(5.8.1) Rappelons (Oi, 4. i .4) qu'un espace annelé (X, (P^) est dit régulier en un point A:eX, si ^ est un anneau régulier. Quand il s'agira de préschémas, nous n'utili-serons cette terminologie dans ce chapitre que lorsque X est localement noethérien.
Définition (5.8.2). — On dit qu'un préschéma localement noethérien X est régulier en codimension ^k, ou possède la propriété (R^) si l'ensemble des points où X n'est pas régulier est de codimension >k (autrement dit ( 5 . 1 . 3 ) , si, pour tout xç=X, la relation dim(^)^k entraîne que Q^ est régulier).
Dire que X est régulier signifie que X possède la propriété (R^) pour tout k.
Si X=Spec(A), où A est un anneau noethérien, on dira que A possède la pro-priété (R^) si X possède cette propro-priété; dire que X est régulier signifie que l'anneau A est régulier (0, 17.3.6). Pour un préschéma localement noethérien quelconque X, on dira que X possède la propriété (R^) en un point xeX si l'anneau local ^ possède la propriété (R^) ; cela veut donc dire que pour toute générisation x ' de x dans X, la relation dim(^)^A entraîne que (9^, est un anneau local régulier. Dire que X est régulier en un point x équivaut à dire que X vérifie la propriété (RJ pour tout n^o au points, en vertu de (0, 17.3.6).
Proposition (5.8.3). — Si k est un corps, X un préschéma localement de type fini sur k, alors, pour tout A-eX, il existe un voisinage ouvert de x dans X isomorphe à un sous-schéma d'un k-schéma régulier.
En effet, il y a un voisinage ouvert affine U de x isomorphe à un A-schéma de la forme Spec(A), où A est une A-algèbre de type fini; A est par suite isomorphe à un quotient d'une algèbre de polynômes k[T^, . . . , TJ, et on sait que cette dernière est un anneau régulier (0, 17.3.7).
(5.8.4) En vertu de (5.8.2), dire que X possède la propriété (Ro) signifie que pour tout point maximal x de X, l'anneau 0^ est un corps (0, 17.1.4), autrement dit que X est réduit en ce point. Comme l'ensemble U des xeX. où X est réduit est ouvert (le
108 A . G R O T H E N D I E C K Ghap. IV
nilradical de X étant un ^"Module cohérent (I, 6.1.1 et Oi, 5 . 2 . 2 ) ) , il revient au même de dire que X possède la propriété (RJ ou que l'ensemble U est partout dense. Par suite :
Proposition (5.8.5). — Pour qu'un préschéma localement noethérien X soit réduit, il faut et il suffit qu'il vérifie les propriétés (Si) et (RJ.
Compte tenu de (5.7.5)5 cela résulte de la remarque précédente et de (3.2.1).
Théorème (5.8.6) (critère de Serre). — Soit X un préschéma localement noethérien.
Pour que X soit normal, il faut et il suffit que X vérifie les propriétés {S^) et (R^), autrement dit, que pour tout ^eX, on ait les propriétés suivantes :
(i) Si dim(^)^ i, (9^ est régulier (c'est-à-dire est un corps ou un anneau de valuation discrète (0, 17.1.4)).
(ii) Si dim(0J^2, alors prof(^)^2.
Les conditions sont nécessaires. En effet, dire que X est normal signifie que pour tout xe'K, 0^ est un anneau local noethérien intégralement clos. Si dim(ffj=o (resp.
dim(^)= i), on en conclut que 0^ est un corps puisque (9^ est intègre (resp. que 0^ est un anneau de valuation discrète, en vertu de (II, 7.1.6)). D'autre part, pour tout élément f^o de ^, on sait (Bourbaki, Alg. comm., chap. VII, § i, n° 4, prop. 8) que les idéaux premiers associés à (P^lfx^x sont non immergés, donc 6^ vérifie (Sg) (5.7.7).
Les conditions sont suffisantes. En effet, il résulte d'abord de (5.8.5) que X est réduit. La question étant locale, on peut en outre supposer que X==Spec(A), où A est un anneau noethérien réduit (I, 5. i .4) ; si R est l'anneau total des fractions de A, R est composé direct d'un nombre fini de corps, et (compte tenu de (II, 6.3.6)), il suffira de prouver que A est intégralement fermé dans R. Soit donc h =ffg un élément de R entier sur A, g et y étant des éléments de A tels que g soit non diviseur de o. On a une relation de la forme
n
(5.8.6.1) ^ 4 - 2 ^ / ^ ^ = 0 avec a.eA pour i^i^n.
