Prévision des modes propres à froid

Les modes propres du système sont étudiés à froid sans combustion avec T1 = T₂ = T₃ = 293K et c = 343 m · s−1. Le plenum et le tube d’injection sont découplés car l’indice de couplage Ξ1 = 0.06 est faible (Schuller et al. (2012)). La chambre de combustion est également découplée du tube d’injection. L’indice de couplage acoustique vaut dans ces éléments Ξ3 = 0.04.

Analyse des fréquences propres

La figure Fig.7.7représente l’évolution de la fréquence des deux premiers modes calculés lorsque la longueur de la chambre de combustion L varie. Le premier mode est représenté en trait plein noir et le second mode en pointillés noirs. La fréquence du premier mode f1C décroît lentement lorsque la longueur L augmente. La fréquence du second mode est constante f2C ≈ 870 Hz pour L < 0.1m. Elle décroît ensuite fortement lorsque L augmente pour tendre vers une asymptote à f2C ≈ 121 Hz lorsque L ≥ 1 m. La structure du champ de pression de ces modes est représentée à la Fig. 7.8 lorsque L = 0, 0.5, 0.8 et 1.5m.

Nous analysons maintenant les paramètres géométriques qui pilotent les deux premières fréquences propres du système lorsque L varie :

• Lorsque L ≤ 0.1 m, le premier mode est le mode de Helmholtz du plenum et du tube d’injection. La structure du champ de pression est représentée à la Fig.7.8(a)lorsque L = 0 m. Sa fréquence f1C peut être

z (m) p (z )/ p^m a x 0 0.2 0.4 0.6 −1 −0.5 0 0.5 1 f1 C= 121 Hz f2 C= 871 Hz (a) L = 0 m. z (m) p (z )/ p^m a x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 −1 −0.5 0 0.5 1 Mic 1 f1 C= 101 Hz f2 C= 199 Hz (b) L = 0.5 m. z (m) p (z )/ p^m a x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 −1 −0.5 0 0.5 1 Mic 1 f1 C= 83 Hz f2 C= 148 Hz (c) L = 0.8 m. z (m) p (z )/ p^m a x 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 Mic 1 f1 C= 52 Hz f2 C= 119 Hz (d) L = 1.5 m.

Figure 7.8 – Représentation de la structure de la pression acoustique adimension-née des deux premiers modes du foyer DIFAV, pour quatre longueurs de chambre de combustion L. La courbe en trait plein représente la structure du premier mode de fréquencef1C et la courbe en pointillés la structure du second mode de fréquencef2C.

déterminée par l’Eq. (6.52). Le second mode est de type trois quarts d’onde comme le montre la Fig. 7.8(a). Le fort découplage acoustique du plenum et du tube d’injection (Ξ1= 0.04) implique que la fréquence f_2C est pilotée par la fréquence du mode demi-onde du plenum f = cu/2l1 = 858Hz. La fréquence f1C est donc pilotée par la géométrie du plenum et du tube d’injection. La fréquence f2C est uniquement pilotée par la longueur l1 du plenum.

• Lorsque 0.1 m < L ≤ 0.5 m, le premier mode est représenté à la Fig. 7.8(b) pour L = 0.50 m. Sa fréquence f1C peut être calculée avec un bon accord (Fig. 7.7) avec l’expression Eq. (6.52). Le second mode représenté à la Fig. 7.8(b) pour L = 0.50 m est de type trois quarts d’onde. Le fort découplage de la chambre de combustion (Ξ3 = 0.04) implique que la fréquence f2C est pilotée par la fréquence du mode quart d’onde de la chambre de combustion f = cu/4L. La fréquence f1C du premier mode dépend de toute la géométrie du banc DIFAV d’après l’Eq. (6.52), alors que la fréquence du second mode dépend uniquement de la longueur L de la chambre de combustion.

• Lorsque 0.5 m < L ≤ 1.0 m, la structure des modes représentée à la Fig. 7.8(c) pour L = 0.80 m est identique aux cas précédent. La fréquence du premier mode f1C peut être calculée avec un bon accord (Fig.7.7) avec l’expression Eq. (6.52). La fréquence f2C du second mode ne peut pas être déterminée par une relation simple. Ces fréquences dépendent de la géométrie complète du système.

• Lorsque 1.0 m ≤ L ≤ 2.0 m , la fréquence f1C du premier mode est pilotée par la fréquence du mode quart d’onde de la chambre de combus-tion. Cette fréquence peut également être déterminée par l’Eq. (6.52). La fréquence du second mode f2C peut être approximée par la solution de l’Eq. (6.46) qui dépend uniquement des cavités (1) et (2). La fré-quence f1C du premier mode dépend peu de la longueur L, tandis que la fréquence du second mode f2C tend vers une asymptote indépendante de la géométrie de la chambre de combustion.

Cette analyse montre que la structure du premier mode de ce système est de type quart d’onde et que la structure du second mode est de type trois quarts d’onde. La fréquence f1C peut être déterminée par l’Eq. (6.52) pour toutes les longueurs L de chambre étudiées.

Comparaison avec l’expérience

L’évolution de la fréquence propre des deux premiers modes lorsque 0.5 m ≤ L ≤ 1.25 m est représentée à la Fig. 7.9 en tenant compte de la correction d’extrémité à la sortie de la chambre de combustion. Les courbes représentent

L (m) f (H z ) 0.5 0.75 1 1.25 0 50 100 150 200 250 300

Figure 7.9 – Evolution des deux premières fréquences propres du brûleur DIFAV rempli d’air, à température ambiante, en fonction de la longueurL de la chambre de combustion. Les courbes noires représentent les solutions de l’équation de dispersion Eq.(6.41). Les symboles représentent les fréquences propres mesurées pour L = 0.83 m etL = 1.13m.

les solutions de l’Eq. (6.41) et les symboles les fréquences propres déterminées expérimentalement (Sec.7.1.1). Les prévisions sont en bon accord avec les me-sures. La structure des modes est représentée à la Fig.7.10pour une chambre de longueur L = 0.83 m et L = 1.13 m. La structure du premier mode est de type quart d’onde et la structure du second mode est de type trois quarts d’onde pour ces deux longueurs de chambre de combustion. La position du microphone Mic 1 dans la chambre de combustion est représentée par des pointillés verticaux. Le microphone Mic 2 se situe dans le plenum à l’abscisse 0. Les fluctuations de pression enregistrées par ces microphones sont en phase avec une amplitude importante pour le premier mode d’après la Fig.7.10. Elles sont en opposition de phase pour le second mode. Lorsque L = 0.83 m (Fig.7.10(a)), l’amplitude du signal de pression enregistrée par le microphone Mic 1 est importante pour le second mode. Lorsque L = 1.13 m (Fig. 7.10(a)), cette amplitude est très faible lorsque le second mode est excité car le microphone Mic 1 se situe près d’un nœud de pression. Ces résultats sont en accord avec les réponses modales des Figs.7.3 et7.5mesurées sur le banc DIFAV.

7.2.3 Prévisions des modes propres à chaud sans flamme