Analyse

Il existe plusieurs méthodes pour examiner les propriétés d’une orbite périodique, afin de

sa-voir principalement si l’orbite périodique est attractive ou répulsive et à quelle vitesse les

trajec-toires convergent ou divergent. En théorie des bifurcations, la méthode employée généralement est

l’application de premier retour (section de Poncaré) [Guckenheimer et Holmes 2002, Perko 1996].

Dans le cadre de cette étude, la préférence est donnée à la méthode du premier harmonique

qui permet de diagnostiquer l’existence (ou non) de cycles limites mais également leurs

caracté-ristiques comme la pulsation, une amplitude approximative ou la stabilité. Elle a aussi l’avantage

d’être plus facile à mettre en œuvre par un ingénieur qui a des connaissances théoriques

mathéma-tiques moins importantes qu’un chercheur et qui préfère toujours les outils les plus pragmamathéma-tiques.

L’analyse du problème se décompose en deux parties. Dans un premier temps, une

configura-tion dont la nervosité du pilote a été choisie est étudiée et l’existence éventuelle de cycles limites

ainsi que leurs propriétés sont déterminées. Dans un deuxième temps, la topologie des trajectoires

du système est caractérisée en fonction de la nervosité du pilote K

pil

. Enfin, les résultats sont

interprétés du point de vue de la théorie des bifurcations et de l’ingénierie en mécanique du vol.

La démarche et les théorèmes utilisés dans l’étude de cas de la partie bibliographique portant

sur le PIO de l’arrondi à l’atterrissage du X-15 (section 4.3) sont en grande partie respectés.

Dans la configuration adoptée, le gain pilote est tout d’abord fixée à K

_pil

= 3.9. Une étape

de l’analyse est de tracer le diagramme de Nyquist relatif à la partie linéaire (en bleu) constituée

de l’aéronef et du pilote ainsi que celui relatif à l’opposé de l’inverse du premier harmonique de

la partie non-linéaire (en rouge) i.e. la servocommande limitée en vitesse.

162 Analyse de bifurcations de cycles limites : les oscillations induites par le pilote

Fig. ^{10.4. Diagramme de Nyquist et de Nichols pour un gain pilote}K

_pil

= 3.9

Comme les courbes s’intersectent en deux points, il y a deux cycles limites. Le critère de

Loeb permet d’affirmer que le point d’intersection supérieur sur la figure (10.4) correspond à

une orbite périodique instable et celui inférieur à une orbite périodique stable. Les valeurs de

la pulsation ω aux points critiques en lesquels G(jω) = −1/N(X) sont 3.8rad/s et 2.5rad/s.

Quant aux valeurs du rapport X =

^Aω_VL

telles que−1/N(X) =G(jω), elles sont de 1.3et2.3.

Or l’amplitude A des cycles est donnée, dans le cas du limiteur en vitesse, par la formule

A =

^VLX_ω

. Les enseignements de la méthode du premier harmonique permettent de conclure

qu’il existe un cycle instable de pulsation ω = 3.8rad/s et d’amplitude A = 0.1rad et

un cycle stablede pulsationω = 2.5rad/s et d’amplitudeA= 0.25rad. En particulier, une

information importante est que l’orbite périodique instable est à l’intérieur de celle qui est stable.

Pour vérifier cette affirmation, des simulations temporelles dont les valeurs initiales sont à

l’intérieur et à l’extérieur du cycle limite instable sont effectuées. Vu la disposition des éléments,

comme l’amplitude de l’état d’entrée de la non-linéarité est de A = 0.1rad pour ce qui est du

cycle instable, la valeur-couperet d’initialisation deθestδ

_s

(0)/K

_pil

=A/K

_pil

≈0.1/3.9≈0.025.

Une première simulation, de condition initialeθ(0) = 0.02raddans le cycle instable, est faite

et présentée dans (10.5).

Premier cas de PIO : le vol en stationnaire du concept ADOCS 163

Fig.^{10.5. Simulations temporelles de} θetδ

_s

pour θ(0) = 0.02radetK

_p

= 3.9

Le système converge vers le point d’équilibre à l’origine, comme le prédit l’analyse précédente.

Pour compléter les vérifications concrètes, une autre simulation temporelle est réalisée en se

plaçant cette fois-ci en dehors du cycle instable et en prenant une condition initiale θ(0) =

0.03rad.

