Modèle des valves

E_max) en fin de systole et son minimum (

!

E_min) en diastole comme proposé par (Takata 1997) : si ! 0 " t_a" 2.T_max ! E_a=^Emax" Emin 2 (1" cos(^#.ta T_max)) + E_min ( 75 ) et si ! 2.T_max" t_a" T ! E_a= E_min où le paramètre !

t_a est une variable de temps ayant pour origine le début de la contraction de l’oreillette,

!

T_max et

!

T correspondent respectivement à la durée de la contraction auriculaire et à la durée du cycle

cardiaque.

5.3.3 Modèle des valves

Dans ce travail, les valves sont modélisées comme des diodes imparfaites. Celles-ci peuvent être représentées par des résistances linéaires pour chaque état :

• Faible pour l’état passant. • Elevée pour l’état bloquant.

L’introduction de valves imparfaites permet d’envisager l’étude de certaines pathologies telles que les sténoses (rétrécissements) ou les insuffisances (fuites) valvulaires. Une autre approche pour la modélisation aurait pu être utilisée par une résistance fixe et un transformateur modulé (rapport égal à 0 ou 1) tel que décrit par (Diaz-Insua 1996). Des modèles beaucoup plus élaborés des valves ont été reportés dans la littérature (Korakianitis 2006). Une description en Bond Graph de celui-ci est également possible mais n’est pas nécessaire dans notre contexte.

77

Conclusion

Deux modèles ventriculaires de complexité différente ont été proposés dans ce chapitre. Leur originalité réside notamment dans la description du couplage électromécanique, qui est indispensable à la représentation de la contraction cardiaque. L’influence de ces phénomènes sur le comportement hydraulique ventriculaire a été également décrite. En fonction de l’objectif clinique, le choix du modèle peut être effectué. Le premier modèle, qui présente une représentation simplifiée, est plus adapté à l’étude du SCV complet et particulièrement pour les tests classiques du SNA tels que la manœuvre de Valsalva. Le second modèle, plus intéressant pour une étude plus fine du comportement ventriculaire, mélange des automates cellulaires, des systèmes à équations différentielles et une représentation par Bond Graph. La principale contribution de ce modèle est de proposer une structure qui permet l’implémentation à l’échelle mésoscopique. Celle-ci est facilitée, d’une part, par l’association entre les activités électriques et mécaniques et, d’autre part, par la mise en œuvre et l’intégration des descriptions mécanique de la paroi et hydraulique du fluide en contact.

78

Chapitre 2 : Modèle de la boucle cardiovasculaire

Les modèles de réseaux vasculaires permettent d’obtenir les caractéristiques de pression et de débit à différents endroits de la circulation systémique et pulmonaire. Ces variables (pressions artérielle et veineuse) vont être placées en entrée du modèle de SNA qui va influer sur certains paramètres du modèle circulatoire. Le contrôle de la pression sanguine est un système très complexe. En effet, il est composé de plusieurs sous-systèmes agissant à court, moyen et long terme, les temps d’action allant de la seconde à l’heure. Dans ce travail, seule la régulation à court terme de la pression sanguine (temps de réponse inférieur à la minute) via les barorécepteurs et les récepteurs basse-pression est considérée. Le principal but de cette régulation est de stabiliser la pression artérielle entre 80 mmHg et 120 mmHg. Ces mécanismes sont appelés baroréflexe et réflexe cardiopulmonaire, et correspondent à la réponse des centres de contrôle du SCV aux variations de la pression sanguine. C’est de ces centres de contrôle que partent les voies efférentes nerveuses sympathique et parasympathique.

Dans ce chapitre, les interactions entre les modèles de cœur 1 et 2 proposés, de circulation et de SNA sont décrites et doivent être énoncées de manière très précise. Le modèle des réseaux vasculaires est tout d’abord décrit. Ensuite, le modèle du SNA est présenté. Enfin, les liens entre les différents sous composants du SCV complet sont exposés. Il importe de souligner que le modèle complet développé est modulable puisque, pour chaque sous-système, des représentations de complexités différentes ont été mises en œuvre.

79

1 Modèle hydraulique d’une portion de vaisseaux

L’objectif étant de proposer un modèle global du SCV qui soit modulable, une approche à paramètres localisés semble alors la plus adaptée. On pourra donc utiliser un modèle de type Windkessel, c’est-à-dire un modèle basé sur une analogie avec les circuits électriques. Dans un premier temps, on s’intéresse à l’activité hydraulique d’une portion de vaisseau.

