(6.12.1) Étant donné un préschéma localement noethérien X, on appelle lieu singulier de X et on note Sing(X) l'ensemble des points A:eX tels que X ne soit pas régulier au point x (autrement dit, tels que l'anneau local (9^ ne soit pas régulier) ; le complémentaire X—Sing(X), ensemble des ^eX où X est régulier, se note Reg(X).
Nous nous proposons dans ce numéro de donner des conditions moyennant lesquelles Sing(X) est fermé (i.e. Reg(X) ouvert),
Proposition (6.12.2). — Soit X un préschéma localement noethérien. Les conditions suivantes sont équivalentes :
a) Reg(X) est ouvert dans X.
b) Pour tout A:eReg(X), il existe une partie ouverte non vide dans[x} contenue dans Reg(X).
En outre, ces conditions sont entraînées par la suivante :
c) Pour tout ;veReg(X), si on désigne par Y le sous-préschéma fermé réduit de X ayant [x}
pour espace sous-jacent, Reg(Y) est un voisinage de x dans Y.
L'équivalence de a) et b) résulte de ce que Reg(X) est stable par générisation (0, 17.3.2) et de (Oui? 9.2.6). Pour prouver que c) entraîne b), on peut se borner au cas où X=Spec(A) est un voisinage ouvert affine de x; si (^)i^»^ est un système régulier de paramètres (0, 17.1.6) de l'anneau local régulier Ag, on peut supposer (en remplaçant au besoin X par un voisinage ouvert de x) que t^= {s^ pour tout i, où s^eA et où la famille (^)i^^yi est A-régulière (0, 15.2.4). On a alors Y=Spec(A/p), où p==]x'ï comme les ^ engendrent l'idéal maximal m==pA^ de Ap, on peut encore supposer (en remplaçant X par un voisinage plus petit de x) que les ^ engendrent p.
Pour tout j/eY, les (^)y engendrent donc py; comme ils forment une suite Ay-régulière, ils font partie d'un système de paramètres de Ay (0, 16.4. i ) ; donc on déduit de (0, 17.1.7) que si (A/p)y=Ay/py est régulier, il en est de même de Ay, d'où la conclusion.
Corollaire (6.12.3). — Soit X un préschéma localement noethérien. Les conditions suivantes sont équivalentes :
a) Pour tout sous-préschéma Y de X, Reg(Y) est ouvert dans Y.
164 . A . G R O T H E N D I E C K Chap. IV b) Pour tout sous-préschéma fermé intègre Y de X, Reg(Y) contient une partie ouverte non vide de Y.
Il est clair que a) entraîne h)^ car si Y est intègre et y est son point générique,
^Y,y est un corps, donc j/eReg(Y). Inversement, pour voir que b) entraîne a)^ consi-dérons un préschéma fermé intègre Z de Y de point générique ^; si Y' est le sous-préschéma intègre de X ayant pour espace sous-jacent l'adhérence Y'^-j^} de ^ dans X, Z est ouvert dans Y' et le sous-préschéma Z de Y', étant réduit, est induit par Y' sur l'ouvert Z de l'espace sous-jacent à Y'. Or l'hypothèse entraîne que Reg(Y') est un voisinage de ^ dans Y', donc Reg(Z) est un voisinage de ^ dans Z; il suffit alors d'appliquer (6.12.2) en y remplaçant X par Y et Y par Z.
Théorème ( 6 . 1 2 . 4 ) (Nagata). — Soient A un anneau noethérien, X==Spec(A). Les conditions suivantes sont équivalentes :
a) Pour tout préschéma X' localement de type fini sur X, Reg(X') est ouvert dans X'.
b) Pour toute A-algèbre A' finie et intègre^ il existe une partie ouverte non vide de X'==Spec(A/) contenue dans Reg(X').
c) Pour tout idéal premier p de A et toute extension finie radicielle K/ du corps des fractions K de A/p, il existe une sous-A-algèbre A de K.', finie sur A, ayant K" pour corps des fractions, et telle qu'il existe dans X'^SpecÇA7) un ensemble ouvert non vide contenu dans Reg(X7).
Il est clair que a) implique b ) . Pour voir que b) entraîne c ) . il suffit de remarquer qu'on peut prendre pour générateurs de l'extension K' de K des éléments entiers sur A/p (et a fortiori sur A), et comme ces éléments sont en nombre fini, ils engendrent une A-algèbre finie A' dont K/ est le corps des fractions; on peut alors appliquer b) à A'.
