L’analyse des modes basses fréquences qui se développent dans la chaudière est réalisée en considérant la configuration A qui sert de référence (Tableau 8.1). Les cinq premiers modes basses fréquences qui se développent dans la coupe de la chaudière (Fig. 8.3) sont analysés ci-desssous. Leurs fréquences et leurs structures sont indiquées dans le Tableau8.2. Les modes basses fréquences qui peuvent se développer selon l’axe y de la chaudière générique (Fig. 8.3) sont ensuite déterminés analytiquement.
Tableau 8.2 – Synthèse des fréquences et du type de mode observé dans les simula-tions de la configuration A.
N˚du mode Type de mode Fréquence en Hz
1 Helmholtz 3.82
2 Plenum/Plenum 5.28
3 Plenum/Chambre 6.08
4 Plenum 12.93
Figure 8.4 – Représentation du champ de pression acoustique du mode 1 associé au mode de Helmholtz de fréquence fco
1 = 3.82Hz (configuration A : condition limite de type fermé au niveau de l’échangeur).
Mode 1
La figure Fig.8.4représente le champ de pression acoustique adimensionné par la pression maximale atteinte dans la chaudière pour le premier mode à une fréquence fco
1 = 3.82Hz. Ce mode met en évidence un mouvement d’ensemble de l’air dans les plenums et la chambre de combustion où la fluctuation de pres-sion est faible. La figure Fig.8.5(b) représente l’amplitude adimensionnée de la pression tracée selon l’abscisse représentée sur la Fig.8.5(a). Cette évolution de la pression acoustique est caractéristique d’un mode de Helmholtz des plenums à travers les brûleurs. Le changement de section important au niveau du récu-pérateur de cendre engendre du point de vue acoustique une impédance élevée. Cette configuration géométrique est similaire à celle étudiée dans la Sec.6.4où le mode de Helmholtz d’un système à trois cavités est associé à la plus petite des cavités. Il s’agit ici des deux plenums. La fréquence fth
he = 3.04Hz de ce mode est déterminée analytiquement à l’aide de l’Eq. (6.59) où V1 = 1.549× 103m3 est le volume des deux plenums, V3 = 7.559× 103m3 est le volume de la chambre de combustion, S2 = 2Sb = 28.08m2 et l2 = lb = 1.91m. La fréquence fth
he est proche de celle issue de la simulation fco
1 . Ce type de mode génère de très fortes variations de la pression à basse fréquence dans les plenums avec des amplitudes élevées. La fréquence de ce mode est donnée par l’Eq. (6.59) :
fheth= cu 2π 2Sb V1lb 1 +V1 V3 1/2 (8.1) Cette expression indique que ce mode peut être modifié en changeant le volume des plenums ou celui de la chambre de combustion.
(a) Représentation de l’abs-cissex d’analyse de la
pres-sion pour le mode de Helm-holtz. x (m) p (x )/p max 0 5 10 15 −1 −0.5 0 0.5 1
(b) Représentation de l’amplitude adimensionnée de l’onde de pression du mode 1 de fréquencef1co= 3.82 Hz le long de l’abscisex. Les droites (− · −) représentent la
position de la sortie des brûleurs.
Figure 8.5 – Représentation de l’onde de pression du mode 1 de type Helmholtz associée à la fréquence f1co (configuration A : CL échangeur type fermée).
Mode 2
Le champ de pression du second mode de fréquence f2co= 5.28 Hz est représenté
à la Fig. 8.6. La pression acoustique est nulle dans la chambre alors qu’elle est
maximale dans l’un des plenums et minimale dans l’autre. Il s’agit donc d’un mode couplé entre les plenums et la chambre. L’amplitude adimensionnée de
la pression est tracée à la Fig. 8.7(b) selon l’abscisse curviligne représenté à la
Fig. 8.7(a) de longueur Lpp ≈ 47 m. Sa structure est associée à un mode de
type demi-onde établi entre les deux plenums avec une fréquence donnée par :
f2co≈ fth
pp = cpp
2Lpp
(8.2)
où la vitesse du son cpp le long du chemin indiqué à la Fig. 8.7(a) est donnée
par : cpp= 1− lc Lpp cu+ lc Lppcb (8.3)
où cu = 495 m· s−1 est la vitesse du son dans les gaz frais à la température Tu
et cb = 776 m· s−1est la vitesse du son dans les gaz brûlés. On obtient alors une
vitesse du son cpp= 578 m· s−1et une fréquence théorique fth
pp = 6.15 Hz proche
de la fréquence f2co obtenue par simulation. Le calcul de la fréquence théorique
fppth correspond à une approximation unidimensionnelle de la situation qui ne
prend pas en compte les sauts de sections du système. Ceci explique l’écart observé avec la solution issue de COMSOL Multiphysics.