Soit p un idéal premier de A tel que dim(Ap)== i ; si/p et gy sont les images de/
et g dans Ap, il résulte de (5.8.6.1) que /p/^p (qui appartient à l'anneau total des fractions de Ap, puisque gy est non diviseur de o dans A? par platitude (Oi, 5.3. i)) est entier sur Ap ; mais comme A? est régulier, donc intégralement clos, on a fJg^A . En d'autres termes, on a (/A)pC(^A)p. Mais l'hypothèse (Sg) entraîne (5.7.7), puisque g est non diviseur de o dans A, que A/^A n'a que des idéaux premiers associés non immergés p , ( i ^ z ^ 7 z ) ; or, gA est l'intersection d'idéaux primaires q, correspondant aux p,, et d'après ce qu'on vient de voir, les q, sont les images réciproques dans A, par les homomorphismes A-^Ap., des idéaux (gA)^ (Bourbaki, Alg. comm., chap. IV, § 2, n° 3, prop. 5). Mais en vertu du Hauptidealsatz (0, 16.3.2) on a dim(A )== i pour i^i^n, donc (/A)^C(^A)^. pour tout i d'après ce qui précède; comme/A est contenu dans l'intersection des images réciproques des (/A)p. (ï^i^n), on a /AC^A, c'est-à-dire fIgeA. C.Q.F.D.
5 . g» Modules Z-purs et Z-clos.
Une partie des notions et résultats de cette section et de la suivante sont des cas particuliers de notions et résultats développés au chapitre III dans la théorie de la cohomologie locale. Pour la commodité du lecteur, nous en donnons ici un exposé indépendant.
(5.9.1) Soient X un préschéma localement noethérien, Z une partie de X stable par spécialisation : cela signifie que pour toute partie finie M de Z, l'adhérence de M est contenue dans Z, et par suite Z est réunion d'une famille filtrante croissante (ZJ de parties fermées de X; inversement, il est clair qu'une telle réunion est stable par spécialisation.
Posons U ^ = X — Z ^ , de sorte que X — Z est intersection de la famille filtrante décroissante d'ouverts U^; soit ^ : U^X l'injection canonique et pour U^DUp, soit
^ap : Up-^U^ l'injection canonique, de sorte que l'on a i^=i^°i^' Soit ^ un ^"Module (non nécessairement quasi-cohérent); on a donc (^p)^(^^|Up)=(^J^((^a3)^(^'!Up));
de l'homomorphisme canonique (01,4.4.3.2)
^|U^(z,p)^|Up)
on déduit donc, par application du foncteur (ij^, un homomorphisme
P 3 a : ( ^ ( ^ | U J ^ ( ^ ( ^ | U p )
et l'on vérifie aussitôt que l'on a p^a=PY&°Ppa P0111' ^^(pUy; autrement dit, les
^x-Modules (ij G^lUx) forment un système inductif pour les homomorphismes p^.
On pose
( 5 . 9 - I . I ) ^U^-l^aU^lUa).
a
Ce 0^-Mod\ile ne dépend pas de la famille croissante (ZJ de fermés dont Z est la réunion : en effet, soit V un ouvert noethérien de X; on sait (G, II, 3.10.1) que dans la catégorie des ^v-Modules, le foncteur ^->F(V, ^) commute aux limites inductives ; on a donc en vertu de (5.9.1.1)
( 5 . 9 . 1 . 2 ) F(V, J^/zW)-!™ r(VnU,, ^).
a
Soit alors fZ^) une seconde famille filtrante croissante de fermés de X, de réunion Z;
V n Z ^ est donc réunion des V n Z ^ n Z ^ ; mais V n Z ^ est localement fermé dans X, donc toute partie fermée irréductible de V n Z ^ admet un point générique; comme les V n Z ^ n Z ^ sont fermés dans V n Z ^ et forment (pour a fixe) une famille filtrante croissante, il existe un indice A tel que V n Z ^ n Z ^ = = V n Z ^ ( O n i , 9 . 2 . 4 ) , autrement dit V n Z ^ C V n Z ^ . Ceci prouve que les familles filtrantes décroissantes V n U ^ , V n U ^ (où U ^ = X — Z ^ ) sont cofinales l'une de l'autre, d'où notre assertion, en vertu de ( 5 . 9 . 1 . 2 ) .
no A . G K O T H E N D I E C K Chap. IV On notera que l'ensemble Z n'est pas nécessairement constructible : on a un exemple de ce fait en prenant X=Spec(A), où A est un anneau intègre noethérien ayant une infinité d'idéaux maximaux, et Z le complémentaire du point générique de X.
