Définition (6.8.1). — Soient X, Y deux préschémas, /:X->Y un morphisme tel que la fibre f"1^) soit un préschéma localement noethérien pour tout ^yeY, x un point de X. On dit respectivement que f est un morphisme :
(i) de coprofondeur ^n au point x ; (ii) de Cohen-Macaulay au point x ; 150
(iiï) (SJ au point x ; (iv) régulier au point x ; (v) (RJ au point x ; (vi) normal au point x ; (vii) réduit au point x ;
si f est plat au point x, etsienoutre la propriété correspondante P { j "' l(f{x)), x) (notation de (6.7.8)) est vraie.
On dit que f est lisse au point x s^il est localement de présentation finie dans un voisinage de x dans X, et s^il est régulier au point x. On dit respectivement que f est un morphisme : de coprofondeur
^n, de Cohen-Macaulay, (SJ, régulier, (RJ, normal, réduit, lisse, s'il a la propriété corres-pondante en tout point de X.
Proposition (6.8.2). — Soient X, Y deux préschémas localement noethériens f: X-^Y un morphisme, x un point de X. Désignons par M[f, x) une des propriétés (i) à (vii) de la définition (6.8. i), ou la propriété pour f d'être lisse au point x. Soient Y' un préschéma localement noethérien, g : Y'->Y un morphisme, X^Xx^.f^f^ : X'-^Y'. On suppose que/ou g est localement de type fini. Alors, pour tout x'eX' au-dessus de x, la propriété M(/, x) entraîne
Mçr.x').
Posons jy==f{x), y ^ f ' ^ x ' ) , par transitivité des fibres (1,3.6.4), on a y-^y) =/-l(Jy)(g)^fe(y) ; comme ou bien /~l(^) est localement de type fini sur k{y), ou bien k { y ' ) est de type fini sur k[y) (I, 6.4.11), il résulte de (6.7.8) que les propriétés P{f~~l{y),x) et P(//~l(y), x ' ) sont équivalentes; en outre, si / est plat au point x,f est plat au point x ' (2.1.4), ce qui prouve la proposition, compte tenu de (1.4.3.
(iii))-Proposition (6.8.3). — Pour un morphisme f de préschémas localement noethériens, soit M(f) l'une des propriétés suivantes : être de Cohen-Macaulay, (SJ, régulier, (RJ, normal, réduit.
(i) Soient X, Y, Z trois préschémas localement noethériens, /: X-^Y, ^ : Y->Z deux morphismes. Si M{f) et M{g) sont vraies, M(gof) est vraie.
(ii) Inversement, si f est surjectif et si M{f) et M{gof) sont vraies, alors M[g) est vraie.
(iii) Soient X, Y, Y' trois préschémas localement noethériens, /:X->Y, h : Y'-^Y deux morphismes ; on pose X'=XXyY',/'==/(Y-) : X'-^Y'. On suppose que f ou h est localement de type fini. Alors, si M{f) est vraie, il en est de même de M{f) ; la réciproque est vraie lorsque h est fidèlement plat.
Les conclusions de (i) et (iii) sont encore vraies lorsque M est la propriété d'être lisse et que {dans (iii)) h est quasi-compact.
(i) On sait déjà que si/et g sont plats, il en est de même de u=gof^ et que si/
et gof sont plats et/surjectif, g est plat (2. i .6 et 2.2.13). D'autre part, pour tout ^eZ, le morphisme /^=/®i^ : u-1^) -^-l(^) est plat (resp. fidèlement plat si / l'est) et pour tout J^eg-1^),/^-1^) est isomorphe à f"\jy) (I, 3.6.4). Si M(/) et M{g) sont vraies, MÇgof) est donc vraie pour les cas où M est la propriété d'être de Cohen-Macaulay ou (SJ, en vertu de (6.6. i). D'autre part soit k' une extension finie de fe(^)$
posons Y,==^-1^)®^, X^-1^)®^', et f^f^iy : X;->Y;; le morphisme/;
ï^ A . G R O T H E N D I E C K Chap. IV est plat (resp. fidèlement plat) et pour tout feV^ la fibre /^(V) est isomorphe à /'^(jO^k^C/), en désignant par y l'image dey dans g-1^) (I, 3.6.4). Lorsque M est la propriété d'être régulier, (RJ, normal ou réduit, l'hypothèse que M(f) et M(g) sont vraies entraîne que Y; et chacune des fibres /^(y) possèdent pour fe\[ la propriété correspondante parmi les propriétés c ) , d ) , e ) , f ) de (6.6. i ) ; on déduit donc de (6.6.1, (i)) que X; possède la même propriété, donc M{gof) est vraie.
(iï) Inversement, l'hypothèse que M(gof) et M(f) sont vraies et que/est surjectif entraîne que Y; a la propriété correspondante en vertu de (6.6. i, (ii)),/; étant surjectif pour tout ^; donc M(g) est vraie.
