Proposition (4.2.1). — Soient K et L deux extensions d'un corps k, telles que K®^L soit noethérien. Alors les idéaux premiers associés à K®^L sont minimaux, et si E est le corps résiduel de Panneau local d'un tel idéale on a
(4.2.1.1) deg.trKE=deg.t^L, deg.tr^E^deg.tr^K d'où
(4.2.1.2) deg.tr^E=deg.t^K+deg.tr^L.
On sait que K est une extension algébrique d'une extension transcendante pure K/==Â:(t), où t = ( ^ ) ^ ç i est une famille d'indéterminées; l'anneau A[t]®^L=L[t] est intègre, donc il en est de même de K'Os^L, qui en est un anneau de fractions, et le
corps des fractions de K/^L est L(t) ; on a le diagramme commutatifd'homomorphismes canoniques
K —> K®^L —> K®K'L(t)
( 4 . 2 . 1 . 3 ) K' —> K'^L —> L(t)
^ ———> L
Comme K est fidèlement plat sur K/, K®^L=K®K/(K / ( x )feL) est fidèlement plat sur K'e^L, donc K/C^L est noethérien (O;, 6 . 5 . 2 ) ; en outre K'^L s'identifie à un sous-anneau de KOO^L; la trace sur K'®^L d'un idéal premier p associé à K®^L est l'idéal o, un élément =(= o de K'®^L n'étant pas diviseur de zéro dans K®^L (01,6.3.4 et Bourbaki, Alg. comm., chap. IV, § i, n° i, cor. 3 de la prop. 2). Comme en outre K est algébrique sur K', K®^L est une algèbre entière sur K'®^L, et les idéaux premiers de KOO^L induisant o sur K'®^L sont nécessairement sans relation d'inclusion mutuelle (Bourbaki, Alg. comm., chap. V, § 2, n° i, cor. i de la prop. i ) ; cela prouve la première assertion (Bourbaki, Alg. comm., chap. IV, § i, n° 3, cor. i de la prop. 7).
De plus, le corps résiduel E de p est algébrique sur le corps résiduel de l'idéal (o) de K'^L, c'est-à-dire L(t); donc deg.tr^E=deg.tr^L(t) ==Card(I) ==deg.tr^K, autrement dit on a la première relation ( 4 . 2 . 1 . 1 ) ; échangeant les rôles de K et L, on a la seconde relation (4.2.1.1), d'où ( 4 . 2 . 1 . 2 ) .
Corollaire (4.2.2). — Sous les hypothèses de (3.3.6), si les préschémas T^y sont localement noethériens, ils n'ont pas de cycle premier associé immergé.
Corollaire (4.2.3). — Sous les hypothèses de (3.3.6) (resp. (3.3.7)), si les T^y sont localement noethériens et si y et les ^ {pour je S) (resp. y et ^) sont sans cycle premier associé immergée il en est de même de ^®g^.
Cela résulte de (4.2.2), (3.3.2) et de la démonstration de (3.3.6). En particulier, comme tout préschéma sur un corps k est plat sur A:, on a ainsi démontré l'assertion (i) de la Proposition (4.2.4). — Soient k un corps, X et Y deux k-préschémas localement noethériens tels que X x^Y soit localement noethérien. Supposons de plus X et Y intègres. Alors :
(i) Xx^Y est sans cycle premier associé immergé; chacune des composantes irréductibles de X x^Y domine X et Y, et l^ ensemble de ces composantes est en correspondance biunivoque avec l'ensemble des composantes irréductibles de Spec(R(X)®^R(Y)) (autrement dit l'ensemble des idéaux premiers minimaux de R(X)®^R(Y)), où R(X) et R(Y) sont les corps des fonctions rationnelles de X et Y respectivement.
(iï) Si un point maximal ^ de Xx^Y est identifié à un idéal premier minimal p de R(X)0^.R(Y), Vanneau local ^xxpr,z est isomorphe à P anneau de fractions (R(X)®^.R(Y))p.