Si Z est fermé et si i : X — Z — - X est l'injection canonique, on a (5.9.1.3) J^(^)=z^lX-Z)
et en particulier, pour Z==0, c^/z (^r) ==
^-Proposition (5.9.2). — (i) Le fondeur ^''^^^/z^) est ^^ct à gauche.
(ii) Si y est quasi-cohérent, il en est de même de ^^/z(t^r)•
L'assertion (i) résulte de la définition (5.9.1.1), du fait que (z'J est un foncteur exact à gauche et de ce que la limite inductive préserve l'exactitude dans la catégorie des
^x- Modules. L'assertion (ii) résulte de (1,9.2.2) et du fait qu'une limite inductive de ^"Modules quasi-cohérents est quasi-cohérente (I, 1.3.9).
Remarque (5.9.3). — Si y est une (P^-Algèbre, il en est de même de ^c/z(^^) ( O i , 4 . 2 . 4 ) ; en particulier <^x/z(^x) est une ^x'Algèbre quasi-cohérente, et pour tout
^-Module y, ^î/z^) est un ^i/z^x)^0^1^ q111 est quasi-cohérent si y est quasi-cohérent (1,9.6.1). Plus particulièrement, supposons que X==Spec(A), où A est intègre et noethérien; alors ^^/z(^x) est I3- ^x-Algèbre B, où
(5.9.3.1) B- n A..
\3 y o i pex-z p
Cela résulte en effet de (5.9.1.2) et de (1,8.2.1.1).
Proposition (5.9.4). — Soient X un préschéma localement noethérien, Z une partie de X stable par spécialisation, X' un préschéma localement noethérien, y:X'->X un morphisme plat.
Alors Z' ==f~l{Z) est stable par spécialisation et pour tout Q^-Module quasi-cohérent 3^, on a un isomorphisme canonique
(5.9.4.1) r(^°x/zW)^^/z'(r(^))
En effet, avec les notations de (5.9.1), Z^/'^ZJ est fermé dans X' et Z' est réunion des Z^; en outre, (^a)(x') est l'injection canonique ^ : U^-^X', si U^X'—Z^/'^UJ. Comme / est plat, on sait (2.3.1) que l'homomorphisme canonique f\(i^\^\V^-> {Q^f\y)\V^ est bijectif; comme, pour a^(3, le diagramme
r((^).(^"iuj) ^ %).C/WTO
/'W.G^W) ^ (^.(/WIUg)
est commutatif, on a donc, en passant à la limite, un isomorphisme canonique
^(/'((^U^IUJ)) ^ ^/z-CTW). Mais comme le foncteur/* commute aux limites
a
inductives ( O i , 4 . 3 . 2 ) , cela donne par définition Pisomorphisme ( 5 . 9 . 1 . 1 ) cherché.
Corollaire (5.9.5). — Sous les hypothèses de (5.9.4), si ^x/z^) est cohérent, il en est de même de ^c'/z'C/'1^^)). ^a réciproque est vraie lorsque f est un morphisme fidèlement plat et quasi-compact.
La première assertion résulte de (5.9.4.1) et de (Oi, 5.3. n) ; la seconde équivaut à dire que si ^^/z'(/'lt(^^)) est de type fini, il en est de même de ^^z(^) ; cela résulte de (5.9.4.1) et de ( 2 . 5 . 2 ) .
Corollaire (5.9.6). — Soient X un préschéma localement noethérien, Z une partie de X stable par spécialisation, ^ un OyModule quasi-cohérent. Pour tout xeX, posons X^==Spec(^), Z^; = Z n X^ ; on a un isomorphisme canonique fonctoriel
( 5 . 9 . 6 . 1 ) (^U^))^^W^)
II suffit d'appliquer (5.9.4) au morphisme canonique X^-^X, qui est plat, et de tenir compte de (I, 1.6.5).
