Proposition (5.4.1). — Soient X, Y deux préschémas localement noethériens, /: X->Y un morphisme.
(i) Si f est quasi-fini^ on a dim(X) ^dim(/(X)) ^dim(Y).
(ii) Si f est surjectif et ouvert (resp. surjectif et fermé) ^ on a dim(X)^dim(Y).
(i) On peut remplacer/par/^ (II, 6.2.4), donc supposer X et Y réduits; si Z est le sous-préschéma fermé réduit de Y ayant pour espace sous-jacent /(X), on a alors f=j°g, où j : Z-^Y est l'injection canonique et g : X->Z est un morphisme quasi-fini (1,5.2.2 et 11,6.2.4). On peut donc se borner au cas où/(X) est dense dans Y. Pour tout ^eX, ^ est alors un fi^-module quasi-fini (II, 6 . 2 . 2 ) 3 et par suite m^)^ est un idéal de définition de (9^ (Oj, 7.4.4); mais on sait (0, 16.3.10) que si A->B est un homomorphisme local d'anneaux locaux noethériens, tel que, si m est l'idéal maximal de A, mB soit un idéal de définition de B, alors on a dim(B)<dim(A);
cela achève de démontrer (i) en vertu de (5.1.4).
(ii) La définition de la dimension (0, 14.1.2) montre qu'il suffit de prouver que pour toute suite (j^o^z^n d'éléments distincts de Y telle que .^{j^+i} pour o^i^n—i il existe une suite (^)o^i^n ^e pomts de X telle que ^e[x^^} pour o^i^n—i et /(^) ==j^ pour tout i. Supposons d'abord / surjectif et ouvert et démontrons l'existence de ^ par récurrence sur î; l'existence de ^eX tel que f(xo) ==j^ résulte de ce que/
est surjectif. Si les ^ ont été déterminés pour i^m de façon à satisfaire à /(^) ==j^
pour î'^m et ^e{^+i} pour i<m, on note que puisque/est ouvert et j^+i une générisation dej^, il existe ^n+i^/'^O^+i) qui est une générisation de x^ (i .10.3) et la récurrence peut se poursuivre.
Supposons maintenant / surjectif et fermé et démontrons l'existence de ^ par récurrence descendante sur i, l'existence de x^ tel que /(^) ==Vn insultant encore de ce que/est surjectif. Si les ^ ont été déterminés de façon à satisfaire aux conditions voulues pour z>w, on note que /({^+i}) est l'adhérence de {/(^+i)}={j^4-i} puisque/
94 A . G R O T H E N D I E C K Ghap. IV
est fermée (Bourbaki, Top. gén., chap. 1er, y éd., § 5, n» 4, prop. 9); il existe donc
•<'m£{A'm+l} tel que /(A-J==J^ et la récurrence descendante se poursuit encore.
Corollaire (5.4.2). — Si X, Y jo^ ^ préschémas localement noethériens, f : X^Y
^ morphisme fini {donc fermé), on a dim(X) ==dim(/(X)). Si en outre f est surjectif, on a dim(X) =dim(Y).
Remarques (5.4.3). - (i) On a vu dans ( 4 . 1 . 2 ) que si X et Y sont des préschémas localement de type fini sur un corps k et/un Â:-morphisme, l'inégalité dim(Y)<dim(X) est déjà vérifiée lorsque / est quasi-compact et dominant. Au contraire, on peut avoir dim(Y)>dim(X) même lorsque/est de type fini, bijectif et une immersion locale, si l'on suppose seulement X et Y localement noethériens. Par exemple soient A un anneau de valuation discrète, K son corps des fractions, k son corps résiduel; si Y=Spec(A), et si a est le point générique de Y et b son point fermé, on a donc fe(a) =K, k{b) =k Soit alors X le préschéma somme de Spec(K) et de Spec(k), / : X - ^ Y le morphisme qui coïncide dans Spec(K) et Spec(^) avec les morphismes canoniques respectifs (I, 2.4.5); il est clair que/est une immersion locale bijective, {a} étant ouvert dans Y-d'autre part./est de type fini, car K=A[7r-1], où n est une uniformisante de A, donc K est une A-algèbre de type fini. Cependant on a dim(X)=o et dim(Y)=i.
(li) Si A et B sont deux anneaux noethériens tels que AcB et que B soit une A-algèbre^mc, le corollaire (5.4.2) montre à nouveau que dim(B) =dim(A) (0, 1 6 . i .5).
Supposons en outre que A soit un anneau local noethérien; alors B est un anneau noethé^
rien semi-local (Bourbaki, Alg. comm., chap. IV, § 2, n<> 5, cor. 3 de la prop. 9); si n, (Kî'^r) sont les idéaux maximaux de B, on a donc
(5-4-3-1) dim(A)=supdim(B^).
