(7.4.1) Dans toute la suite du numéro, nous supposons que la propriété P est de la forme définie dans (7.3.1), et vérifie les conditions (P^), (P^) et (P^) de (7.3.4).
En outre, nous supposons que la propriété Q qui sert à définir P est telle que, pour toute générisation ^ de ^ dans Z, Q{(P^k) entraîne Q ^ C ' ^ . k ) .
Lemme (7.4.2). — Soient A, A' des anneaux locaux noethériens, çp : A->A' un homo-morphisme local tel que f^^ : Spec(A') -> Spec(A) soit un P-homo-morphisme. Alors, si les fibres formelles de A' sont géométriquement régulières, A est un P-anneau.
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Considérons l'homomorphisme complété $ : Â->Â' et le morphisme correspon-dant y =a$ ; on a le diagramme commutatif
Spec(Â) ^ Spe^Â')
Spec(A) Spec(A')
où g et g ' sont les morphismes canoniques. Comme par hypothèse/est un P-morphisme et g ' un morphisme régulier, il résulte de (Pj) que fog' ==gof est un P-morphisme. D'autre part, l'hypothèse que / est un P-morphisme implique que / est plat, donc il en est de même de / (Bourbaki, Alg. comm., chap. III, § 5, n° 4, cor. de la prop. 3), qui est d'ailleurs un homomorphisme local, donc fidèlement plat ( O i , 6 . 6 . 2 ) ; il résulte alors de (Pu) que g est un P-morphisme.
Corollaire (7.4.3). — (i) Soient A un P-anneau local noethérien, A ' = Â son complété.
Supposons que pour tout idéal premier p' de A', les fibres formelles de A.'. soient géométriquement régulières ; alors, pour tout idéal premier p de A, Ap est un P-anneau.
(ii) Supposons que P vérifie la condition (P^y) (7.3.6). Soient A un P-anneau local noethérien, B une A-algèbre locale essentiellement de type fini, et telle que V homomorphisme A->B soit local.
Posons A==A, et soit n' l'unique idéal premier de B^B^A' au-dessus de l'idéal maximal de B et de l'idéal maximal de A'. Si les fibres formelles de B^ sont géométriquement régulières, alors B est un P-anneau.
(i) Comme par hypothèse Spec(A') -> Spec(A) est un P-morphisme, il en est de même de Spec(A^) -> Spec(Ap) en vertu de (7.3.2, b)), pour tout idéal premier p de A et tout idéal premier p' de A' au-dessus de p. Il suffit alors d'appliquer le lemme ( 7 . 4 . 2 ) à ce morphisme, en remarquant que le morphisme Spec(A') -> Spec(A) est surjectif.
(ii) En vertu de (7.4.2), il suffit de prouver que le morphisme Spec(B^) -> Spec(B) est un P-morphisme. Or on a B = C^, où C est une A-algèbre de type fini et n un idéal premier de C au-dessus de l'idéal maximal de A. Si on pose C' = C®^A', il résulte des hypothèses et de ( 7 . 3 . 7 ) que Spec(C') -> Spec(C) est un P-morphisme; comme B^ est un anneau local en un idéal premier de C' au-dessus de n, la conclusion résulte de (7.3.2, b}).
Théorème (7.4.4). — Les hypothèses sur P étant celles de ( 7 . 4 . 1 ) , soit A un P-anneau local noethérien.
(i) Pour tout idéal premier p de A, Ap est un P-anneau.
(ii) Supposons en outre que P vérifie la condition (Pjv)- Alors tout anneau local qui est une A-algèbre essentiellement de type fini est un P-anneau.
(i) Appliquant (7.4.3, (i)), tout revient à voir que pour tout idéal premier p' de A' = A, Ap, a ses fibres formelles géométriquement régulières. Or, cela a été démontré dans ( 0 , 2 2 . 3 . 3 et 22.5.8).
