Préliminaires géométriques

Nous commençons par rappeler quelques propriétés classiques des variétés à courbure de Ricci positive. Nous allons voir qu'elles constituent un cadre adapté à notre technique de discrétisation.

Fixons quelques notations.B(x, t)sera la boule géodésique de centrexet de rayont. On notera S(x, t) :=∂B(x, t) la sphère géodésique correspondante.V(x, t) désignera le volume de B(x, t). Nous distinguerons toujours un pointodans la variété : quand nous considérerons des boules de centreo, il nous arrivera de l'omettre, écrivant par exemple B(t)ouV(t). Enn, nous travaillerons beaucoup avec les anneauxA(s, t) :=B(t)\B(s) centrés en o.

Le théorème de comparaison de Bishop-Gromov dit que dans les variétés à courbure de Ricci positive, la croissance du volume des boules est sous-euclidienne en un sens très fort. L'énoncé précis est le suivant.

Théorème 2.2.1 (Bishop-Gromov) Soit M une variété complète à courbure de Ricci positive. Alors pour tout point x de M, la fonctionρ_x dénie pour t≥0 par

ρ_x(t) = tⁿ volB(x, t) est croissante. Autrement dit, pour0< s < t, on a

∀x∈M, volB(x, t) volB(x, s) ≤

µt s

¶_n

. (2.4)

Un corollaire utile est que sixety sont deux points deM et si0< s < t+d(x, y), alors volB(y, t)

volB(x, s) ≤ volB(x, t+d(x, y)) volB(x, s) ≤

µt+d(x, y) s

¶_n

. (2.5)

On trouvera une preuve par exemple dans [Cha]. Nous utiliserons constamment le corollaire suivant, ainsi que sa preuve.

Corollaire 2.2.2 SoitMⁿ une variété riemannienne complète, connexe, non com-pacte et à courbure de Ricci positive. Alors pour tout κ > 1, il y a une constante C(n, κ)≥1 telle que pour tout point x deM et tout réelt >0,

C(n, κ)⁻¹ ≤ vol (B(x, κt)\B(x, t))

vol (B(x, t)\B(x, κ⁻¹t)) ≤C(n, κ).

Preuve.

Pour prouver la minoration, on choisit un pointysur la sphère géodésiqueS(x,(κ+1)t/2) (un tel point existe parce qu'on a supposéM non-compacte, complète et connexe). Alors la bouleB :=B(y,(κ−1)t/2)est contenue dans B(x, κt)\B(x, t). D'où :

vol(B(x, t)\B(x, κ⁻¹t))

vol(B(x, κt)\B(x, t)) ≤ volB(x, t) volB(y,(κ−1)t/2).

Et (2.5) conduit à

vol(B(x, t)\B(x, κ⁻¹t)) vol(B(x, κt)\B(x, t)) ≤

Ãt+^(κ+1)t₂

(κ−1)t 2

!_n

=

µκ+ 3 κ−1

¶_n .

La majoration se prouve de la même façon.¥

Partant du théorème de comparaison, P. Buser [Bus] a prouvé le

Théorème 2.2.3 (Buser) Sur une variété riemannienne complète non-compacte à courbure de Ricci positive, pour toutpdans[1,∞[et pour toute bouleB(x, t), on dispose de l'inégalité de PoincaréL^p

∀f ∈C^∞(B(x, t)), Z

B(x,t)

¯¯f−f_B(x,t)¯

¯^pdvol≤C(n, p)t^p Z

B(x,t)

|df|^pdvol, (2.6) où f_B(x,t) désigne la moyenne de f sur la boule B(x, t), pour la mesure riemannienne dvol.

Ce résultat fournira les inégalités élémentaires à partir desquelles on pourra travailler.

En outre, il se révèlera utile dans l'étude de la géométrie à l'inni des variétés à courbure de Ricci positive (voir 2.2.8).

Nous souhaitons également mentionner le théorème de Cheeger-Gromoll ([CG1], [Bes]), qui clarie la structure des variétés à courbure de Ricci positive. Rappelons qu'une droite est une géodésique minimisante dénie surRtout entier.

Théorème 2.2.4 (Cheeger-Gromoll) Une variété riemannienne complète con-nexe à courbure de Ricci positive est toujours le produit riemannien d'un espace euclidien R^d et d'une variété riemannienne complète connexe à courbure de Ricci positive et sans droite.

Corollaire 2.2.5 Une variété riemannienne complète connexe à courbure de Ricci positive possède exactement un bout, sauf si elle s'écrit comme produit riemannien de R et d'une variété compacte.

Remarque 2.2.1. Les variétés que nous considérerons auront toujours un bout : la crois-sance du volume des boules exclura le cas exceptionnel.