De nombreux modèles basés sur des analogies ont été utilisés dans la littérature (McInnis 1985, Heldt

2002, Olufsen 2005, …). Dans (Melchior 1994, Diaz-Insua 1996, LeFèvre 2000, Diaz-Zuccarini 2003),

une portion de vaisseau souple est décrite par une capacité, une résistance et une inertie. En effet, il est possible de montrer en partant des équations de Navier-Stokes et de la mécanique des fluides, les propriétés capacitives, résistives et inertielles correspondantes. Les définitions de ces propriétés sont rappelées ci-dessous :

• Les propriétés capacitives:

Les vaisseaux sanguins sont élastiques. Il y a une relation entre les variations de pression et le volume. Soit un vaisseau élastique de volume V et de pression interne P, on peut relier de manière simple V à P par la relation affine :

V = Vnc + CP ( 76 )

Avec C la constante appelée compliance du vaisseau et Vnc le volume du vaisseau à pression nulle (volume non-contraint).

• Les propriétés résistives :

En assimilant le vaisseau à un tube cylindrique de section S dans lequel coule un fluide incompressible, on peut trouver une relation entre le débit et la différence de pression le long du vaisseau, grâce à l’équation de Navier-Stokes :

!

Q =^"P

R ( 77 )

Cette équation est appelée habituellement loi de Poiseuille. Une résistance hydraulique peut être définie à partir de la longueur du vaisseau l, de la section S et du coefficient de viscosité du sang η :

!

R =^8"l#

S2! ( 78 )

• Les propriétés inertielles :

En exprimant la pression du fluide en fonction de la masse, de la vitesse et de la surface étudiée, la pression est reliée au débit par :

80

!

p = I .^dQ

dt ( 79 )

L’expression de l’équivalent hydraulique de l’inertance est donnée par l’équation suivante :

!

I =^"l

S ( 80 )

avec ρ la masse volumique, l la longueur du vaisseau et S la section.

Le formalisme Bond Graph peut être utilisé pour décrire l’activité hydraulique. On modélise ainsi les effets résistifs (l’opposition au flux sanguin), capacitifs (l’élasticité de la paroi des vaisseaux) et inertiels (masse du sang) pour une portion de vaisseau. Il est alors aisé de construire le Bond Graph correspondant à ces effets (

Figure 27).

Figure 27 : Modèle Bond Graph associé à une portion de vaisseau.

Ce type de représentation linéaire correspond bien à la modélisation des parties artérielles. Cependant, le comportement des parties veineuses est très non linéaire, notamment car l’influence de la pression transmurale est plus importante et les propriétés capacitives sont dominantes. Des relations Pression-Volume spécifiques ont donc été développées et utilisées dans la littérature (Melchior 1994, Heldt

2002). Cependant, l’approximation linéaire des compartiments veineux est souvent utilisée (Diaz-Insua 1996, Ursino 2000) et donne des résultats satisfaisants. Ceci explique que chaque partie est modélisée

de manière linéaire afin d’intégrer plus facilement l’influence du SNA (résistance périphérique, retour veineux)

2 Modèle complet du réseau vasculaire

On souhaite modéliser les réseaux vasculaires systémique et pulmonaire. Or ceux-ci comprennent des millions de vaisseaux qui forment un réseau capable d’irriguer tous les organes. Il est probablement inconcevable de modéliser de manière fine tous ces vaisseaux. En effet, d’emblée on se heurte à des problèmes de connaissance mais aussi de stabilité. Ainsi, le parti pris a été de modéliser de manière

Équation (79) Équation (76)

81

globale l’ensemble du système vasculaire. Ce dernier est divisé en compartiments représentant chacun un ensemble de vaisseaux.

Chaque compartiment est alors modélisé comme une portion de vaisseau en décrivant les effets résistifs, capacitifs et inertiels cités plus haut. En reprenant le raisonnement de (LeFèvre 2000), on pourra, pour chaque segment, négliger certains effets puisque, si r est le rayon d’un vaisseau, les résistances hydrauliques sont en

!

1 r⁴, les effets d’inertie en

!

1 r²et les effets capacitifs en

!

r³.

Le nombre de compartiments dépend, de fait, principale »ment de l’application envisagée. Pour l’étude de la manœuvre de Valsalva, les gros vaisseaux thoraciques doivent être représentés mais pas forcément la circulation dans toutes les parties du corps. La circulation a donc été modélisée dans un premier temps de manière simple en ne considérant que les grands ensembles du système vasculaire incluant les gros vaisseaux : aorte, artères systémiques, artérioles et capillaires systémiques, veines systémiques, veine cave, artères pulmonaires, artérioles et capillaires pulmonaires, veines pulmonaires (Figure 28).