200 A . G R O T H E N D I E C K Chap. IV (ii) Soit B une A-algèbre essentiellement de type fini qui soit un anneau local;
si p est l'idéal premier de A au-dessus duquel est l'idéal maximal de B, B est aussi une Ap-algèbre essentiellement de type fini (1.3.8); en vertu de (i), on peut donc supposer que p est l'idéal maximal m de A. On a donc B=C(? où G est une A-algèbre de type fini, q un idéal premier de G au-dessus de m; soit rP q un idéal maximal de G (néces-sairement au-dessus de m); si l'on pose Â;==A/m, C/mG est une /;-algèbre de type fini, donc le corps résiduel k' de G en l'idéal maximal n est fini sur k (I, 6 . 4 . 2 ) ; en vertu de (i), il suffira de prouver que C^ est un P-anneau, puisque C^ est un anneau local en un idéal premier de C^. On est ainsi ramené à démontrer le
Lemme (7.4.4.1). — Soient A un P-anneau local noethérien, k son corps résiduel, G une A-algèbre de type fini., B un anneau local en un idéal premier n de G, tel que : i° l7 homomorphisme A->B soit local; 2° le corps résiduel k' de B soit une extension finie de k. Si P satisfait à (Piy)?
B est un P-anneau.
Soit (^)i^^^ un système de générateurs de la A-algèbre G; montrons d'abord que l'on peut raisonner par récurrence sur m. Soit G' la sous-algèbre de G engendrée par x-^, . . . , ^ _ _ i , et soit n'==nnC'. L'homomorphisme A->C^ se factorise en A->G^->C^ et il est clair que A-»C^ et G^-^C^ sont des homomorphismes locaux;
si k" est le corps résiduel de C^,, k->k' se factorise de même en k->k"f ->kf, donc k"
est extension finie de k et k' extension finie de k " . L'hypothèse de récurrence entraîne que C^ est un P-anneau; en outre, si S'===C'—n', C^ est un anneau local de S/'~'1C;
comme C^C'I^J, on a S ' ^ G ^ C ^ ^ / i ] et l'hypothèse de récurrence montre encore que C^ est un P-anneau. On est ainsi ramené au cas où G est une A-algèbre engendrée par un seul élément t.
Appliquons (7.4.3, (ii)); en posant A'^A, B'^B®^' est un anneau local de C®^A' en un idéal premier au-dessus de n; comme A et A' ont même corps résiduel A:, le corps résiduel de C®^A' en cet idéal premier est égal à k ' . D'ailleurs C0^A' est une A'-algèbre engendrée par un seul élément. Il résulte donc de (7.4.3, (ii)) qu'on peut se borner à démontrer (7.4.4.1) lorsque P est la propriété (iv') de (7.3.8), que A est complet et G engendrée par un seul élément t.
Pour montrer que les fibres formelles de B = C^ sont alors géométriquement régulières, appliquons le critère (7.3.16, b)). Soit B^ une B-algèbre finie intègre, donc engendrée par un nombre fini d'éléments entiers sur B. En multipliant ces éléments par un élément de S = G—n, on peut supposer qu'ils sont entiers sur G, et on peut donc écrire Bi^S'^i, où C^ est une sous-G-algèbre de B^ engendrée par un nombre fini d'éléments entiers sur G, donc une C-silgébre finie et intègre. D'autre part, B^ est un anneau semi-local, et tout anneau local Bg de B^ en un idéal maximal est un anneau local de C^
en un idéal premier, tel que A—^Bg soit un homomorphisme local; en outre, le corps résiduel de Bg est une extension finie de k ' , donc de k. On voit donc (compte tenu de (7.3.14) et de (i)) qu'on est ramené à la question suivante : soit G un anneau noethérien intègre, contenant un sous-anneau CQ qui est une A-algèbre engendrée par un seul élément t et telle que G soit une Go-algèbre finie', si n est un idéal maximal de G 200
au-dessus de Pidéal maximal de A, et B=C^, il s'agit de montrer que pour tout idéal premier q de Ê, dont l'image réciproque dans B est o, l'anneau Bq est régulier. On peut d'ailleurs remplacer A par son image dans C, qui est un anneau local complet (comme quotient de A) et intègre. La conclusion à prouver est alors conséquence du lemme suivant, plus général en apparence :
Lemme (7.4.4.2). — Soient A un anneau local noethérien intègre et complet; k son corps résiduel^ G un anneau intègre contenant A, tel qu'il existe teC pour lequel C soit une A\t}-algèbre finie. Soit n un idéal maximal de C au-dessus de U idéal maximal m de A; posons B=C^, X-Spec(B), B'==Ê, X'=Spec(Ê); si U=Reg(X), U'-RegÇX'), et si /:X'->X est le morphisme canonique, on a alors f~l{U)CVf.