Comme nous serons amenés à travailler sur des anneaux, nous sommes intéressés par leur géométrie/topologie et en particulier par leur connexité : un ensemble non connexe ne peut pas porter d'inégalité de Sobolev-Neumann ! Dans [And], M. Anderson a prouvé que le premier nombre de Betti d'une variété riemannienne complète connexe à coubure de Ricci positive est majoré par sa dimension. Or [LT] donne une conséquence de la nitude du premier nombre de Betti :

Proposition 2.2.6 SoitM une variété riemannienne complète connexe, de premier nombre de Betti ni et possédant k bouts. Fixons un point o dans M et considérons les boules et anneaux centrés en ce point. Alors pour R grand et pour tout r > 0, si

on note M_R l'union des composantes connexes non bornées de M\B(R), il s'avère que A(R, R+r)∩M_R a exactementkcomposantes connexes. En particulier, si M n'a qu'un bout, pour R grand et pour tout r > 0, l'anneau A(R, R+r) possède une et une seule composante connexe pouvant être reliée à l'inni par un chemin restant dans M\B(R).

La preuve est courte et jolie : rappelons-là.

Preuve.

Choisissons une base ([γ₁], . . . ,[γ_b]) de H₁(M,R) et un nombre R₀ >0 tel que B(R₀) contient des représentants γ₁, . . . γ_b de ces générateurs de l'homologie. Quitte à prendre R₀ plus grand, on peut supposer que M_R0 possède k composantes connexes. Prenons maintenant un nombreR > R₀. SoitU l'union deB(R+r)et des composantes connexes bornées de M\B(R) : U est connexe. La suite de Mayer-Vietoris correspondant au recouvrement(U, M_R) de M fournit la suite exacte :

H₁(U)⊕H₁(M_R)−→ H₁(M) −→H₀(U∩M_R)−→. . .

. . . −→H₀(U)⊕H₀(M_R)−→H₀(M)−→0.

La première èche est surjective puisqueU contient des générateurs deH₁(M); donc la deuxième èche est triviale et la troisième injective. Ainsi, on a

0−→H₀(U ∩M_R)−→R⊕R^k−→R−→0, de sorte que : H₀(A(R, R+r)∩M_R) =H₀(U∩M_R) =R^k.¥

Donnons une interprétation en termes de discrétisation. Notre intérêt se porte sur une variété riemannienne complète connexeM à courbure de Ricci positive et possédant un unique bout. Fixons un pointodansM, choisissons des nombresR >0etκ >1. On associe à ces données un graphe de la façon suivante. Un sommet est associé àB(R) et à chaque composante connexe d'anneau du type A(κⁱR, κⁱ⁺¹R), i∈N. Deux sommets seront reliés par une arête si et seulement si l'adhérence des parties correspondantes de M s'intersectent. On pourra trouver un exemple en gure 2.1. Dans ce cadre, la proposition ci-dessus nous apprend que si R est choisi assez grand, ce graphe est un arbre dont la racine est le sommet correspondant à B(R). Ou d'un autre point de vue, même siR est petit, au dehors d'une partie nie, le graphe sera un arbre.

A priori, cet arbre possède des branches, et pour des raisons techniques (voir la preuve du lemme 2.2.13), nous aimerions nous assurer que ces branches ne sont pas trop longues. Nous avons donc besoin de contrôler la taille des composantes connexes bornées des complémentaires de boules dans la variété. C'est l'objet de la proposition suivante, que nous souhaitons énoncer dans un cadre assez général.

Proposition 2.2.7 (RCA) Soit M une variété riemannienne complète connexe, vériant la condition de doublement du volume

∀x∈M, ∀t >0,volB(x,2t)≤C_DvolB(x, t), l'inégalité de Poincaré L^p à l'échelle et centrée en un point ode M

∀f ∈C_c^∞(M), ∀t >0, Z

B(o,t)

¯¯f−f_B(o,t)¯

¯^pdvol≤C_Pt^p Z

B(o,t)

|df|^pdvol,

ainsi que l'inégalité de doublement inverse du volume centrée en o

∀t≥s >0, volB(o, t) volB(o, s) ≥C_o

µt s

¶_ν

avec 1 ≤ p < ν et C_o > 0. Alors on peut trouver un nombre κ₀ ≥ 1 tel que pour tout R > 0, deux points quelconques de la sphère géodésique S(o, R) sont reliés par un chemin restant dans B(o, R)\B(o, κ⁻¹₀ R). En outre, on peut trouver une constante κ₀ ne dépendant que de p,C_D,C_P,C_o etν.

