Présentation de l’algorithme de déformation

Le principe du calcul en grandes déformations réside en un calcul itératif en petites déformations avec t représentant l’indice du calcul, l’indice tmax étant atteint lorsque la contrainte σ(tmax) atteint la limite élastique σmax. La demi-lame, qui peut être discrétisée selon son abscisse curviligne en n petits éléments linéaires de longueur dS = ^l

n, est, quant à elle, soumise à nt incréments d’effort dF en son extrémité.

De fait, et à chaque incrément d’effort dF , on détermine, pour chaque petit élément

dS :

— son angle absolu θk(t) (en ◦) ;

— son angle de déformation ϕk(t) (en ◦) ; — sa position dans le plan (O~x~y) ;

et ce tel que présenté sur la Figure 4.17 avec l’indice k ∈ [1, n] représentant le kème élé-ment dS, d’extrémités localisées par coordonnées (xk(t), yk(t)) et (xk+1(t), yk+1(t)) (d’où la flèche initiale f0 = xn+1(1)) et sachant que ϕk(t) ≤ 0◦.

Dans un premier temps, la position initiale de la lame avant déformation (à t = 1) peut être déterminée avec la force verticale Fy(1) = 0 et le déplacement vertival uy(1) = 0.

4.3. DU RESSORT À LAMES TRADITIONNEL À UN SYSTÈME PASSIF RÉPONDANT À LA PROBLÉMATIQUE

Figure 4.17 – Représentation et paramétrisation du k^ème élément dS

En effet, l’équation de la flèche f d’une poutre encastrée introduite via l’équation (3.21) et appliquée à la demi-lame encastrée nous donne :

f0 = _3EI^{F l3} = −^Mf1(1)l2

3EI ^{, (4.15)}

avec Mf1(1) = −F l le moment fléchissant initial (en N m) selon l’axe (O~z), causé par la précontrainte induisant la flèche initiale f0, et s’exerçant au niveau de l’encastrement de la lame, donc sur le premier élément dS, ou encore :

Mf1(1) = −^−f03EI

l^{2 .} (4.16)

De la même façon, le moment fléchissant initial s’exerçant, selon l’axe (O~z), à la base du second élément dS peut se définir comme suit :

M_f2(1) = −F (l − dS) = −F l 1 − ^dS l ! = Mf1(1)^1 − ¹ n  , (4.17)

4.3. DU RESSORT À LAMES TRADITIONNEL À UN SYSTÈME PASSIF RÉPONDANT À LA PROBLÉMATIQUE

avec ξ représentant l’abscisse curviligne et Mf(1,ξ) = Mfk(1) pour ξ ∈ [k, k + 1[, soit :

ϕ_k+1(1) = ^Mfk(1)

EI ^dS+ ϕk(1), (4.20)

et ϕ1(1) = 0◦.

Dès lors, l’angle absolu θk(1) peut être déterminé comme suit :

θk(1) = ϕk(1) + ^π₂, (4.21)

et les coordonnées xk+1(1) et yk+1(1) déduites par les relations :

(

xk+1(1) = xk(1) + dS cos(θk(1))

yk+1(1) = yk(1) + dS sin(θk(1)) , ^(4.22) sachant que x1(1) = y1(1) = 0.

Par la suite, et de la même manière, la position de la lame à l’instant t = 2, soit après un premier incrément d’effort dF , peut être déterminée à partir de sa position initiale (à

t = 1) si bien qu’un calcul itératif peut être mis en place afin de déterminer la position de la lame à chaque « incrément » t ∈ [1, nt].

Avant cela, la contrainte σk(t) doit être déterminée et comparée à la limite élastique

σmax afin de vérifier que :

|σk(t)| < σmax. (4.23)

De fait, le risque de rupture se situant sur la face en extension de la lame, cette contrainte peut être définie, en appelant Y l’ordonnée du point situé sur cette face, par la relation :

σk(t) = −^Mfk(t)

I ^Y. (4.24)

Cependant, dans le cas d’une lame symétrique d’épaisseur h, l’ordonnée Y ne peut prendre que deux valeurs, soit :

Y = ±^h₂, (4.25)

si bien que la valeur absolue de la contrainte peut être déduite telle que : |σk(t)| = ^Mfk(t) I h 2 ⁼ Fy(t)xk I h 2^{. (4.26)}

Si la relation (4.23) est bien vérifiée, les moments fléchissants s’exerçant sur la lame sous un incrément d’effort dF peuvent alors être calculés en fonction des coordonnées des

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éléments dS à l’instant t (donc avant déformation) de sorte que :

~ Mfk(t) =    x_n+1(t) − xk(t) yn+1(t) − yk(t) 0   ∧    0 −dF 0   , (4.27)

d’où le moment fléchissant selon l’axe (O~z) :