Reste donc à prouver que c ) entraîne a ) . La question étant locale sur X7, on peut d'abord supposer que X'==Spec(A'), où A est une A-algèbre de type fini; compte tenu de (6.12.2), il suffit de prouver que pour tout sous-préschéma fermé intègre Y' de X', Reg(Y7) contient une partie ouverte non vide de Y'. Autrement dit, on peut se borner à prouver que si A' est une A-algèbre intègre de type fini et X'=Spec(A'), Reg(X') contient une partie ouverte non vide de X'. Soit K' le corps des fractions de A';
si p est l'image canonique dans X du point générique de X', K' est une extension du corps des fractions K de A/p, et A/p s'identifie à un sous-anneau de A', A' étant une (A/p) -algèbre de type fini. On peut évidemment se borner dans la suite de la démons-tration au cas p == o. Distinguons maintenant deux cas :
I) K/ est une extension séparable de K. — On est alors ramené à prouver le Lemme ( 6 . 1 2 . 4 . 1 ) . — Soient A un anneau intègre noethérien, A une A-algèbre intègre de type fini; contenant A et telle que le corps des fractions K' de A soit une extension séparable du corps des fractions K de A. Si Spec(A) contient un ouvert non vide formé de points réguliers; il en est de même de Spec(A/).
Remplaçant A par un anneau de fractions Ay de sorte que D(jf) CReg(Spec(A)), on peut déjà supposer l'anneau A régulier. Par hypothèse il existe dans K/ un système (^)i^t^n d'éléments algébriquement indépendants sur K et tels que K' soit une extension algébrique séparable finie de K(^, . . . , ^ J ; en considérant un système fini 164
de générateurs t\ {i^j^m) de K/ sur K(^i, . . . , ^ ) , que Pon peut supposer entiers sur Ai==Api, ..., Q, on voit que A[-==A^[t[, ..., ^J est fini sur Ai et a pour corps de fractions K'. Si on pose X/=Spec(A/), Xi==Spec(Ai), il résulte de ce que les corps de fonctions rationnelles R(X') et R(X^) sont tous deux isomorphes à K' et de ce que X' et X^ sont des A-préschémas de type fini, qu'il existe un ouvert U'CX' et un ouvert U^CX^ qui sont A-isomorphes (I, 6.5.5). On est donc ramené à prouver que Reg(X^) contient un ouvert non vide, autrement dit on peut supposer que A' est une A^-algèbre finie. Or on sait (0, 17.3.7) que Ai est un anneau régulier, et l'on peut donc se borner au cas où A' est une A-algèbre finie et K' une extension séparable et finie de K. Si Ç est le point générique de X, Aç==K' est alors un module libre sur Aç=K, donc (Bourbaki, Alg.
comm., chap. II, § 5, n° i, cor. de la prop. 2) on peut, en remplaçant au besoin A par un Ay, supposer que A' est un A-module libre de type fini. Soit alors (^)i^^,. une base de ce A-module, et posons
d== det(Tr^(^)) == det(Tr^/K^A)) eA.
Gomme K' est séparable sur K, on sait (Bourbaki, Alg., chap. IX, § 2, prop. 5) que û?=f=o; remplaçant au besoin A par l'anneau de fractions A^, on peut supposer d inversible dans A. Mais alors, pour tout ^eSpec(A), si l'on désigne par A ^ ( i ^ A ^ r ) l'image canonique de x^ dans A'(^) ==A®^k{^), on a det(Tr^^/^(^^)) ==d, image canonique de d dans fe(^)=AJm^ et comme ~d est inversible (donc =(=o) dans le(^), on sait (loc. cit.) que A'(^) est une fe(^)-algèbre séparable, donc composée directe de corps extensions finies et séparables de fe(^). Une telle algèbre étant un anneau régulier, on voit que le morphisme g : X'->X est plat et que ses fibres g~1^) sont régulières pour tout
^;eX; on conclut alors de (6.5.2, (ii)) que X' est régulier, ce qui termine dans ce cas la démonstration.
II) Cas général. — Comme A7 est un A-module sans torsion, A'OO^K s'identifie à un sous-anneau de K', donc X"== Spec(A'®^K) est un K-préschéma intègre, dont K' est le corps des fonctions rationnelles. On sait (4.6.6) qu'il existe une extension radicielle finie Ri de K telle que si Xl/=Spec(A/®^K.l)==X//®KKl, (X^)^ soit un Ki-préschéma géomé-triquement réduit de type fini; en outre, le morphisme Spec(Ki) ->Spec(K) étant radiciel, fini et surjectif, est un homéomorphisme universel (2.4.5), donc Xi' est homéomorphe à X", et par suite (X^')^ est intègre; en outre, son corps de fonctions rationnelles Ki est une extension radicielle finie de K/ et une extension séparable de type fini de K.i (4.6. i).