L'assertion à démontrer pour obtenir ( 7 . 4 . 4 . 1 ) se déduira de ce lemme en observant que, puisque B est intègre, le point générique de X appartient à U.
On notera que puisque G est une A-algèbre de type fini, et n un idéal maximal de G, le corps résiduel k ' de C^ = B (donc aussi de B') est une extension finie de k (I, 6.4.11 et 6.4.2).
Si l'on pose Y==Spec(C), il résulte de (6.12.8) que Reg(Y) est ouvert dans Y;
comme les anneaux locaux de X sont des anneaux locaux de Y (1,2.4.2), on a U=XnReg(Y), donc U est ouvert dans X; d'autre part (6.12.7) U' est ouvert dans X', donc S ^ X7— U7 est fermé; par suite S'n/'^U) est localement fermé dans X', et tout revient à prouver que cet ensemble est vide. On sait (5. i . 10) que dans le cas contraire, il existerait dans S'nJ'^U) un idéal premier p' tel que dimÇB'/p')^ i. Remarquons d'abord que p' ne peut être l'idéal maximal mB' de B', où m est l'idéal maximal de B.
En effet, cela signifierait que B==B^ serait régulier, donc aussi B'==B (0, 17.1.5), et on aurait par suite mB'eU' contrairement à l'hypothèse. On doit donc avoir dim(B7p')= i. Posons p = B n p/; par hypothèse Bp est régulier, mais Bp, ne l'est pas;
comme Bp, est un B -module plat, il résulte de (6.5.2) que la fibre Z d e / a u point p n'est pas régulière au point p'. Montrons qu'on peut se ramener au cas où p=o. En effet, dans le cas général, si l'on pose q = = p n C , r = = p n A , G/q est une (A /r) p] -algèbre finie (où t est la classe de t mod. q); comme p==qB, B/p est égal à (C/q)^, et n/q est un idéal maximal de C/q au-dessus de l'idéal maximal m/r de A/r; on voit donc que les hypothèses de (7.4.4.2) sont encore remplies par A/r, G/q et B/p, et comme le complété de B/p est B'/pB', cela prouve notre assertion. Supposons donc p==o, de sorte que Z est la fibre générique et que l'homomorphisme B-^B'/p' est injectif. Posons V^B'/p', et distinguons deux cas :
I) V est une A-algèbre finie. — Comme BCV, B est a fortiori une A-algèbre finie, et comme A est complet, il en est de même de B (Bourbaki, Alg. comm., chap. IV, § 2, n° 5, cor. 3 de la prop. 9), d'où B'==B, p'=o, donc B^ est un corps, et par suite un anneau régulier, contrairement à l'hypothèse.