Mfk(t) = − (xn+1(t) − xk(t)) dF, (4.28)

et l’angle de déformation :

ϕ_k+1(t) = ^Mfk(t)

EI ^dS+ ϕk(t). (4.29)

Les angles et coordonnées de chaque élément dS obtenus à t+1 (après déformation), peuvent finalement être définis en généralisant l’utilisation des équations (4.20), (4.21) et (4.22), soit :      θk(t + 1) = θk(t) + ϕk(t) x_k+1(t + 1) = xk(t + 1) + dS cos(θk(t + 1)) yk+1(t + 1) = yk(t + 1) + dS sin(θk(t + 1)) ^{, (4.30)} toujours avec, ∀t ∈ [1, nt], x0(t) = y0(t) = 0, ϕ0(t) = 0◦ et θ0(t) = 90◦.

On conclut finalement l’itération en ajoutant cet incrément en force dF à la force verticale Fy totale, ou :

F_y(t + 1) = Fy(t) + dF, (4.31)

et en déterminant le déplacement vertical uy total depuis la position initiale de la lame, soit :

uy(t + 1) = −yn+1(t + 1) + yn+1(1). (4.32)

La raideur ky(t) de la lame à l’instant t peut, en conclusion, être déterminée comme suit :

ky(t) = ^dF

uy(t + 1) − uy(t)^{. (4.33)}

Ainsi, les itérations continuent jusqu’à ce que la relation (4.23) ne soit plus vérifiée, la loi de comportement effort-déformation du système complet pouvant alors être affichée.

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— soutenir la charge statique m2g;

— obtenir la raideur linéarisée k2,i aux petites variations autour du point d’équilibre statique ;

— minimaliser la déformation ∆Z0 k2,i,

un nouvel algorithme, basé sur celui de déformation du système, doit être mis en place. De fait, et dans un premier temps, seuls les deux premiers objectifs sont considérés comme des contraintes à respecter, la déformation ∆Z0

k2,i n’étant qu’un résultat de la simulation que nous pouvons analyser et comparer à celle qui serait obtenue à l’aide d’une raideur linéaire.

Étant donné l’expression (3.23) de la raideur d’une demi-lame encastrée, équivalente à celle de notre système de deux lames couplées, soit :

k = ^Ebh3

4l3 , (4.34)

la raideur maximale du système, la plus à même de soutenir la charge statique, peut être initialement obtenue à l’aide des paramètres Lmin (longueur minimale), bmax (largeur maximale) et hmax (épaisseur maximale). Dès lors, et après utilisation de l’algorithme de déformation du système avec ces paramètres, le respect des deux contraintes suivantes peut être vérifié :

— soutenir la charge statique m2g sur toute la plage de variation de masse suspendue

m2 du véhicule de référence introduite dans le tableau 1.4 ;

— obtenir la raideur linéarisée k2,i aux petites variations autour du point d’équilibre statique déterminée, selon l’arrangement considéré, dans les systèmes (3.7), (3.11) et (3.15).

Cet algorithme de détermination des paramètres est illustré par le logigramme pré-senté sur la Figure 4.18.

Dans un premier temps, le soutien de la charge peut être confirmé à partir de la force verticale maximale Fymax. De fait, si cette valeur est inférieure à la charge à soutenir, alors elle peut être relevée, si cela est possible, en augmentant b et/ou h et/ou en diminuant L. Si cela est impossible (bornes atteintes), l’algorithme conclut en l’impossibilité de respecter cette contrainte. Au contraire, si cette valeur confirme bien le soutien de la charge statique, c’est la raideur obtenue aux petites variations autour du point d’équilibre statique qui est comparée à la valeur k2,i recherchée.

De fait, si cette raideur linéarisée est différente (généralement trop élevée) par rap-port à la valeur recherchée, elle peut, si cela est possible, être abaissée en diminuant b et/ou h et/ou en augmentant L et le support de la charge est à nouveau vérifié. Dans le cas inverse (bornes atteintes), l’algorithme se stoppe en concluant sur l’impossibilité de respecter cette contrainte.

4.3. DU RESSORT À LAMES TRADITIONNEL À UN SYSTÈME PASSIF RÉPONDANT À LA PROBLÉMATIQUE

4.3. DU RESSORT À LAMES TRADITIONNEL À UN SYSTÈME PASSIF RÉPONDANT À LA PROBLÉMATIQUE

Ainsi, par itérations successives, les valeurs des paramètres des lames, permettant le respect des deux contraintes, peuvent être déterminées. La déformation particulière ∆Z0

k2,i de chaque système pouvant finalement être déduite et analysée.