On observera que, dans ces conditions, on n'a pas nécessairement dim(Bn.) = dim(A) pour tout i : il suffit pour le voir de remplacer B par la composée directe de B*et du corps résiduel k de A. Mais on a même des exemples où A et B sont en outre des anneaux intègres de dimension 2 et où certains des B^ ont une dimension <dim(A) ( 5 . 6 . 1 1 ) . Nous verrons toutefois plus loin ((5.6.4) e[ (5.6.10)) que ce dernier phénomène ne peut se présenter lorsque l'on suppose que A est un quotient d'anneau local régulier.
5.5. Formule des dimensions pour un morphisme de type fini.
(5.5-ï) Rappelons (0, 16.3.9) que si A, B sont deux anneaux locaux noethériens, k le corps résiduel de A, <p : A^B un homomorphisme local, on a
( 5 - 5 - i . ï ) dim(B)^dim(A)+dim(B®^).
On en déduit :
Proposition (5.5.2). — Soient X, Y deux préschémas localement noethériens, f : X->Y un morphisme, x un point de X, y =f{x). Alors on a
( 5 - 5 - 2 . I ) dim(^)^dim(^)+dim(^®0 fe(j)).
En particulier, si x est point maximal de la fibre V"1^), on a (5-5-2.2) dim(^)^dim(^)
puisque O^Oy^y) ^^x^y^x est l'anneau local de A; dans le préschéma y-1^), et est donc de dimension o par hypothèse.
Nous allons obtenir une formule plus précise que (5.5.2.1) lorsque l'on suppose que f est un morphisme de type fini.
Proposition (5.5.3). — Soient A un anneau noethérien, T une indéterminée, p un idéal premier de A.', alors p'==pA[T] est premier dans B=A[T] et p ' n A = p . Il existe une infinité d'idéaux premiers de B distincts de p', dont l'intersection avec A est p$ ces idéaux sont deux à deux sans relation d'inclusion. En outre, si q est un tel idéal, on a
( 5 - 5 - 3 - ï ) dim(B,) =dim(B^) + i ==dim(Ap) + i.
Dans les premières assertions, on se ramène aussitôt, en remplaçant A par A/p et observant que A[T]/pA[T] = (A/p) [T], au cas p = o ; elles résultent alors du fait que les idéaux premiers de B==A[T] dont l'intersection avec A se réduit à o sont exactement ceux qui ne rencontrent pas la partie multiplicative S = A — { 0 } de l'anneau intègre A; or on sait qu'il y a une bijection croissante de l'ensemble de ces idéaux sur l'ensemble des idéaux premiers de S^AIT] ==K[T], où K est le corps des fractions de A (Bourbaki, Alg. comm., chap. II, § 2,n°5,prop. n). En outre, on a, d'après (5.5.1.2), dim(BJ^dim(Ap)+dim(B^/pB^), et si k est le corps des fractions de A/p, B^/pBq s'identifie canoniquement à (A;[T])q, donc est un anneau de valuation discrète, donc de dimension i. Enfin, si p ^ p ^ D p ^ D . . .Dp^ est une chaîne d'idéaux premiers de A de longueur maxima, les idéaux p^.B (o^j^m) sont premiers dans B, deux à deux distincts et contenus dans q ; donc dim(B^) ^ w +1 == dim(Ap) +1 et par suite dim(B^) = dim(A ) + i.
Cette relation s'écrit encore ht(q) ==ht(p) + i ; comme q=t=p', on a d'ailleurs ht(q) ^ht(p') + i ^ht(p) + i par définition de la hauteur d'un idéal premier; cela achève de prouver (5.5.3.1).
Corollaire (5.5.4). — Pour tout anneau noethérien A, on a (5.5-4.1) dim(A[Ti, . . ., T,]) =dim(A)+r (T^ indéterminées).
On notera par contre qu'il y a des exemples d'anneaux locaux non noethériens A tels que dim(A)==i et dim(A[T])==3 [30].
Corollaire (5.5.5). — Pour tout préschéma localement noethérien X, la dimension de X[Ti, ..., T,] = X®zZ[Ti, . . . , T,] (T, indéterminées) est dim(X) + r.
Cela résulte de (5.5.4) et de (0, 14.1.7).
Corollaire ( 5 . 5 . 6 ) . — Sous les hypothèses de (5.5.3), soit q un idéal premier de B=A[T]
tel que q r » A = = p ; si k et k' sont les corps résiduels de Ap et B^ respectivement, on a (5.5-6.i) dim(Ap)+i=dim(B,)+deg.tr^
96 A . G R O T H E N D I E C K Chap. IV Si q==pB, on a, d'après (5.5.3. i), dim(B^) =dim(Ap), et dans ce cas A;'==A(T), donc la formule (5.5.6.1) est bien vérifiée. Dans le cas contraire, dim(B^) == dim(Ap) + i, et comme q correspond à un idéal premier q' =(= o de A[T], k' est une extension algébrique de k, donc on a encore la formule (5.5.6.1).
