Ensemble limite

Les points d’équilibre (dénommés aussi points fixes) correspondent aux points tels que :

dX

dt ^(X

^e

^{, U}

^e

^{) =F(X}

^e

^{, U}

^e

^{) = 0}

et les orbites périodiques aux trajectoires pour lesquelles il existe0< T <∞ tel que :

∀t, X(t+T) =X(t)

193

194 Eléments de théorie des bifurcations

Ces états limites peuvent êtrestables i.e. pour de petites perturbations autour de cet état,

le système y retourne ou instables c’est-à-dire que toute perturbation fait quitter cet état au

système.

Plus précisément, un état limiteX

_e

est qualifié destablesi une solutionX(t)qui se situe à

côté de X

_e

reste proche de X

_e

pour tout tempst. Si, de plus,X(t) →X

_e

lorsque t→ ∞, alors

X

e

est dit asymptotiquement stable.

Les propriétés de stabilité d’un point d’équilibre dépendent du spectre de la matrice

jaco-bienne

D

X

F = ^∂X˙

ⁱ

∂X

_j

!

i,j

et celles d’une orbite périodique, du spectre de la matrice de monodromie qui fait intervenir le

flotΦ

D

_X

Φ = ^{∂Φ(X, T)}

∂X

la terminologie suivante est introduite au niveau d’un point d’équilibre. Soit _X¯ _{un point}

d’équilibre etD

_X

F X^¯

la matrice jacobienne en ce point. Au système différentiel non-linéaire

˙

X=F(X) (A.1)

correspond le système linéaire

˙

X=D

_X

F( ¯X)·X (A.2)

L’analyse de la stabilité du système linéaire permet de conclure quant à celle du système

non-linéaire comme l’affirme le théorème de Hartman-Grobman.

Théorème 4 (Hartman-Grobman) Si D

_X

F X^¯

n’a pas de valeurs propres nulles ou

imagi-naires pures, alors il y a un homéomorphisme h défini sur un voisinage U de _X¯ _{dans R}

n

fai-sant correspondre localement les orbites du flot non-linéaire Φ

t

de (A.1), à ceux du flot linéaire

e

^DXF

⁽

^X¯

⁾ de (A.2). L’homéomorphisme préserve le sens des orbites et peut aussi être choisi pour

préserver la paramétrisation en temps. 2

QuandD

_X

F X^¯

n’a aucune valeur propre de partie réelle nulle, _X¯ _{est appelé point fixe}

hy-perboliqueou non-dégénéré et le comportement asymptotique de la solution près de celui-ci

tout comme sa stabilité sont entièrement déterminés grâce à une linéarisation.

Par ailleurs, lavariété locale stableet lavariété locale instablede_{X, W}¯

s loc

_X¯

etW

_locⁱ

X^¯

se définissent comme suit :

W

_loc^s

X^¯ = X ∈U|Φ X^¯→X^¯ quandt→+∞

W

_locⁱ

X^¯

=

X ∈U|Φ X^¯

→X^¯ quandt→ −∞

W

_loc^s

X^¯, W

_locⁱ

X^¯ sont des analogues non-linéaires aux espaces propres E

^s

et E

ⁱ

du

pro-blème linéaire (A.2).

Théorème 5 (Théorème de la variété stable) Supposons que_X˙ _{=F(X)a un point fixe}

hy-perbolique _X¯_{. Alors il existe des variétés locales stable et instableW}

s loc

_X¯

, W

_locⁱ

X^¯, de mêmes

dimensions n

_s

, n

_i

que celles des espaces propres E

^s

, E

ⁱ

du système linéarisé (A.2), et tangentes

en _X¯ _{respectivement à E}

s

, E

i

.W

s

loc

_X¯

, W

i loc

_X¯

Ensemble limite 195

Quand un point fixe a une valeur propre de partie réelle nulle, il existe une variété W

^c

tangente à l’espace propreE

^c

associé aux valeurs propres de partie réelle nulle et invariante par

le flotΦ. Pour poursuivre l’étude d’un tel point d’équilibre, la dimension du problème peut être

réduite grâce au théorème suivant.

