Un schéma de calcul est l’ensemble des choix de modélisation et des approximations effec- tuées lors des calculs déterministes. Le schéma REL2005 s’appuie en amont sur une bibliothèque de sections efficaces multigroupes (issues des bibliothèque européenne de données nucléaires éva- luées, en l’occurence JEFF-3.1.1). Les évaluations des éléments de la chaîne thorium incorporées à JEFF-3.1.1 ne sont pas toutes récentes8, ainsi que le montre le Tab.2.1.
Isotope Evaluation Date
232Th Maslov, Minsk 2001
231Pa Scientific Co-ordination Group 1982 233Pa Scientific Co-ordination Group 1982 232U Scientific Co-ordination Group 1982 233U Mutsunobu, Kawano 2000
234U Maslov 2002
Tab.2.1: Envaluations JEFF-3.1.1 des éléments de la chaine thorium
Les étapes du schéma REL2005 et leur enchaînement est décrit Fig. 2.11.
Fig.2.11: Architecture du schéma de calcul REL2005 (les cellules en rose correspondent au calcul de premier niveau, les cellules en bleu au calcul MOC de deuxième niveau, les cellules à fond blanc aux étapes nécessaires entre premier et second niveau).
8Enn 1999 a été lancé un Coordinated Research Project (CRP) "nuclear data for thorium-uranium fuel cycle"
par l’IAEA sur les isotopes de la chaîne thorium [Pronyaev, 1999]. L’objectif a été d’évaluer, de vérifier et de valider les mesures sur des benchmarks issus d’expériences récentes. Ce projet a pris fin en 2005 et les nouvelles évaluations des données nucléaires existent [Schillebeeckx and Trkov,2006].
Le calcul d’autoprotection fait partie des étapes gourmandes en temps de calcul. L’opti- misation temps/précision conduit à différencier la géométrie d’autoprotection de la géométrie du calcul de flux. Les cellules qui ont le même environnement immédiat sont regroupées afin de former une unique cellule physique. Ainsi, si la modélisation de l’assemblage fait intervenir 45 cellules combustibles (nombre de crayons nécessaires pour décrire un huitième d’assemblage REP avec symétries), une dizaine de cellules physiques suffiront au calcul d’autoprotection (les cellules seront différenciées selon leur proximité à la lame d’eau, aux trous d’eau,...).
La pastille est découpée en quatre sous-volumes correspondant (du centre vers la périphérie) à 50%, 30%, 15% et 5% de la surface de la pastille cylindrique. Ce découpage est préconisé afin de tenir compte du gradient de flux interne dans la pastille, qui influe notamment l’absorption résonnante de l’238U (effet de peau) et qui conduit à un phénomène d’autoprotection spatiale
(dépression du flux thermique au centre de la pastille).
Deux calculs de flux sont réalisés : un premier, rapide, par la méthodePij en UP1-Hétérogène
permet d’obtenir un flux à 281 groupes par maille de calcul. Avec ce flux à 281 groupes, les sections efficaces sont condensées sur un maillage à nombre de groupes restreints (en l’occurence 26 groupes). Le second calcul de flux est réalisé par la méthode MOC à 26 groupes d’énergie sur une géométrie TDT exacte (dont le maillage peut être irrégulier). En effet, le calcul par la méthode MOC directement à 281 groupes est beaucoup trop long pour les calculs prospectifs d’une part, et le schéma double niveau 281G-26G donne de très bons résultats en terme de précision par rapport au calculMOC à 281 groupes [Santamarina et al.,2008]. Une équivalence transport 281G - transport 26G est effectuée afin de corriger les biais liés à la condensation.
Ce schéma de calcul a été validé est en partie qualifié pour les combustibles UOX et MOX en REP et REB. Cependant la validation et la qualification de ce schéma pour décrire des combustibles thoriés et/ou à forte teneur en plutonium, au sein de réseaux sous-modérés (en particulier à pas triangulaire) est en cours
Chapitre 3
Rappels sur l’équation de la diffusion et
sa résolution par CRONOS2
Le calcul des cœurs de réacteurs nucléaires est un problème multi-échelles et multi-physiques (Fig. 3.1) qui doit s’effectuer en plusieurs étapes. Les paramètres macroscopiques d’intérêt, tels que le kef f ectif, les distributions en trois dimensions (3D) de puissance, température ou
modérateur, dépendent de la précision de données qui interviennent à une échelle beaucoup plus petite : les sections efficaces. Un certain découplage est cependant observé entre ce qui se passe au niveau macroscopique du cœur et ce qui se passe au niveau du crayon ou de l’assemblage.
Fig. 3.1: Illustration de la géométrie d’un cœur de réacteur nucléaire
L’outil de simulation qui a été utilisé pour effectuer les calculs de cœurs en 3D est le code CRONOS2. C’est un code modulaire qui peut résoudre l’équation du transport aussi bien que l’équation de la diffusion multigroupes et qui intègre des modèles de thermique et de thermohy- draulique simplifiés permettant d’évaluer les contre-réactions modérateur et Doppler notamment [Lautard et al., 1990]. Ce chapitre a pour objet une présentation de la théorie de la diffusion multigroupe, employée dans CRONOS2, puis une description de la chaîne de calcul dans sa globalité, depuis la constitution des données d’entrée jusqu’au résultat final.