II) V n'est pas une A-algèbre finie. — Comme l'anneau local A est complet^ cela implique que V n'est pas une A-algèbre quasi-finie ( O i , 7 . 4 . i et 7 . 4 . 2 ) ; mais par hypothèse le corps résiduel k' de V est extension finie du corps résiduel k de A, 201
202 A . G R O T H E N D I E C K Chap. IV
donc (Oi, 7.4.4) l'idéal mV n'est pas un idéal de définition de V. Comme V est un anneau local intègre noethérien de dimension i, o est le seul idéal de V qui ne soit pas un idéal de définition, donc mV==o. Mais on a AcV et V est intègre, d'où nt==o et A===A; est un corps. On en déduit tout d'abord dim(C)^i (0, 16.1.5); mais comme dim(V)==i, les relations dim(V)^dim(B/)=dim(B)<dim(C) montrent que cela entraîne dim(C)=dim(B)==dim(B/)==dim(B7p')== i, et par suite p' est néces-sairement un idéal premier minimal de B\ Nous arriverons donc encore à une contradiction si nous prouvons que Bp, est un corps, ou encore que l'anneau B' est réduit. Or, comme G est une ^-algèbre de type fini, la clôture intégrale C^ de C est une C-silgebre finie (Bourbaki, Alg. comm., chap. V, § 3, n° 2, th. 2); si l'on pose S = = C — n , B^^S"1^ est la clôture intégrale de B, donc B^ est une B-algèbre finie, et par suite un anneau semi-local noethérien, intègre et intégralement clos et de dimension i (0, 16.1.5); si m, ( i ^ j ^ A ) sont ses idéaux maximaux, les (B^)^. sont donc des anneaux de valuation discrète (II, 7. i .6), et le complété B^ de B^ est le composé direct des anneaux de valuation discrète complétés des (B^)^. (Bourbaki, Alg. comm.y chap. III, § 2, n° 13, prop. 18); B^ est donc réduit, et comme le complété B7 de B est un sous-anneau de B^ (Bourbaki, Alg. comm.y chap. IV, § 2, n° 5, cor. 3 de la prop. 9)3 c'est aussi un anneau réduit. G.Q^.F.D.
Corollaire (7.4.5). — Supposons que la propriété P satisfasse aux conditions (Pj), (Pji)?
(Pjn). Soit A un anneau noethérien. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) Pour tout idéal premier p de A, Ap est un P-anneau.
b) Pour tout idéal maximal m de A, A^ est un P-anneau.
Si de plus P satisfait à (P^y)? ^es propriétés a) et b) sont aussi équivalentes à :
c) Pour toute A-algèbre de type fini B et tout idéal premier q de B, B^ est un P-anneau.
L'équivalence de a) et b) résulte de (7.4.4, (i)), et celle de a ) et c ) de (7.4.4, (ii)).
Lorsque la condition a) de (7.4.5) est remplie, on dit que A est un P-anneau'^
pour les anneaux semi-locaux noethériens, cette définition coïncide avec celle de (7.3.13)?
lorsque les conditions (P^ (Pn) e^ (Pm) son^ satisfaites. L'anneau Z est un P-anneau (7.3.19, (iv)); tout anneau local complet est un P-anneau.
Proposition ( 7 . 4 . 6 ) . — Supposons que la propriété P satisfasse aux conditions (Pj), (P^) et (Pin). Soient A un anneau noethérien^ 3 un idéal de A, A le séparé complété de A pour la topologie ^-préadique. Alors, si A est un P-anneau (7.4.5), le morphisme canonique Spec(A) -> Spec(A) est un P-morphisme.
En utilisant (7.3.2, c ' ) ) , il suffit de prouver que pour tout idéal maximal n de A, d'image réciproque m dans A, le morphisme Spec((A)J -> Spec(A^) est un P-morphisme.