(5.9.7) Avec les notations de (5.9.1), on a pour tout a un homomorphisme canonique fonctoriel ^-^(îJ^^IUJ (Oj, 4 . 4 . 3 . 2 ) , et ces homomorphismes forment un système inductif; par passage à la limite inductive, on en déduit donc un homo-morphisme canonique fonctoriel
( 5 . 9 . 7 . 1 ) Px/z^-^x/zG^)
Proposition (5.9.8). — Soient X un préschéma localement noethérien, Z une partie de X stable par spécialisation, y un Q^-Module. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
a) Uhomomorphisme p^/z ( 5 . 9 . 7 ' ï ) est injectif (resp. bijectif).
b) Pour tout ouvert noethérien V de X, U homomorphisme (Px/z)v : r(V, ^-) -> lim r(VnU,, ^)
a
est injectif (resp. bijectif).
a') Pour toute partie fermée TCZ de X, P homomorphisme canonique ( 0 ^ , 4 . 4 . 3 . 2 )
^-^(J^|X—T)
(où î'. : X—T—»-X est l'1 injection canonique) est injectif (resp. bijectif).
b') Pour toute partie fermée TCZ de X et tout ouvert noethérien V de X, /''homomorphisme de restriction
F(V, y} -> r(Vn(x—T), y}
est injectif (resp. bijectif).
Compte tenu de ( 5 . 9 . 1 . 2 ) , l'équivalence de a) et b) (resp. a ' ) et b ' ) } résulte de
"2 A. G R O T H E N D I E C K Chap. IV la définition du foncteur F et du fait qu'il est exact à gauche. Comme l'homomorphisme
(Px/z)v est 1e composé
( 5 . 9 . 8 . I ) F(V, y) -> r(Vn (X-T), y} -> lim r(VnU,, ^-)
a
pour toute partie fermée TcZ, si (px/z)v est injectif, il en est de même de F(V, ^) -> r(Vn(X—T), yy, d'autre part, le fait que b ' ) implique b) résulte de la définition d'une limite inductive. Il reste à montrer que si px/z est bijectif, il en est de mêmede F(V, ^) -> r(Vn (X—T), ^), et pour cela il suffit, en vertu de (5.9.8.1),de voir que si U'CU sont deux ouverts contenus dans V et contenant VnZ, l'homomor-phisme de restriction F(U, ^) -> r(U', J^) est injectif; mais cela résulte de ce que px/z est injectif, en remplaçant dans ce qui précède V par U et Vn (X—T) par U'.
Définition ( 5 . 9 . 9 ) . — Sous les hypothèses de (5.9.8), on dit que ^ est Z-pur (resp.
Z-clos) si Uhomomorphisme px/z ^ injectif (resp. bijectif).
Si X=Spec(A) est affine, ^=M, où M est un A-module, on dira que M est Z-pur (resp. Z-clos) lorsque y est Z-pur (resp. Z-clos).
On dit que y est Z-pur (resp. Z-clos) en un point xeX si (avec les notations
de (5-9-6)) ^x est Z^-pur (resp. Z-clos); il revient au même, en vertu de (5.9.6), de dire que l'homomorphisme canonique ^^(^x/z(^')L est injectif (resp. bijectif}.
On notera que pour tout xeX—Z, y est Z-clos au point x, en vertu de (5.9.8).
Corollaire (5.9.10). — (i) Soit (V\) un recouvrement ouvert de X. Pour que ^ soit Z-pur (resp. Z-clos}, il faut et il suffit que pour tout À, ^|V^ soit (ZnV^-pur (resp. (ZnV^foj).
(ii) Soit Ï une partie de Z stable par spécialisation. Si y est Z-pur (resp. Z-clos), il est Z'-pur (resp. Z'-clos).
Cela résulte aussitôt de (5.9.8, b ' ) ) .
Proposition (5.9-1!)- — Sous les hypothèses de (5.9.8), les 0^-Modules Ker(px/z) et Coker(px/z) ont leur support contenu dans Z, et le 0^-Module ^/z(e^r) €st ^-clos. En outre, si u : y-^y est un homomorphisme de 0^-Modules tel que y soit Z-clos, u se factorise d'une seule manière en ^^jf^^)-^^-'. Si en outre les supports de Ker(^) et de Coker(^) sont contenus dans Z, v est un isomorphisme.
La première assertion signifie que, pour tout xeX—Z, on a
^(px/zL = Coker(px/zL = o,
i.e. que (px/zL est bijectif, ou encore que y est Z-pur en x, comme il a été signalé plus haut (5.9.9).