Si l'on repense à la discrétisation que nous avons introduite, cela signie que si κ est choisi assez grand, étant donnés deux sommets situés au même niveau sur l'arbre (i.e. correspondant au même anneau), on peut toujours trouver un sommet du niveau précédent qui est relié à chacun d'eux.

Preuve.

On considère le graphe obtenu en travaillant comme ci-dessus avec les anneaux A_i :=

A(2ⁱ⁻¹R,2ⁱR), i ∈ N^∗, R > 0, plus B(R) =: A₀. Posons B_i = B(2ⁱR) et baptisons C la bijection qui à chaque sommet du graphe associe la partie correspondante de la variété. Nous écrirons A_i pourC⁻¹(A_i) etB_i pourC⁻¹(B_i). Fixons l∈N^∗, considérons l'ensemble non vide

I_l ={i∈[0, l],A_l est inclus dans une composante connexe deB_l\B_i−1} et posonsi_l= maxI_l.

AppelonsM_lla composante deB_l\B_il−1qui contientA_l. Nous supposons quel−i_lest grand, disons, supérieur à3. Par dénition,M_l\A_il n'est pas connexe. Nous choisissons l'une de ses composantes connexes X_l⁰ et nous nommons Y_l⁰ l'union des autres compo-santes connexes. Enn, nous posons X_l⁰ := C⁻¹(X_l⁰), Y_l⁰ := C⁻¹(Y_l⁰), X_l := X_l⁰\A_il+1, Y_l:= Y_l⁰\A_il+1, Z_l^X := X_l⁰∩A_il+1, Z_l^Y := Y_l⁰∩A_il+1 et Z_l :=Z_l^X ∪Z_l^Y. Un dessin est proposé en gure 2.1) : sur la droite, les sommets colorés sont ceux deM_l; les éléments de M_l\A_il sont représentés en noirs, tandis que les éléments deM_l∩ A_il sont grisés.

Etant donnés des nombres réelsaetb, on peut dénir une fonction Lipschitzf_l sur B_l de la façon suivante :

f_l=















a sur X_l, b sur Y_l, a^ro₂⁻²_ilR^ilR sur Z_l^X, b^ro₂⁻²_ilR^ilR sur Z_l^Y,

0 partout ailleurs.

L'inégalité de Poincaré donne Z

Bl

|f_l−(f_l)_Bl|^pdvol≤C_P2^lpR^p Z

Bl

|df_l|^pdvol. (2.7) Choisissonsaetbpour la valeur moyenne def_lsurX_l∪Y_lsoit0:avolX_l+bvolY_l= 0.

Avec a:= 1, cela signie b=−^vol_vol^X_Y^l

l.

o Xl

Xl

Xl

Xl Xl

Xl

Xl Xl Xl Yl

Yl

Yl

Yl

Yl

Yl Yl

Z_l^X Zl^X

Z_l^Y

Niveauil

Niveaul

Fig. 2.1 Une variété et sa discrétisation.

D'une part, volX_l peut être obtenue comme dans la preuve de (2.2.2). On choisit un pointx_l dans S(o,(2^l−2+ 2^l−1)R/2)∩X_let on note queB(x_l,2^l−3R)est inclus dansX_l : cette boule est clairement contenue dans A(2^l−2R,2^l−1R) et elle est connexe, donc elle est incluse dans la composante connexe de son centre x_l dansA(2^l−2R,2^l−1R), donc dansX_l. La condition de doublement du volume donne :

∀x∈M, ∀t≥s >0, V(x, t)≤C_D(t/s)^log2CDV(x, s),

Comme on dispose de la même minoration pourvolY_l, (2.8) fournit : 1≤2^pC_PC_D²121^log2CD2^p(l−il)V(o,2^il+1R)

V(o,2^lR) .

L'inégalité de doublement inverse du volume permet d'écrire : 1≤2^pC_PC_D²121^log2CD2^νC_o⁻¹2^{(l−il)(p−ν)}.

Comme ν > p, cette inégalité dit que l−i_l est majoré par une constante indépendante de l: les branches de l'arbre ont une longueur bornée. (2.2.8) en découle. ¥

Corollaire 2.2.8 Soit M une variété riemannienne complète connexe à courbure de Ricci positive. Supposons qu'il y a un pointodeM ainsi que de réelsC_o >0etν >1 tels que

∀t > s >0, volB(o, t) volB(o, s) ≥C_o

µt s

¶_ν .

Alors on peut trouver un nombre κ₀ = κ₀(n, ν, C_o) ≥ 1 tel que pour tout R > 0, deux points quelconques de la sphère géodésiqueS(o, R)sont reliés par un chemin restant dans B(o, R)\B(o, κ⁻¹₀ R).

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