On sait (Bourbaki, Alg. comm.^ chap. III, § 3, n° 4, prop. 8) que l'homomorphisme canonique A^-^(A)^ est injectif, que la topologie nxA^-préadique sur A^ est induite par la topologie n(A)^-préadique et que A^ est dense dans (A)^ pour cette topologie, de sorte que le complété de A^ pour la topologie mA^-préadique s'identifie à celui de (A)^ pour la topologie n(A)^-préadique. On a donc deux morphismes
Spec((AJ') -. Spec((Â)J 4 Spec(AJ
202
tels que y soit fidèlement plat; comme par hypothèse gof est un P-morphisme, il en est de même de g en vertu de
(Pn)-Corollaire (7.4.7).—Supposons que P vérifie les conditions (Pj), (Pj), (Pn), (Pni) €t (Pjv)-Alors, si A est un P-anneau (7.4.5), le morphisme canonique Spec(A[[T\, . . ., T^]]) ->Spec(A) est un P-morphisme. En particulier, si de plus A est intègre, K son corps des fractions, et si p est un idéal premier de B==A[[Ti, . . ., TJ] tel que pnA=o, alors la propriété P(B^, K) est vraie.
En effet, le morphisme canonique Spec(B) -> Spec(A) se factorise en Spec(A[[Ti, . . ., TJ]) -^ Spec(A[Ti, . . ., TJ) -^ Spec(A).
Il est clair que le morphisme g est régulier (0, 17.3. 7) ; en vertu de (7.4.5), A[Ti, . . . , T J est un P-anneau, donc il résulte de (7.4.6) que f est un P-morphisme; comme g est régulier, donc est aussi un P-morphisme (7.3.5, (i)), il en est de même de gof en vertu de (P^).
On notera que la conclusion est encore valable si au lieu de supposer que P vérifie (Pj) et que tout morphisme régulier est un P-morphisme, on suppose seulement qu'un morphisme composé gof est un P-morphisme lorsque g est régulier ei f un P-morphisme (condition symétrique en quelque sorte de (P^)).
Remarque (7.4.8). — Les résultats précédents posent les problèmes suivants : A) Soit A un anneau de Zariski complet, et soit 3 un idéal de définition de A;
si l'anneau A/3 est un P-anneau, en est-il de même de A ? Il en résulterait que pour tout P-anneau noethérien A et tout idéal 3 de A, le séparé complété A pour la topologie 3-préadique serait aussi un P-anneau.
B) Soit k un corps value complet non discret; on appelle encore anneau des séries formelles restreintes kîT-^, . . . , T y j le sous-anneau de l'anneau de séries formelles
^[[TI, . . . , T J ] formées des séries dont les coefficients tendent vers o. Un tel anneau est-il un P-anneau ?
G) Si A est un P-anneau linéairement topologisé, S une partie multiplicative de A, les anneaux A{S~1} (O^, 7 . 6 . 1 ) et A r g , (Oi, 7.6.15) sont-ils des P-anneaux?
7 . 5 . Un critère pour les P-morphismes.
(7.5.0) Ce numéro ne sera pas utilisé dans la suite du chapitre IV, et peut donc être omis en première lecture. Nous verrons d'ailleurs plus loin (7.9.8) que les résultats du présent numéro peuvent être considérablement améliorés quand on dispose de la « résolution des singularités ».
Dans la suite de ce numéro, nous considérerons une propriété R(A), et nous désignerons par P(Z, k) la propriété suivante :
« Z est un préschéma localement noethérien sur un corps k, et, pour toute extension finie k' de k, si l'on pose Z^Z®/^, la propriété Jî(<^»^/) est vraie pour tout ^GZ'. »
Théorème (7.5.1). — Soient A, B deux anneaux locaux noethériens complets, m F idéal maximal de A, Â:=A/m son corps résiduel, (p : A—>B un homomorphisme local tel que :
(i) Le corps résiduel de B est une extension finie de k.
(ii) B est un A-module plat.
Soit à^ autre part -R(C) une propriété vérifiant la condition (Rjn) ( 7 ' 3 'I^ ) ^ ^a condition suivante :
(Rjv) Pour tout anneau local G en un idéal premier (Tun anneau local noethérien complet et tout élément C-régulier t fions l'idéal maximal de G, la propriété R(CftC) implique R(C).