(iii) La première assertion découle aussitôt de (6.8.2). D'autre part, si h est fidè-lement plat et/' plat,/est plat ( 2 . 4 . 1 ) ; comme, avec les notations de (6.8.2), les propriétés Pf/-1^), x) et P^'-'fy), x ' ) sont équivalentes (6.7.8), on voit que M(/) et M(/') sont alors équivalentes.
Enfin, la dernière assertion de la proposition résulte de (1.4.3, (iii)) et de (2.7.1, (iv)).
Remarques (6.8.4). — (i) Si/est fidèlement plat, g plat et si gof est de coprofondeur s^n, alors g est de coprofondeur ^n, comme il résulte de (6.6.2).
(ii) Lorsque, dans (6.8. i), on prend pour Y le spectre d'un corps k, les notions (iv), (v) et (vi) se réduisent à celles définies dans (6.7.5). Il est clair que ces dernières sont relatives au corps de base k. La définition (6.8. i) conduit alors à dire qu'un préschéma X est « régulier (resp. (RJ, resp. normal) sur k» au lieu de dire qu'il est « géométriquement régulier (resp. (RJ, resp. normal) relativement à k »$ on évitera de confondre cette notion avec la propriété d'être régulier (resp. (RJ, resp. normal) qui est indépendante de k. On peut faire à ce propos les mêmes remarques que dans (4.5.12).
Proposition (6.8.5). — Soient k un corps, X, Y deux k-préschémas localement noethériens, dont l'un est localement de type fini sur k. Pour un k-préschéma Z, désignons par P(Z) l'une des propriétés c) à f) de (6.6. i ) ; la propriété « P(Z) géométrique» est alors définie dans (6.7.6) (resp.
(4.6.1)) lorsque P(Z) est l'une des propriétés c), d), e) (resp. f)) de (6.6.1). Alors : (i) Si X possède la propriété P, et Y la propriété P géométrique, Xx^Y possède la propriété P.
(ii) Si X et Y possèdent la propriété P géométrique, il en est de même de X x^Y.
Soient en effet / : X X^Y-^X, g : X->Spec(Â;) les morphismes structuraux, qui sont fidèlement plats (2.2.13). L'hypothèse que Y possède la propriété P géométrique entraîne en vertu de (6.8.2) que M(/) est vraie, M étant la propriété de (6.8.3) qui correspond à P; sous l'hypothèse (ii), M(g) est aussi vraie, donc l'assertion (ii) résulte de (6.8.3, (i)).
Quant à l'assertion (i), elle résulte directement de (6.6.1, (i)).
Théorème ( 6 . 8 . 6 ) . — Soient X, Y deux préschémas localement noethériens, f: X->Y un morphisme localement de type fini, x un point de X, y=f{x). Les propriétés suivantes sont équivalentes :
a) / est lisse au point x.
b) / est régulier au point x.
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c) 0^ est une 0 y-algèbre formellement lisse (0, 19.3.1) pour les topologies préadiques sur (9^ et Qy.
c') (9^ est une (!) y-algèbre formellement lisse (0,19.3.1) pour les topologies discrètes sur (9^ et Qy.
L'équivalence de a) et b) résulte des définitions (6.8.1) et du fait que pour les préschémas localement noethériens, les morphismes localement de type fini sont localement de présentation finie (1.4.2).
En second lieu, pour que 0^ soit une ^y-algèbre formellement lisse pour les topo-logies préadiques, il faut et il suffit que (9^ soit un ^-module plat et que 0^^ k{y) soit une k{y) -algèbre formellement lisse pour sa topôlogie préadique (0, 19.7.1); mais pour que Q^e ^(j) soit une k{y) -algèbre formellement lisse pour sa topôlogie préadique, il faut et il suffit qu'elle soit une fe(^)-algèbre géométriquement régulière (0, 19.6.6);
ceci démontre donc l'équivalence de b) et c ) . Enfin, pour prouver l'équivalence de c ) et c ' ) , on peut se borner au cas où Y==Spec(A) et X=Spec(C) sont affines, A étant noethérien et C une A-algèbre de type fini, que l'on peut donc écrire sous la forme A[Ti, . . ., TJ/3- Comme ici 3/32 est un C-module de présentation finie, l'équivalence de c ) et c ' ) résulte de (0, 22.6.4) appliqué à A, B==A[Ti, ..., TJ et G==B/3.
Corollaire (6.8.7). — Soient X, Y deux préschémas localement noethériens, f: X->Y un morphisme localement de type fini. Alors l''ensemble des points A:eX où/est lisse (ou régulier) est ouvert dans X.
Il résulte en effet de (0, 22.6.5) que l'ensemble des A:eX vérifiant la condition c ' } de (6.8.6) est ouvert dans X, et on conclut par (6.8.6).
Remarque ( 6 . 8 . 8 ) . — Dans (17.5.1), nous montrerons que l'équivalence de b) et c ' ) dans (6.8.6), ainsi que le corollaire (6.8.7), restent valables sans hypothèse noethérienne sur X et Y, pourvu que l'on se borne aux morphismes localement de présentation finie.