PARTIE 2 : PRESENTATION DU MODELE
5.1 Présentation du Modèle 1
Figure 12 : Phénomènes de la contraction cardiaque
Pour être intégré à un modèle complet de la boucle cardiovasculaire tout en respectant des contraintes de faisabilité et de simulation en des temps de calcul réalistes, le modèle se doit de décrire de manière globale le comportement du ventricule. En effet, le but est d’obtenir des caractéristiques des courbes de pression et de volume du ventricule qui soient réalistes et qui aient un comportement satisfaisant face aux variations des autres paramètres physiologiques (passage position couché-debout, changement de température, hémorragie…). Certains modèles décrits précédemment peuvent satisfaire ces conditions. C’est le cas du modèle d’élastance (Guarini 1998, Palladino 2002), du ventricule de Diaz-Lefevre (LeFèvre 1999, Diaz-Zuccarini 2003) ou des modèles basés sur les modèles rhéologiques de Hill (Wong 1974, Bestel, 2000). Cependant, la représentation des phénomènes électriques est intégrée à ces modèles de manière simpliste et le nombre de segments des modèles ventriculaires est faible. Or, la description du couplage électromécanique est indispensable à la description de la contraction cardiaque. En effet, ce sont ces mécanismes qui sont à la base de la contraction et qui vont permettre de générer la force nécessaire à l’intérieur de la fibre musculaire. Cette force développée par le muscle cardiaque va provoquer les variations de pression à l’intérieur du ventricule (Figure 12). Il nous a donc semblé important de prendre en compte cette première contrainte et ceci explique que les modèles de ventricules décrits dans ce travail intègrent un modèle des variations de la concentration calcique qui est relié à un modèle de la fibre musculaire permettant d’obtenir les variations de force et de longueur de la fibre. Enfin, les caractéristiques de force et de longueur de la fibre musculaire permettront alors d’obtenir les changements de pression et de volume du ventricule. Deux modèles de ventricule basés, sur cette structure et correspondant à des degrés de précision différents, ont été développés ; nous les nommerons par souci de simplicité modèle 1 et modèle 2 : le modèle 1 se base sur une description globale en assimilant le ventricule à une cavité dont on ne considère pas la géométrie et modèle 2 s’appuie sur une description réaliste de la géométrie du ventricule en considérant un découpage du myocarde.
5.1 Présentation du Modèle 1
5.1.1 Représentation de l’activité électrique
Afin de décrire de manière réaliste les variations de la concentration en calcium au niveau des cellules cardiaques, un modèle électrophysiologique de la littérature est utilisé. La plupart des modèles
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existants de l’activité électrique se basent sur la description des différents courants entrants et sortants de la cellule cardiaque. Le potentiel de membrane dépend des valeurs de ces courants:
!
CdV
dt =canauxIionique
" ( 7 )
Les courants sont modélisés par des équations de type Hodgkin-Huxley (Hodgkin Huxley 1952) de la forme : ! I ionique = g ioniquem(V )(V " V ionique) ( 8 )
Cela signifie que chaque courant dépend d’une constante g, de paramètres d’activation et de désactivation m qui dépendent du potentiel de membrane V et de la différence entre le potentiel de membrane et le potentiel de repos. Le modèle de Beeler-Reuter (Beeler Reuter 1977) a été retenu pour simuler le potentiel d’action de la membrane des cardiomyocytes ventriculaires car il permet d’accéder à une description élémentaire de la concentration calcique tout en gardant un faible niveau de complexité. Des modèles plus complets de l’activité électrique auraient pu être choisis (Luo Rudy
1994, Pormann 1999), mais ceux-ci demandent des ressources informatiques plus importantes. Il serait
cependant aisé de remplacer le modèle de Beeler-Reuter par un modèle électrophysiologique plus complet en connectant la variable représentant la concentration au calcium au modèle mécanique.
5.1.2 Représentation de l’activité mécanique
La partie mécanique du modèle se base sur les travaux d’Hunter et al (Hunter 1998) qui reprennent la distinction classique entre propriétés passives et actives.
Pour l’aspect passif, la relation contrainte-déformation se déduit de la loi dite « Pole zéro » définie dans le repère des fibres musculaires cardiaques. Ici on s’intéresse à la loi de comportement dans l’axe de la fibre afin d’obtenir la relation entre la contrainte T et le rapport d’extension λ, soit :
• En tension (λ >1) : ! Tp = k1"11 (a 1#"11)b1[2 + b1"11 a1#"11] avec ! "11=1 2(# 2$1) ( 9 ) • En compression (λ <1) : ! Tp = " 2.k2#22 (a2"#22)b2[2 + b2#22 a2"#22 ] avec ! "22=1 2( 1 #$1) ( 10 ) ! "11 et !