Pour montrer que ^/z(^) est Z-clos, il s'agit de voir que pour un ouvert noethé-r i e n V d e X , lim noethé-r ( V n U p , ^/z(^)) est égale à F(V, ^/z(e^)); mais panoethé-r définition
p
r ( V n U p , ^ x / z ( ^ - ) ) = l i m r ( V n U ^ n U p , ^ ' ) . Or, la famille double (U.nUp) est
a
filtrante décroissante, et notre assertion résulte de (5.9.1) et du théorème de la double limite inductive.
112
Passons à la seconde partie de la proposition. L'existence et l'unicité de v résultent de ce que pour tout a, (i^)^u) est l'unique homomorphisme rendant commutatif le diagramme
y " . y
W^W -^ (^).(^iuj
de ce qu'il y a un unique homomorphisme w rendant commutatifs tous les diagrammes (U(^|UJ ^ (^(^|UJ
^/z(^) ^/z(^")
et enfin de ce que y et e^/z^) s'identifient canoniquement par hypothèse.
Reste à voir que si les supports de Ker(^) et de Coker(^) sont contenus dans Z, v est un isomorphisme. Il suffit de voir que pour tout ouvert noethérien V, l'homo-morphisme correspondant F(V, ^/z(^)) -> F(V, ^r/) est alors un isomorphisme. Or, si une section teFÇV, ^/z(^)) a pour image o dans F(V, ^/), notons que pour un indice a, on a ^ e r ( V n U ^ , e^), et en vertu de l'hypothèse sur u, on a ty=o pour tout j / e V n ( X — Z ) ; il y a par suite un ouvert contenant V n ( X — Z ) tel que la restriction de t à cet ouvert soit nulle, donc par définition t est l'élément o de F(V, ^/zG^)). Prouvons maintenant que toute section .y'er(V, y ' } est l'image d'une section de ^S/z(^) au-dessus de V. Par hypothèse, pour tout A:eVn(X—Z) il existe une section s^ de ^ au-dessus d'un voisinage ouvert W^ de x dans X, dont l'image par u est J ' J W ^ ; J'JW^ est donc aussi l'image par v de la section t^ de ^^), image canonique de s^. En outre, comme on a vu que v est injectif, les restrictions de t^ et t^ à W^nW^ sont identiques pour deux points quelconques x, x9 de Vn (X—Z) ; les t^ sont par suite restrictions d'une même section t de e^/z(^) au-dessus d'un voisinage ouvert U de (X-Z)nV. Mais comme ^/z(^') est Z-clos, t se prolonge d'une seule manière en une section de ^^/z^) au-dessus de V, dont l'image par v a même restriction que s ' à U, et coïncide donc avec s ' pour la même raison.
On dit que ^/z(^') est la ^'clôture de y.
113
ii4 A . G R O T H E N D I E C K Chap. IV Remarques (5.9.12). — (i) Soit C(X) la catégorie des ^-Modules, et soit Cz(X) la sous-catégorie de C(X) formée des ^x"1110^11!^ de support contenu dans Z; cette sous-catégorie est localisante au sens de Gabriel, et le foncteur e^x/z n'est autre que le foncteur localisation de Gabriel (cf. [27]; cela fournirait une autre démonstration de (5.9.11)). Lorsque Z est fermé, le foncteur i* : C(X) -> C ( X — Z ) (où i : X—Z-^X est l'injection canonique) définit une équivalence de catégories C(X)/Cz(X) « C(X—-Z).
(ii) II résulte de (5.9.11) que la condition j^G^^o est équivalente à Supp(^)CZ. Elle entraîne en effet cette dernière puisque le noyau de px/z est alors égal à y. Inversement, si Supp(^)CZ, il suffit d'appliquer la seconde partie de (5.9.11) à l'unique homomorphisme u : y->Q pour en conclure que l'homo-morphisme correspondant v :^i^/z(^^)-^o est un isomorphisme.
(iii) Les développements précédents gardent un sens pour tout espace annelé localement noethérien dont toute partie fermée irréductible admet exactement un point générique. En particulier ils s'appliquent, sur un préschéma localement noethérien, à des faisceaux de groupes abéliens quelconques (considérés comme Modules sur le faisceau simple associé au préfaisceau constant Z). On a encore pour tout ;ceX l'isomorphisme
/-^/
canonique (5.9.6.1), dans lequel ^ désigne le faisceau induit sur le sous-espace X^ de X par le faisceau y\ la démonstration directe résulte aussitôt de la définition (5.9.1.2) et du théorème de la double limite inductive.