0.6968 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0001 0.0011 -0.0012 -0.7162 0.7146 0.0205 -0.0337 -0.0001 0.0002 -0.0013 0.0018 0.0000 -0.0000

Les composantes dominantes sontW

hel

etV im

RP

qui sont effectivement des variables

forte-ment liés à l’état d’anneaux tourbillonnaires.

Au point de bifurcation, comme le système ne peut se stabiliser sur une branche instable et

que le nombre de points d’équilibre pour une commande donnée change, il se produit un saut

qui s’observe sur le diagramme de bifurcation (8.3). Il rend compte de la perte de stabilité

de l’hélicoptère quand il rentre en état d’anneaux tourbillonnaires et des vitesses de

descente importantesqui animent soudainementl’appareil.

Transition : La courbe des points d’équilibre de l’hélicoptère en Vortex Ring State a été

déterminée par continuation et ses propriétés ont été dégagées. Le calcul du lieu des points de

bifurcation permettra ensuite de délimiter la zone critique du VRS.

Dans le document Théorie des bifurcations appliquée à l'analyse de la dynamique du vol des hélicoptères (Page 122-126)