En particulier, si R(X) ou R(Y) est séparable sur k, Xx^Y est réduit.
56 A . G R O T H E N D I E G K Chap. IV
(111) Si en outre X et Y sont localement de type fini sur k, toute composante irréductible de Xx^Y est de dimension dim(X) +dim(Y).
L'assertion (iii) résulte de ( 4 . 2 . 1 . 2 ) , compte tenu de (i) et (ii). Pour démontrer (ii), on peut évidemment se borner au cas où X = Spec(A), Y = Spec(B) sont affines, A et B étant donc des anneaux intègres de corps des fractions respectifs K = R(X) et L = R(Y) ; l'assertion (i) montre que tout idéal premier minimal q de A®^B est la trace sur A®,,B d'un idéal premier minimal p de K®^L; comme K®^L est un anneau de fractions de A®^B, Pisomorphie des anneaux (A®^B)q et (K(S^L)p résulte de ( O i , i . 2 . 5 ) . Enfin, si par exemple R(Y) est séparable sur k, on sait que l'anneau R(X)®^R(Y) est réduit (Bourbaki, Alg., chap. VIII, § 7, n° 3, th. i) ; il en est donc de même des anneaux locaux des points maximaux de XX^Y. On en déduit que Xx^Y est réduit (3.2.1).
Proposition (4.2.5). — Soient k un corps, X et Y des k-préschémas localement noethériens, y (resp. ^) un Q^-Module (resp. un 0^-Module) quasi-cohérent. Soit (Z^) (resp. (Z^')) la famille des cycles premiers associés à y (resp. ^), et désignons encore par Z^ (resp. Z") le sous-préschéma réduit de X (resp. Y) ayant Z^ (resp. Z^') comme espace sous-jacent. Alors, si Z^ X^Z^' est localement noethérien, les composantes irréductibles Z^ de Z^x^Z^ dominent Z^ et Z", et (Z^J est la famille des cycles premiers distincts associés à y^^S.
Il suffit d'appliquer (4.2.4) au produit Spec{k{x)) X^Spec(fe(^)).
En particulier :
Corollaire (4.2.6). — Soient k un corps, X, Y deux k-préschémas localement noethériens tels que Xx^Y soit localement noethérien. Soit (Z^) (resp. (Z^')) la famille des sous-préschémas réduits de X (resp. Y) ayant pour espaces sous-jacents les composantes irréductibles de X (resp. Y).
Alors les composantes irréductibles Z^ de Z^X^Z^ dominent Z^ et Z^, et (Z^J est la famille des composantes irréductibles de Xx^Y.
En effet, on peut se borner au cas où X et Y sont réduits (I, 5. i. 8) $ les compo-santes irréductibles de X (resp. Y) sont alors les cycles premiers associés à 0^ (resp. ffy) (3.2.1). Appliquons (4.2.5) à ^=^x et (s=^ en notant que par définition
^X^^Y^^XX^YÎ le corollaire résulte de ce que ^x^A-^Y n5a pa3 de cycles premiers associés immergés puisqu'il en est ainsi de 0-^ et fi?y P^ hypothèse (4.2.3).
Appliquons les résultats qui précèdent au cas où Y est le spectre d'une extension K de k :
Proposition (4.2.7). — Soient k un corps, X un k-préschéma, K une extension de k telle que X®^K soit localement noethérien, y un 0^-Module quasi-cohérent, x ' un point de X®^K, x son image dans X.
(i) Soit (Z^) la famille des sous-préschémas réduits de X ayant pour espaces sous-jacents les cycles premiers associés à ^ ; alors les composantes irréductibles Z^ des Z^K sont les cycles premiers associés à e^^K, et Z^ domine Z^; en outre, pour qu'un Z^ soit immergé, il faut et il suffit que Z^ le soit.