Théorème 6 (Théorème de la variété centrale) Soit F un champ de vecteurs de classe C

r

sur_R

ⁿ

qui s’annule à l’origine(F(0) = 0)et soitA=D

X

F(0). Décomposons le spectre constitué

des valeurs propresλ deA en trois parties, σ

_s

, σ

_c

, σ

_i

avec :

R(λ)







<0 siλ∈σ

s

= 0 siλ∈σ

_c

>0 siλ∈σ

_i

Soient E

^s

, E

^c

et E

ⁱ

les espaces propres (généralisés) de respectivement σ

s

, σ

c

et σ

i

. Alors il

existe des variétés invariantes W

^s

et W

ⁱ

de classe C

r

, stable et instable, tangentes à E

^s

et E

ⁱ

en0 et une variété centrale W

^c

de classeC

r−1

tangente à E

^c

en0. Les variétés W

^s

, W

ⁱ

et W

^c

sont toutes invariantes par le flotΦ deF. Les variétés stable et instable sont uniques, mais W

^c

ne l’est pas nécessairement. 2

Le théorème de la variété centrale implique que le système soit topologiquement équivalent

à :

˙˜

x = f^˜(˜x)

˙˜

y = −y˜

˙˜

z = z˜

où_f˜_{est un champ de vecteur et(˜x,y,˜ z˜)∈W}

c

×W

^s

×W

ⁱ

sont les composantes d’un vecteur

sur les variétés centrale, stable et instable.

Pour simplifier, il est supposé dans la suite qu’il n’y a pas de variété instable. Le système

peut se réécrire sous forme de blocs diagonaux :

˙

x = Bx+f(x, y) (A.3)

˙

y = Cy+g(x, y) où (x, y)∈_R

ⁿ

×_R

^m

B et C sont des matrices n×n et m×m dont les valeurs propres sont respectivement de

parties réelles nulles et négatives,f etg sont des fonctions dont les dérivées partielles premières

sont nulles à l’origine.

La variété centrale est tangente à E

^c

(d’équation y = 0), elle se représente donc comme un

graphe local :

W

^c

= {(x, y)|y=h(x)} avech:U ⊂_R

n

→_R

m

h(0) = 0

Dh(0) = 0 (A.4)

Sur E

^c

, le système s’exprime alors :

˙

x = Bx+f(x, h(x)) (A.5)

Dans ce cas, il existe aussi un théorème d’équivalence entre les problèmes non-linéaire et

réduit.

196 Eléments de théorie des bifurcations

Théorème 7 Si l’originex= 0de (A.5) est localement asymptotiquement stable (respectivement

instable), alors l’origine de (A.3) est aussi localement asymptotiquement stable (respectivement

instable). 2

Le formalisme de la théorie des bifurcations précise que la forme normale d’un champ

analytique de vecteurs résulte de la simplification de son expression (sur la variété centrale).

Pour ce qui est du système dynamique (A.1), aux valeurs critiques du paramètre de contrôle,

il y a soit des bifurcations locales quand des changements de types de trajectoires-solutions

s’observent et se produisent au voisinage d’un point d’équilibre ou d’une orbite périodique, soit

desbifurcations globalessi les modifications de trajectoires-solutions mettent en jeu des

pro-priétés plus globales. Ces dernières apparaissent par exemple quand la variété stable d’un point

fixe n’est pas transverse à la variété instable (du même ou d’un autre point fixe) i.e. les espaces

tangents des variétés n’engendrent pas un espace dont la dimension est égale à la somme de leur

dimension.

L’intérêt se focalisera sur les bifurcations locales dont les configurations de base sont

pré-sentées. Celles relevant des points d’équilibre seront d’abord abordées et les cas pour lesquels

le spectre contient une valeur propre nulle se distingueront de ceux ayant un couple de valeurs

propres imaginaires pures. L’exposé se limitera aux bifurcations de codimension 1 (la

codimen-sion d’une bifurcation étant la dimencodimen-sion la plus petite d’un espace de paramètres contenant

une telle bifurcation). Ensuite, ce seront les bifurcations affectant les cycles limites qui seront

décrites. Au cours de cette thèse, ces différents types de bifurcations sont illustrés et analysés

dans le même ordre de progression tout au long de l’étude pratique de la dynamique du vol des

hélicoptères.

Dans le document Théorie des bifurcations appliquée à l'analyse de la dynamique du vol des hélicoptères (Page 194-197)