Figure 8.6 – Représentation du champ de pression acoustique du mode 2 associé au mode plenum/plenum de fréquence f2co= 5.28 Hz (configuration A : CL échangeur
type fermé).
0 47.26 m
Lpp = 47,26 m
(a) Représentation de l’abs-cisse curviligne s d’analyse
de la pression pour le mode plenum/plenum. s(m) p (s )/p max 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 −1 −0.5 0 0.5 1
(b) Représentation de l’amplitude adimensionnée de l’onde de pression du mode 2 de fréquencef2co= 5.28 Hz le long de l’abscise curvilignes. Les droites (− · −)
re-présentent la position de la sortie des brûleurs.
Figure 8.7 – Représentation de l’onde de pression du mode 2 de type plenum/plenum associée à la fréquence f2co (configuration A : CL échangeur type fermé).
Figure 8.8 – Représentation du champ de pression acoustique du mode 3 associé au mode plenum/chambre de fréquencefco
3 = 6.08Hz (configuration A : CL échangeur type fermé).
Mode 3
La figure Fig.8.8représente le champ de pression du mode 3 caractérisé par une fréquence fco
3 = 6.08Hz dans la simulation. La pression acoustique est minimale dans les plenums et maximale au niveau de la sortie haute de la chaudière. L’amplitude adimensionnée de la pression est tracée sur la Fig. 8.9(b) suivant l’abscisse curviligne représentée sur la Fig. 8.9(a)de longueur Lpc= 39.03m. Il s’agit donc d’un mode de type demi-onde établi entre le plenum et la chambre de combustion dont la fréquence est donnée par :
f3co≈ fpcth= cpc
2Lpc (8.4)
où cpc = 650m · s−1 est la vitesse moyenne du son le long de l’abscisse cur-viligne représenté sur la Fig. 8.9(a). On obtient alors une fréquence théorique fth
pc = 8.33Hz proche de la fréquence fco
3 obtenue par simulation. L’écart de fréquence a la même origine que pour le mode 2.
Les modes 1, 2 et 3 sont des modes basses fréquences qui dépendent fortement de la géométrie et des conditions limites au niveau des plenums, des brûleurs et de la chambre de combustion. Examinons désormais les deux modes suivants qui correspondent à des modes de cavités simples.
Mode 4
Le champ de pression du quatrième mode, qui a pour fréquence fco
4 = 12.93Hz, est représenté sur la Fig.8.10. La pression acoustique dans la chambre est dans
0
39.03 m
Lpc = 39,03 m
(a) Représentation de l’abs-cisse curviligne s d’analyse
de la pression pour le mode plenum/chambre. s(m) p (s )/p max 0 5 10 15 20 25 30 35 −1 −0.5 0 0.5 1
(b) Représentation de l’amplitude adimensionnée de l’onde de pression du mode 3 à fco
3 = 6.08 Hz le long de l’abscisse curvilignes. La droite (− · −) représente la
position de la sortie du brûleur.
Figure 8.9 – Représentation de l’onde de pression du mode 3 de type ple-num/chambre associée à la fréquence fpc (configuration A : CL échangeur type fermé).