(ii) Pour que x appartienne à un cycle premier associé immergé de <^, il faut et il suffit que x ' appartienne à un cycle premier associé immergé de ^®jç K ; pour que y soit sans cycle premier associé immergé, il faut et il suffit qu'il en soit ainsi de ^®^K.
(ni) Les indices \ tels que xeZ^ sont les mêmes que ceux pour lesquels il existe un indice [L tel que A-'eZ^. En particulier, si x' n'appartient qu'à un seul cycle premier associé à J^®,!^, x n'appartient qu'à un seul cycle premier associé à y.
(iv) Si X est localement de type fini sur k, on a dim(Z^) ==dim(Z^).
On notera que l'hypothèse entraîne que X lui-même est localement noethérien ( 2 . 2 . 1 3 et 2 . 2 . 1 4 ) ; l'assertion (i) résulte de (4.2.5) et de la démonstration de (4.2.3), pour ^==^Y? avec Y=Spec(K); (ii) et (iii) résultent de (i) et de ( 2 . 3 . 5 ) ; enfin,
(iv) est un cas particulier de (4.2.4, (iii)).
Corollaire (4.12.8). — Si X est localement de type fini sur k, l'ensemble des dimensions des cycles premiers associés est le même pour ^ et ^'®^K; l'ensemble des dimensions des composantes irréductibles est le même pour X et XOO^K.
Proposition (4.2.9). — Supposons vérifiées les hypothèses de (4.2.5), et supposons en outre que ^ et ^ soient cohérents. Soient (^)^çL et (^(J^M des décompositions irredondantes de y et ^ respectivement; pour tout couple (X, p L ) e L x M , soit (^\xv)ves(x ^) une décompo-sition irredondante réduite de ^-^^S^ où S(X, ^) =Ass(^\®^J (3.2.5). Alors (^^) {pour tous les triplets (X, [JL, v)) est une décomposition irredondante de S^^^S, elle est réduite si (^) et (^) le sont.
Notons que ^®^ et chacun des ^\®/^ sont cohérents, et chacun des ^-^^S^
s'identifie à un quotient de ^®^; chacun des J^ s'identifie par définition à un quotient cohérent de ^-^^S^ donc aussi à un quotient cohérent de <^®^. La famille des supports des Jf\^ est localement finie, car Supp(^\®^) est contenu dans l'espace sous-jacent à Supp(^) x^Supp(^) (où Supp(J^) et Supp(^) désignent les sous-préschémas fermés réduits correspondants), et pour X et |JL donnés, la famille des supports des ^^ est localement finie par hypothèse; notre assertion résulte donc de ce que les familles (Supp(^)) et (Supp(^J) sont localement finies. Pour démontrer que (^5^,) est une décomposition irredondante de ^'00^, il suffit donc de prouver que l'homomorphisme canonique ^r®^ -> ® Jf\^ est injectif; or, il est composé des homomorphismes ^®^-^(£) ^^^^-> ® c^^ le second de ces homomorphismes est injectif par définition, et il en eit de même du premier, qui n'est autre que le produit tensoriel des homomorphismes canoniques injectifs ^'->©^, ^->©^ (on se
sou-À (A
viendra que ^ et ^ sont plats sur k). Enfin, si (^\) et (^) sont réduites, on peut supposer que L=Ass(^') et M=Ass(^); le fait que les Jf^ forment alors une décomposition réduite résulte de ce que les Ass(^\OO^J forment une partition de Ass(^®^) en vertu de (4.2.2) (cf. (3.2.5)).
Corollaire (4.2.10). — Sous les hypothèses de (4.2.7), supposons en outre y cohérente et soit (^\)^L une décomposition irredondante de ^\ pour tout XeL, soit (^JuleAss^ ® K) une décomposition irredondante réduite de ^\®^K. Alors (e^\^) est une décomposition irredondante de ^'®^K; elle est réduite si (^\) l'est.
On applique (4.2.9) avec Y==Spec(K), ^==^Y=Kî M réduit à un seul élément.
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53 A . G R O T H E N D I E C K Chap. IV