"22 sont les composantes du tenseur d’élongation de Green,
!
a1 et
!
a2 correspondent respectivement aux limites de déformations dans l’axe de la fibre et dans l’axe orthogonal à la fibre dans le plan de celle-ci,
b
1 etb
2déterminent la courbure etk
1 etk
2donnent la contribution relative de chacun des termes.53
Pour l’aspect actif, on utilise la contrainte, à l’état stationnaire, définie dans les travaux de Nash (Nash
1998) et Hunter et al (Hunter 1998) : ! Ta= Tref(1+ "a(# $1)). ([Ca 2+]b)n ([Ca2+]b)n+ C50n ( 11 ) avec ! n = nref(1+ "1(# $1)) , ! pC50= pC50ref(1+ "2(# $1)) et ! C50=106" pC50
Cette forme de la contrainte active permet de prendre en compte le couplage électro-mécanique au niveau des fibres cardiaques. Ainsi il est possible d’obtenir la contrainte totale dans la direction de la fibre en calculant la somme des contraintes actives et passives :
!
T = Ta+ Tp ( 12 )
Afin d’obtenir la force totale développée par le ventricule, la contrainte est multipliée par la surface ventriculaire S :
!
F = T .S = S.Ta+ S.Tp ( 13 )
5.1.3 Représentation du couplage mécanique-hydraulique
La contraction des fibres myocardiques permet de générer la force nécessaire aux variations du volume ventriculaire et de la pression ventriculaire. Celle-ci dépend notamment de la tension des fibres musculaires, de la direction de celles-ci et de la forme géométrique du ventricule. Dans la première version du modèle de ventricule, l’influence de l’orientation des fibres a été négligée. En effet, on suppose que le ventricule est constitué de fibres qui s’enroulent en anneaux concentriques. Cette hypothèse est certes simplificatrice mais reste réaliste pour les applications cliniques visées avec ce modèle telles que l’étude de l’arc baroréflexe en Test Tilt ou la manœuvre de Valsalva, pour lesquelles une description détaillée du ventricule est nécessaire. De plus, elle est confortée par le fait que les fibres circulaires sont majoritaires et donc la paroi du ventricule est constituée de l’enroulement de fibres. De la même manière que dans (Diaz-Zuccarini 2003), cette hypothèse permet alors de trouver une relation entre la longueur (l ou L, avec ou sans déformation du ventricule) et le nombre (m) de fibres bout à bout sur sa circonférence et le rayon (r, R) du ventricule en supposant que celui-ci possède une section circulaire :
!
2.".r = ml dans l’état déformé
!
2.".R = mL dans l’état non déformé Ces relations permettent de définir le rapport d’élongation
!
" = l L sous sa forme équivalente
!
" = r R. Dans ces conditions, la pression ventriculaire imposée par la paroi ne dépend que de la tension de la fibre dans la direction tangentielle au ventricule, qui correspond à la direction de la fibre. En ce qui concerne l’influence de la forme du ventricule sur la pression, la loi utilisée dans la thèse de Diaz (Diaz-Zuccarini 2003) a été retenue. Dans ce modèle, la cavité ventriculaire n’est pas représentée par
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une forme géométrique mais par une relation empirique entre le volume ventriculaire et la longueur des fibres sous la forme :
!
V = Aln ( 14 )
où les constantes A et n sont à fixer empiriquement. Cette relation peut également s’exprimer en fonction du rayon ventriculaire
!
V = " A .rn ( 15 )
où la constante A’ intègre la relation entre le rayon et la longueur.
Le changement de domaine énergétique, soit la transformation mécano-hydraulique, est supposé sans perte. Cela se traduit par l’égalité entre la puissance mécanique et la puissance hydraulique.
!
P.dV dt = F.
dr
dt ( 16 )
On peut alors en déduire les équations du transformateur :
! dV dt = n. " A .r n#1.dr dt ( 17 ) et ! P = 1 n. " A .rn#1F ( 18 )
Il se dégage de (Diaz-Zuccarini 2003) que cette relation permet de conserver la simplicité mathématique tout en permettant d’obtenir des simulations réalistes du comportement hydraulique cardiaque.
5.1.4 Modèle retenu
Le but de ce paragraphe est de décrire de manière globale le comportement du ventricule afin de l’intégrer dans le modèle de boucle complète. Ce modèle (Figure 13) permet d’obtenir les caractéristiques de pression et de volume du ventricule tout en décrivant les phénomènes électromécaniques.
Figure 13 : Modèle Global du Ventricule
Équations (17) et (18)