Figure 8.10 – Représentation du champ de pression acoustique du mode 4 associé au mode longitudinal des plenums de fréquence f4co = 12.93 Hz (configuration A : CL
Figure 8.11 – Représentation du champ de pression acoustique du mode 5 associé au mode longitudinal de la chambre de fréquencefco
5 = 17.04Hz (configuration A : CL échangeur type fermé).
ce cas très faible alors qu’elle passe d’un maximum à un minimum suivant la hauteur des plenums. Il s’agit donc du premier mode de chaque plenum isolé. Sa structure correspond à un mode demi-onde s’établissant entre les deux extrémités des plenums dont la fréquence est donnée par :
f4co≈ fpth= cu
2Hp (8.5)
où cu = 495m · s−1 est la vitesse du son dans les gaz frais du plenum à la température Tu = 611K et Hp = 19.4m la hauteur du plenum. On obtient alors une fréquence théorique fth
p = 12.8Hz en accord avec la fréquence fco 4
obtenue par simulation.
Mode 5
La figure Fig. 8.11représente le champ de pression du mode 5 caractérisé par une fréquence fco
5 = 17.04Hz dans la simulation. La pression acoustique est faible dans les plenums et passe d’un maximum à un minimum suivant la direc-tion verticale de la chambre. Comme indiqué dans la Sec.8.1, nous remarquons que la condition limite au niveau du récupérateur de cendres en bas de la chau-dière a très peu d’influence et peut se modéliser comme une condition limite acoustique de type fermée quelques mètres plus haut. La structure de ce mode correspond à un mode demi-onde de la chambre dont la fréquence est donnée
par :
f5co≈ fth c = cb
2Hc (8.6)
où cb = 776m · s−1 est la vitesse du son dans les gaz brûlés de la chambre de combustion à la température Tb = 1500K et Hc= 24m est la longueur effective de la chambre pour obtenir un canal de type « fermé/fermé ». On obtient alors une fréquence théorique fth
c = 16.17Hz proche de la fréquence fco
5 issue de la simulation.
Modes transverses
Des modes basses fréquences peuvent également se développer selon l’axe y de la chaudière (Fig. 8.3). Ces modes sont de type demi-onde. La fréquence du premier de ces modes dans le plenum est donnée par :
fth pt = cu
2L (8.7)
où cu = 495m · s−1 est la vitesse du son dans les gaz frais. On obtient alors une fréquence théorique fth
pt = 11.6Hz. Le premier mode demi-onde dans la chambre de combustion a une fréquence :
fth ct = cb
2L (8.8)
où cb = 776m · s−1 est la vitesse du son dans les gaz brûlés. On obtient alors une fréquence fth
ct = 18.3Hz. Ces modes génèrent une fluctuation de pression acoustique qui n’est pas en phase sur toute la longueur L des injecteurs géné-riques. Les instabilités thermo-acoustiques qui pourraient se développer seront donc moins importantes que lorsque la fluctuation de la pression acoustique est en phase sur toute la longueur L des injecteurs.
Synthèse
Nous avons mis en évidence dans cette section la structure des cinq premiers modes basses fréquences qui se développent dans le plan xz de la chaudière générique. Pour chacun des modes un modèle simplifié pilotant sa fréquence et sa structure a été proposé. Une synthèse est présentée dans le tableau 8.3. Il est peu probable que le mode 4 de type plenum soit excité par un couplage thermo-acoustique puisque la flamme n’est pas située dans une zone avec des fluctuations importantes de la vitesse acoustique pour ce mode.
Dans le système plenums/chambre, des modes de type demi-onde se déve-loppent selon l’axe transverse y. Sa fréquence est comprise entre les fréquences des modes 3 et 4 lorsqu’il est associé au plenum. Sa fréquence est supérieur au
mode 5 lorsqu’il est associé à la chambre.
Nous privilégions dans la suite de l’étude les modes les plus dangereux lorsque l’injecteur générique répond en phase sur toute sa longueur L. C’est pour cette raison que la suite de l’étude acoustique de la chaudière est menée dans le plan xz de la chaudière (Fig. 8.3).
Tableau 8.3 – Synthèse des fréquences et du type de mode observé dans les simula-tions et obtenus théoriquement pour la configuration A.
Fréquence issue Fréquence N˚du mode Type de mode de la simulation théorique fco (Hz) fth (Hz) 1 Helmholtz 3.82 3.04 2 Plenum/Plenum 5.28 6.15 3 Plenum/Chambre 6.08 8.33 4 Plenum 12.93 12.80 5 Chambre 17.04 16.17