Calcul des P ij par APOLLO2

Les calculs de neutronique sont généralement effectués sur des ensembles géométriques ré- guliers dont l’élément unitaire, la cellule combustible, est composé a minima de modérateur, d’une gaine et d’une pastille combustible pour le cas des REP par exemple. Par conséquent le maillage spatial sera au moins constitué de trois mailles correspondant aux milieux. D’autre part, à l’instar de la méthodeMOC, l’approximation de sources plates est employée, ce qui nécessite d’adopter un maillage spatial qui permette de suivre le gradient de flux au sein de la cellule.

Les cellules sont reliées entre elles par des relations sur les courants entrants et sortants. Les approches multicellule et "2D-exact" découlent de la modélisation de ces courants.

Dans le modèle multicellule, la cellule peut être cylindrisée afin de pouvoir se ramener dans des conditions isotropes, à traiter un problème 1D. Dans cette méthode, le couplage entre les différentes cellules de la géométrie se fait selon un formalisme flux-courant. L’avantage est de pouvoir résoudre le flux sur un nombre limité de cellules, caractérisées uniquement par leur environnement. Cette méthode de résolution est très rapide et est particulièrement adaptée aux calculs d’autoprotection (voir section2.5). Chaque cellule est calculée indépendamment les unes des autres. Le lien entre cellules se fait grâce aux courants d’interface.

La cylindrisation de la cellule se fait par conservation des volumes (cylindrisation de Wigner- Seitz). Le rayon équivalent externe est choisi de façon à conserver le volume de la cellule : en notant p le pas du réseau, alors le rayon équivalent Req est défini par Req = p/√π. La

cylindrisation est associé à des conditions de réflexion isotrope. En effet, l’association de ces deux approximations permet de simplifier le calcul des probabilités de collisions en se ramenant à un cas 1D d’une part, et en ne calculant que les Pji au sein d’une même cellule d’autre part.

Examinons les différentes possibilités offertes à un neutron émis dans le volume Vj et leur

probabilités associées. On note avec un exposant "+" les probabilités de collision qui corres- pondent à la probabilité de collision d’un neutron dans la cellule qui lui a donné naissance, sans traversée de la surface externe de la cellule.

– le neutron émis dans le volume Vj de la cellule subit sa première collision dans le volume

Chapitre 2. Présentation des méthodes de résolution du flux par APOLLO2 – le neutron émis dans le volume Vj sort par la surface S et subit sa première collision dans

une cellule adjacente. Cette situation correspond à la probabilité P+ jSP+Sj

– le neutron émis dans le volume Vj sort par la surface S, traverse une cellule, et subit sa

première collision dans une troisième cellule, situation à laquelle on associe la probabilité P+

jSPSSP+Sj, etc.

Alors

Pji = P_ji++ P_jS+P_Sj+ + P_jS+PSSP_Sj+ + P_jS+PSS2 PSj+ + ...

L’approximation consistant à dire que les traversées des surfaces se font de manière isotrope et uniforme, que l’on nomme hypothèse de courants plats, permet d’écrire la probabilité Pji comme

la somme de chacune des probabilités individuelles décrites précédemment. Cette somme est une suite géométrique de raison (PSS) et de terme initial P+ji (2.47).

Pji= P_ji++

P_jS+P_Si+

1 − PSS (2.47)

Le terme PjS+PSi+

1−PSS correspond à l’effet Dancoff, qu’un neutron émis dans un barreau com-

bustible subisse sa première collision dans une autre cellule que celle qui lui a donné naissance. Enfin, le terme PSS correspond à une probabilité de transmission. Différents modèles existent

dans APOLLO2 pour déterminer ces probabilités de transmission.

Le modèle le plus simple, appelé modèle Roth × 4 (Roth × 6 pour une cellule hexago- nale), permet de calculer les probabilités de transmission sur la cellule cylindrisée avec faces différenciées (Fig. 2.5_{). Dans le modèle Roth × 4, l’effet de retour a été supprimé par rapport}

au modèle Roth. Cette correction supprime l’effet non physique correspondant à un neutron provenant d’une cellule extérieure, qui traverse la surface par la face N˚1 et qui ressort de la cellule par cette même face sans avoir subi de collision. Cette méthode autorise uniquement l’approximation UP0 de courants uniformes en espace et isotropes en angle.

Fig. 2.5: Différenciation des courants d’interface [Courau, 2008]

Le modèle homogène consiste à calculer les Pji internes sur la cellule cylindrisée, puis de

calculer les probabilités de transmission sur le vrai contour géométrique.

Le modèle hétérogène conservatif propose le calcul des probabilités de fuite et de trans- mission sur la géométrie réelle indépendamment des probabilités de collision de la géométrie cylindrisée. Par conséquent le jeu de probabilités obtenu ne vérifie pas les équations de conser- vation et doit être renormalisé. Ce modèle peut s’employer avec les approximations de flux angulaires d’interface UP0 ou UP1. Pour cette dernière, les courants sont considérés comme étant uniformes en espace et linéaires en angle. Le calcul des probabilités de transmission s’ef-

fectue donc par une double intégration, à la fois en espace et en angle, ce qui supprime les biais liés à la cylindrisation en s’approchant de la condition de réflexion spéculaire.

Enfin, dans le cas du modèle hétérogène direct, seules les probabilités de collision sur les régions de rayons internes au cercle inscrit à la cellule sont calculées avec le modèle 1D. Toutes les autres le sont sur la géométrie réelle.

L’approche 2D-exacte, qui correspond au formalisme flux calcule les probabilités de col- lision sur la géométrie 2D, sans cylindrisation. Par conséquent, cette méthode ne présente que deux approximations : l’hypothèse d’isotropie de la diffusion avec la correction du transport, et l’hypothèse de flux plats par région. Le calcul des Pij est effectué dans chaque sous-volume de la

géométrie par intégration le long de cordes définies par un angle ∆Φ avec une densité paramétrée par ∆r. Dans la pratique, le module Marsyas est utilisé pour le calcul du flux par la méthode

Pij sur des géométries rectangulaires exactes, et le module TDT pour toutes les géométries en

général. Cette méthode permet de décrire des conditions de réflexion de type spéculaire. Enn conclusion, la méthode des probabilités de première collision (Pij) offre les avantages

d’un calcul précis de motifs de petite taille avec l’hypothèse de choc isotrope, et la possibilité de définir des regroupements de cellules par similarité d’environnement, ce qui permet de réduire la taille du système à calculer, et donc le temps de calcul. Ces arguments en font une méthode adaptée aux calculs d’autoprotection.