Lemme (5.5.7). — Soient A un anneau local intègre noethérien, m son idéal maximale k son corps résiduel.
(i) Pour tout anneau intègre B contenant A, tel que B==A[^] [pour un xeB) et tout idéal premier q de B tel que qnA==în, on a
(5.5.7.1) dim(A)+deg.trAB^dim(B^)+deg.tr^/
en désignant par k ' le corps résiduel de B^ et par deg.tr^B le degré de transcendance du corps des fractions de B sur celui de A.
(ii) Supposons que pour tout idéal maximal n â^A[T] tel que n n A = = m, l^ anneau (A[T])^
soit caténaire; alors les deux membres de (5.5.7.1) sont égaux.
(i) Si x est transcendant sur le corps des fractions de A, on a deg.tr^B= i et les deux membres de (5.5.7) sont égaux en vertu de (5.5.6). Dans le cas contraire, on a B==A[T]/p, où p est un idéal premier 4=0 de A[T], tel que p n A = = o puisque B contient A; on a donc ht(p) == i en vertu de (5.5.3). L'idéal q de B est de la forme n/p, où n3p est un idéal premier de A [T] tel que n n A = m , etFona B^= (A[T])^/p(A[T])^;
la formule (0, 16.1.4.1), appliquée à X==Spec((A[T])J et à Y=Spec(B^), donne (5.5.7.^) dim((A[T])J^ht(p(A[T])J+dim(B,)=i+dim(B,)
car ht(p(A[T])J ==ht(p) == i en vertu de la correspondance biunivoque entre idéaux premiers de A[T] contenus dans n et idéaux premiers de (A[T])^. Enfin, la formule
(5.5.6.1) donne
(5.5.7.3) dim((A[T])J=dim(A)+i-deg.tr,Â;'
puisque les corps résiduels de B^ et de (A[T])^ sont les mêmes; par ailleurs, on a alors deg. tr^B = o, ce qui achève de prouver (5.5.7.1).
(ii) Si (A[T]J est caténaire, les deux membres de(5 . 5 . 7 . 2 ) sont égaux (0, i6.1.4), donc aussi les deux membres de (5.5.7.1).
Théorème (5.5.8) (formule des dimensions). — Soient A un anneau local noethérien intègre, B un anneau intègre contenant A et qui est une ^.-algèbre de type fini, q un idéal premier de B tel que qnA soit V idéal maximal m de A, k et k' les corps résiduels de A et Bq respectivement.
On a alors ^inégalité
(5.5.8.1) dim(A)+deg.trAB^dim(B,)+deg.tr,Â;'.
En outre les deux membres sont égaux si, pour toute sous-A-algèbre A' de type fini de B[T]
et tout idéal maximal m' de A' tel que m'nA==m, A^, est caténaire.
Soit B=A[^i, .. ,,^J et raisonnons par récurrence sur n. Posons C==A[^, .. . , ^ _ J et r = q n C ; Gy est un anneau local intègre noethérien, et si on pose S==C—î^B'^S'^B, q^S^q, on a B^==B^, B'==Gr[^J et q'nCr==rCr; en outre les corps des fractions
de B' et Cy sont ceux de B et G respectivement. Si ^ est le corps résiduel de Gy, on a donc, d'après ( 5 . 5 - 7 - i )
(5 •5-8.2) dim(C,)+deg.trcB^dim(B,)+deg.tr,^/. D'autre part l'hypothèse de récurrence donne
(5-5-8-3) dim(A)+deg.trAC^dim(G,)+deg.tr^i
d'où (5.5.8.1) en ajoutant (5.5.8.2) et (5.5.8.3) membre à membre. Pour démontrer la seconde assertion, notons d'abord que toute sous-A-algèbre de type fini de C[T]
est aussi une sous-A-algèbre de type fini de B[T]; par récurrence sur n, on peut donc supposer que les deux membres de (5.5.8.3) sont égaux. D'autre part, pour voir que les deux membres de (5.5.8.2) sont égaux, il suffit, en vertu de (5.5.7), de vérifier que si n est un idéal maximal de C^T] tel que n n C r = r C r , alors (CJT])^ est caténaire;
mais on a C,[T] ^S'-^^j où S^C—r; l'idéal n est donc de la forme S'-1^, où n' est un idéal premier de G[T] tel que n'nC^, d'où (C,[T])^= (C[T])^;
si m' est un idéal maximal de C[T] contenant n', (C[T])^ est donc un anneau local de l'anneau (€![T])^, et comme par hypothèse ce dernier est caténaire, il en est de même de (C[TJ)^ (O^ie.ï.^.