Figure 28 : Modèle Cardiovasculaire Complet incluant la Circulation.

Ce modèle de la circulation permet d’obtenir des simulations des variables les plus significatives du système vasculaire, telle que la pression artérielle, sans considération spatiale. Cependant, le modèle

82

est trop simple pour l’étude des changements de position (Test Tilt). En effet, cette représentation ne distingue pas les différentes parties du corps et ne permet pas de simuler un gradient de pression tête-jambes. Ainsi, dans un deuxième temps, la modélisation de la circulation systémique a été introduite. Celle-ci est alors divisée en trois parties représentées de manière distincte : tête-cou, partie abdominale et jambes (Figure 29). La circulation pulmonaire est formée d’une seule boucle. Pour la circulation systémique, les effets inertiels sont négligés sauf pour la représentation de l’aorte (Ursino 2000)

Figure 29 : Modèle Cardiovasculaire Complet incluant le découpage en trois parties de la Circulation Systémique.

Il est en général difficile de dire, pour chaque élément du modèle, à quelle partie du réseau vasculaire physiologique il correspond précisément. L’une des difficultés est, comme tout problème de modélisation, de fixer les valeurs de paramètres des modèles vasculaires. Ces derniers proviennent, pour la plupart des modèles existants, de comparaisons entre des signaux simulés et des signaux observés. L’identification des paramètres vasculaires peut se faire à partir de signaux provenant d’expérimentations animales, par exemple sur le chien (Olufsen 2005) ou de données humaines. Certains paramètres peuvent également être estimés à partir de connaissances sur la répartition du volume sanguin dans le corps (Ursino 2000). Les valeurs des paramètres utilisés dans ce travail

83

correspondent à des valeurs trouvées dans la littérature dans différents modèles (McInnis 1985, Ursino

2000, Heldt 2002, Olufsen 2005) et sont présentées dans l’annexe C.

3 Modèle du SNA

La modélisation du SNA se base sur des fonctions de transfert continues car cela permet de décrire des liens informationnels d’entrée-sortie. Ce formalisme est celui utilisé par la majorité des modèles existants. Le modèle proposé pour la régulation du système cardiovasculaire par le SNA peut être vu comme une amélioration des modèles de van Roon (van Roon 1998) et Lu et al (Lu 2001), ces deux derniers reprenant la structure du modèle de Wesseling (Wesseling 1985). Par rapport aux travaux de van Roon (van Roon 1998), le modèle inclut des saturations différentes sur les voies vagale et sympathique. Un point faible est d’avoir des paramètres qui ne sont pas nécessairement en lien direct avec la physiologie. Aussi, bien que fondé sur ces derniers modèles, notre modèle a cherché à le simplifier tout en rendant les paramètres plus interprétables sur le plan physiologique. Ainsi, le choix des paramètres identifiables est plus aisé en vue de l’explication et la compréhension des mécanismes du SNA intervenant lors de tests classiques tel que le Test Tilt et la manœuvre de Valsalva. Le modèle de SNA proposé par Lu et al (Lu 2001) a la spécificité de s’intégrer à un modèle particulier de réseau vasculaire qui inclut de nombreuses non-linéarités. Ainsi, bien que donnant des bons résultats lors de la simulation de manœuvre de Valsalva, le modèle combiné de SNA et de la circulation n’est pas capable de reproduire le passage de la position couchée à la position debout ; ce qui n’est pas compatible avec la perspective d’étude du Test Tilt. Le modèle a donc été modifié de manière à s’intégrer à un modèle linéaire de réseaux vasculaires. En effet, les variables régulées du modèle proposé sont directement des grandeurs, telles que la résistance périphérique et le volume veineux, connues pour leurs rôles dans le baroréflexe. Enfin notre modèle intègre le réflexe cardio-pulmonaire ce qui n’est pas le cas du modèle de Lu et al (Lu 2001).

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Le modèle du SNA composé du baroréflexe et du réflexe cardio-pulmonaire est relié à la circulation et aux cavités cardiaques. Les entrées du modèle de régulation sont constituées des pressions artérielles et veineuses. Celles-ci sont reliées aux capteurs de pression (barorécepteurs et récepteurs basse-pression). Les variables du SCV sont régulées via 4 effecteurs : la fréquence cardiaque, la contractilité ventriculaire, la résistance périphérique et le retour veineux (Figure 30).