En vertu de l'hypothèse c ) de l'énoncé, il y a une sous-A-algèbre^m<? Ai de Ki, ayant Ki pour corps des fractions et telle que si l'on pose Xi=Spec(Ai), Reg(Xi) contienne un ouvert non vide de Xi. Soit A[ l'image de l'homomorphisme canonique A^Ai—^K^
et soit X^==Spec(Ai); A[ est un anneau intègre qui est une A-algèbre finie et dont le corps des fractions est K^ par construction; en outre, comme l'homomorphisme composé A'—A'^AI—AI-^KI est identique à A'->K'->K^, donc injectif, l'homomorphisme A'-^Ai est injectif; le morphisme g : X^->X' est donc fini et surjectif (II,6.i.io).
Gela étant, l'hypothèse sur Ai et la partie I) de la démonstration entraînent que Reg(X^)
i66 A . G R O T H E N D I E C K Chap. IV
contient un ouvert non vide V^; comme g est fermé (11,6.1.10)3 on peut supposer que V^^'^V), où V est un ouvert affine de X'; remplaçant A7 par Panneau de V et A[ par celui de V^, on peut donc supposer que X^ est régulier. En outre, le même raisonnement que dans I) appliqué au point générique Ç' de X' permet (en remplaçant au besoin X' par un voisinage de Ç') de supposer que A[ est un A'-module libre, et par suite que le morphisme g est plat. Mais il résulte alors de (6.5.2, (i) ) que X' est régulier. C.Q.F.D.
Corollaire ( 6 . 1 2 . 5 ) (Zariski). — Soit k un corps; pour tout k-préschéma X localement de type fini sur k, l'ensemble des xeX où X est régulier (resp. géométriquement régulier sur k) est ouvert dans X.
L'assertion du corollaire relative à la propriété d'être régulier résulte de (6.12.4) en prenant A==k. L'assertion relative à la propriété d'être géométriquement régulier résulte déjà de (6.8.7); on peut aussi la déduire de (6.12.4) de la façon suivante : posons k'==kP Çp exposant caractéristique de k); comme le morphisme Spec(Â;') -> Spec(A:) est radiciel, entier et surjectif, c'est un homéomorphisme uni-versel (2.4.5), donc le morphisme projection X®^/->X est un homéomorphisme.
La projection dans X de Reg(X®^') est l'ensemble des points de X où X est géomé-triquement régulier sur A:, en vertu de (6.7.7, e})9, donc cet ensemble est ouvert d'après ce qui précède.
Corollaire ( 6 . 1 2 . 6 ) . — Soit A un anneau ayant l'une des propriétés suivantes : (i) A est un anneau de Dedekind et son corps des fractions K est de caractéristique o.
(ii) A est un anneau semi-local noethérien de dimension ^ i.
Alors, pour tout préschéma X localement de type fini sur A, Reg(X) est ouvert dans X.
Vérifions dans les deux cas la condition c ) de (6.12.4). Dans les deux cas, un idéal premier p de A est maximal ou minimal; si p est maximal, une (A/p)-algèbre finie et intègre est un corps et la condition c ) de (6.12.4) est trivialement vérifiée. Supposons donc p non maximal, et distinguons les deux cas de l'énoncé.
(i) Si K est de caractéristique o, il n'y a pas d'autre extension radicielle de K que K lui-même; comme un anneau de Dedekind est régulier (0, 17.1.4), la condition c ) de (6.12.4) est trivialement vérifiée.
(ii) On peut alors supposer A intègre (6.12.2), soit K son corps des fractions; si K' est une extension radicielle finie de K, A' une sous-A-algèbre de K' engendrée par un système fini de générateurs de K/ sur K, entiers sur A, A' est un anneau semi-local intègre de dimension i (0, 16.1.5), et par suite, dans X'^SpecÇA'), l'ensemble réduit au point générique est ouvert et évidemment contenu dans Reg(X/)^ ce qui prouve la condition c ) de (6.12.4) dans ce cas.
Ce corollaire s'applique notamment lorsque A==Z.
Théorème ( 6 . 1 2 . 7 ) (Nagata). — Soient A un anneau local noethérien complet, X=Spec(A). Alors Reg(X) est ouvert dans X.