Le code CRONOS2 est intégré au système SAPHYR [Akherraz et al., 2003] comprenant également APOLLO2 et FLICA4. Ces trois codes ont été développés pour pouvoir être couplés entre eux. Ainsi, chaque étape du calcul est décrite précisément avec un outil spécifique et les résultats de l’un servent de données d’entrée au code suivant. Il est ainsi possible de réaliser un calcul neutronique couplé à la thermohydraulique très précisément sur des cœurs de géométrie et de gestion complexes.
3.1 Rappels sur la théorie de la diffusion multigroupe
La théorie de la diffusion permet d’aboutir à une équation, l’équation de la diffusion, plus simple que l’équation du transport. Elle repose sur deux hypothèses.
1. Les neutrons apparaissent, sont diffusés ou absorbés. La première hypothèse est que le milieu est essentiellement diffusant, c’est-à-dire que sur le parcours de longueur dx, la probabilité d’être absorbé est négligeable devant celle d’être diffusé (3.1).
Σadx << Σsdx (3.1)
2. La seconde hypothèse est que la longueur caractéristique de la géométrie est très grande devant la longueur caractéristique des variations de flux. En notant λs le libre parcours
moyen de diffusion, cela se traduit par (3.2).
λs << dimensions caractéristiques (3.2)
Dans ces conditions, on peut appliquer la loi de Fick au "gaz" de neutrons dilué dans le milieu diffusant. Cette loi exprime qu’en chaque point de la géométrie, et à un instant t, le vecteur courant de particules est proportionnel au gradient de la densité neutronique [Barjon,
1993]. En notant D le coefficient de diffusion, la loi de Fick appliquée au flux neutronique est décrite par l’équation (3.3). Cette formulation permet de simplifier le terme de fuite de l’équation du transport par un terme de diffusion qui traduit le fait que les neutrons ont tendance à diffuser dans le réacteur et que leur concentration atomique tend à s’uniformiser.
~ J(~r, t) | {z } Courant de neutrons = −D(~r, t) ~∇ Φ(~r, t) | {z } F lux scalaire (3.3)
Cette équation fait intervenir un coefficient de diffusion D(~r, t). En milieu faiblement absor- bant, ce coefficient est fonction de la section macroscopique totale du milieu au point ~r (3.4). La section totale Σt est la somme de la section d’absorption et de diffusion. La diffusion est
considérée comme isotrope, c’est-à-dire Σs= Σs,0. Cependant cette approximation introduit un
biais sur le calcul de l’aire de migration M2 qui est proportionnelle au carré moyen de la distance
parcourue par le neutron entre son émission et son absorption (3.5). Dans l’hypothèse d’un choc isotrope, l’aire de migration est sous-estimée. Cet exemple illustre la nécessité d’une correction pour tenir compte de l’anisotropie de la diffusion.
Chapitre 3. Rappels sur l’équation de la diffusion et sa résolution par CRONOS2 D = 1 3Σt (3.4) M2 = 1 6 d2 = D Σa = 1 3ΣtΣa (3.5)
L’anisotropie de la diffusion est prise en compte par la correction du transport1. Cette correc-
tion consiste à modifier la section totale avec un terme correctif µ qui rend compte de l’anisotro- pie. On écrira avec un indice "tr" la section corrigée en transport (3.6), qui permet de rétablir la valeur de l’aire de migration en remplaçant Σtpar Σtr dans (3.5). Le calcul du cosinus de l’angle
de déviation entre le système du centre de masse et le système du laboratoire montre que µ est fonction du numéro atomique du noyau diffusant A et de l’angle de déviation dans le système du centre de masse : ¯µ = 2/(3A). En calculant sa valeur moyenne (par intégration angulaire) et en prenant A=1 pour l’hydrogène qui est le principal noyau diffusant pour un réacteur de type
REPmodéré à l’eau légère, alors µ = 2/3.
Σtr = Σt− µΣs (3.6)
Le terme −~Ω.~∇Φ de l’équation du transport se simplifie ensuite en injectant l’expression du courant neutronique selon la loi de Fick :
− ~Ω.~∇Φ = ~∇ ~J(~Ω) = ∇(D ~∇Φ(~r, t)) = D ∆Φ(~r, t) (3.7)
Finalement, l’équation de la diffusion sous sa forme stationnaire multigroupe est donnée par l’équation (3.8).
D ∆Φ − ΣaΦ + S = 0 (3.8)
La loi de Fick appliquée à la diffusion des neutrons en réacteur est vérifiée si le nombre de groupes énergétiques est limité. En effet, avec un maillage énergétique fin, l’approximation consistant à négliger l’absorption devant la diffusion peut être mise en défaut.