Fig.^{10.6. Simulations temporelles de} θetδ

s

pour θ(0) = 0.03radetK

p

= 3.9

Le système tend bien vers une orbite périodique dont l’amplitude au niveau de la

servo-commande (variableδ

s

) est de l’ordre de0.25rad, équivalente à celle pressentie dans les calculs

préliminaires. Il y a effectivement dans cette configuration un couplage "pilote-véhicule-élément

déclenchant" qui donne lieu à des oscillations entretenues lors d’une telle manœuvre.

Dès lors que l’existence de PIO a été mise en évidence dans une situation où la nervosité

du pilote était fixée, l’étape suivante est de pouvoir dresser un inventaire des différents types de

comportement de l’appareil et des cas possibles de PIO.

Comme tâche initiale de l’analyse globale du dispositif, il est nécessaire de résoudre l’équation

d’auto-oscillations. En notantH la fonction de transfert décrivant la réponse de l’aéronef dans

le plan longitudinal et N(A, ω) l’approximation du premier harmonique de la non-linéarité, les

164 Analyse de bifurcations de cycles limites : les oscillations induites par le pilote

solutions éventuelles de K

pil

H(jω)N(A, ω) + 1 = 0 sont recherchées. Une routine programmée

dans l’environnement matlab procède au calcul des courbes du gain piloteK

_pil

en fonction de la

pulsation ω et de l’amplitude A.

Fig. ^{10.7. Courbes du gain pilote}K

pil

en fonction de la pulsation ω et de l’amplitude A

De l’examen des tracés de la figure (10.7), il ressort qu’il peut être distingué trois plages

de valeurs du gain pilote K

_pil

pour lesquelles le nombre de cycles limites diffère.

– Pour K

pil

<3.72, il n’y aaucun cycle limite.

– Pour3.72< K

_pil

<4.1, il y adeux cycles limiteset le critère de Loeb permet d’affirmer

que le cycle d’amplitude la plus faible et de pulsation la plus grande estinstablealors que

l’autre eststable.

– Pour K

pil

>4.1, il n’y a qu’un unique cycle limite stable.

Le diagramme de Nyquist associé à K

_pil^∗

= 3.72 montre que les graphes de K

_pil^∗

·H et

−1/N sont tangents, ce qui est une indication que K

_pil^∗

est bien la valeur critique pour laquelle

apparaissent les cycles limites. De même, sur le diagramme de Nyquist associé à K

_pil^∗∗

= 4.1, le

graphe de K

_pil^∗∗

H passe par le point(−1,0), ce qui signifie que le cycle limite associé est voué à

disparaître. La figure (10.8) illustre ces constations.

Premier cas de PIO : le vol en stationnaire du concept ADOCS 165

Fig.^{10.8. Diagrammes de Nyquist pour}K

pil

= 3.72 etK

pil

= 4.1

Dans cette partie de l’analyse, l’attention se focalise aux environs de K

_pil^∗

. Une simulation

temporelle est tout d’abord effectuée pour K

_pil

= 3.7< K

_pil^∗

et sa valeur initiale θ(0) = 0.1rad

est sélectionnée grande afin qu’elle converge de façon certaine vers le cycle limite éventuel, s’il y

en a un.

Fig.^{10.9. Simulations temporelles de} θetδ

_s

pour θ(0) = 0.1radetK

_pil

= 3.7

La simulation converge vers le point d’équilibre à l’origine, en accord avec les prévisions de

l’investigation initiale.

La configuration dans laquelle l’étude se poursuit est celle où K

_pil

= 3.76 > K

_pil^∗

. La

simu-lation, dont la valeur initiale de θ(0) = 0.1rad est choisie grande afin de ne pas manquer un

éventuel cycle limite, donne :

166 Analyse de bifurcations de cycles limites : les oscillations induites par le pilote

Fig. ^{10.10. Simulations temporelles de}θ etδ

s

pourθ(0) = 0.1rad etK

_pil

= 3.76

Il s’agit d’une situation pour laquelle il y a un couplage aéronef-pilote, comme prévu. Afin

d’accrocher des orbites périodiques avec Simulink, il faut néanmoins choisir un gain pilote

légè-rement plus élevé que la valeur critique théorique K

_pil^∗

.

Dans le document Théorie des bifurcations appliquée à l'analyse de la dynamique du vol des hélicoptères (Page 162-167)