Compte tenu de (6.12.2), on est ramené au cas où de plus A est intègre, et à prouver que dans ce cas Reg(X) contient une partie ouverte non vide de X. Distinguons deux cas :
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I) Le corps des fractions K de A est de caractéristique o. — On sait alors (0, 19.8.8) qu'il existe un anneau de valuation discrète complet G et un sous-anneau B de A tel que A soit une B-algèbre finie et que B soit isomorphe à un anneau de séries formelles C[[TI, . .., TJ]. Comme C est régulier (II, 7.1.6), il en est de même de B (0, 17.3.8);
en outre, le corps des fractions L de B étant de caractéristique o, K est une extension séparable finie de L, donc on peut appliquer (6.12.4.1) à B, et cela prouve alors la proposition.
II) Le corps des fractions K de A est de caractéristique p>o. — Alors A contient le corps premier Ty, et le théorème a été prouvé dans ce cas (0, 2 2 . 7 . 6 ) .
Corollaire (6.12.8). — Soit A un anneau local noethérien complet. Alors, pour tout préschéma X localement de type fini sur A, Reg(X) est ouvert dans X.
Vérifions la condition c ) de (6.12.4). Si p est premier dans A, A/p est encore un anneau local noethérien complet; si K' est une extension finie du corps des fractions K de A/p, K/ est corps des fractions d'une sous-A-algèbre finie A' de K/, engendrée par un système de générateurs de K' sur K, entiers sur A. On sait alors que A' est un anneau semi-local complet (Bourbaki, Alg. comm.y chap. IV, § 2, n° 5, cor. 3 de la prop. 9)3 donc produit d'anneaux locaux complets, et comme A' est intègre, c'est un anneau local complet; en vertu de (6.12.7), si X'==Spec(A'), Reg(X') est ouvert et non vide, d'où la conclusion.
Proposition (6.12.9). — Soit X un préschéma localement noethérien tel que Reg(X) soit ouvert; alors, pour tout n^-o, l9 ensemble UR (X) des points xe^K. où X vérifie (R^) est ouvert.
En effet (5.8.2), UR (X) est réunion de Reg(X) et de l'ensemble des A:eSing(X) tels que les points génériques ^ des composantes irréductibles de Sing(X) contenant x vérifient la relation dim^x.z.) ^+ i (puisque l'on a ^^Reg(X)); autrement dit, ces points ^eSing(X) sont ceux pour lesquels on a codim^(Sing(X), X ) ^ 7 Z +1 ( ô -1- ^ ) ; comme la fonction ^->codim^(Sing(X), X) est semi-continue intérieurement (0, 14.2.6), l'ensemble de ces points est ouvert dans Sing(X), ce qui achève la démonstration.
Notons aussi le résultat élémentaire suivant :
Proposition (6.12.10). — Soit X un préschéma localement noethérien. U ensemble U^ (X) est ouvert dans X. Pour que U^(X) soit ouvert dans X, il faut et il suffit que tout point maximal ^eX tel que ;ceU^(X) (ce qui signifie que X est réduit en x) soit intérieur à U^(X).
Par définition (5.8.2), U^(X) est l'ensemble X — U X ^ , où X^ parcourt l'ensemble des composantes irréductibles de X telles que X ne soit pas réduit en leur point générique ; comme l'ensemble des composantes irréductibles de X est localement fini, U^(X) est ouvert. En ce qui concerne U^(X), la condition de l'énoncé étant trivialement nécessaire, prouvons qu'elle est suffisante. Soient Xp' les composantes irréductibles de X telles qu'en leur point générique x^ le préschéma X soit réduit; par hypothèse il existe un ouvert UcU^(X) contenant tous les x^. Désignons alors par Z^ les composantes irréduc-tibles de l'ensemble fermé Z == X— U dont le point générique ^ est tel que dim^x z ) ^1
À et que 0^ ^ soit non régulier. Aucun point appartenant à l'un des Z^ ne peut appartenir
' A
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à U^(X); mais inversement, si xeZ n'appartient à aucun des Z^, alors, pour toute générisation x ' de x, ou bien x ' appartient à U, ou bien on a dim(^x a?') ^2, ou bien on a dim(^x,a?') == I? et comme x ' n'appartient à aucun des Z^, {^'} est nécessairement une composante irréductible de Z, de codimension i dans X, distincte des Z^, donc 0^ ^ est régulier par définition. On en conclut que Ug (X) = = X — U Z ^ ; comme l'ensemble des Z^ est localement fini dans Z, UZ^ est fermé, ce qui achève de prouver que U^(X) est ouvert dans X.