Comment recoller des inégalités de Sobolev

L'objectif de ce paragraphe est de comprendre comment on peut recoller des in-égalités de Sobolev locales en une seule inégalité de Sobolev globale. Dans [GSC], A.

Grigor'yan et L. Salo-Coste ont introduit une procédure permettant de recoller des in-égalités de Poincaré. Nous allons généraliser leur méthode dans deux directions : d'une part, nous manipulerons des inégalités où les membres de gauche et de droite seront des intégrales faisant intervenir des mesures diérentes ; d'autre part, nous considérerons des inégalités plus générales, de type Sobolev. Le fait de pouvoir travailler avec deux mesures à la fois s'avérera crucial quand nous voudrons prouver des inégalités à poids.

Ici, M est une variété riemannienne lisse. Une telle régularité est loin d'être néces-saire : il est clair que ce qui sera dit s'appliquera dans le cadre beaucoup plus général des espaces métriques mesurés. Nous travaillerons avec deux mesures boréliennes surM,λ etµ. Introduisons le vocabulaire nécessaire.

Définition 2.1.1 Soient A ⊂ A^] deux parties de M. Soit U = (U_i, U_i^∗, U_i^])_i∈I une famille de triplets de boréliens de M de mesure nie pourλet µ. On dira que U est un bon recouvrement de A dans A^] si les propriétés suivantes sont vériées.

(i) Il existe un borélien E de A qui est de mesure nulle pour λ et µ et tel que A\E ⊂S

iU_i ⊂S

iU_i^]⊂A^]; (ii) ∀i∈I, U_i ⊂U_i^∗⊂U_i^]; (iii) ∃Q₁,∀i₀ ∈I, Card

n

i∈I/U_i^]₀∩U_i^]6=∅ o

≤Q₁;

(iv) Pour tout couple (i, j)∈I² satisfaisant U_i∩U_j 6=∅, on peut trouver k(i, j) tel queU_i∪U_j est inclus dans U_k(i,j)^∗ ;

(v) Il y a une constante Q₂ telle que pour tout (i, j)∈I², si U_i∩U_j n'est pas vide, alors

λ(U_k(i,j)^∗ )≤Q₂min (λ(U_i), λ(U_j)) et µ(U_k(i,j)^∗ )≤Q₂min (µ(U_i), µ(U_j)).

Etant donné un borélienU de λ-mesure nie non nulle et une fonctionλ-integrable f, nous noteronsf_U,λ la moyenne def surU par rapport à la mesureλ:

f_U,λ= 1 λ(U)

Z

U

f dλ.

On peut associer à tout bon recouvrementU un graphe pondéré(G, m_λ): l'ensemble de ses sommets est

V =I et l'ensemble de ses arêtes est

E=©

{i, j} ⊂ V/ i6=j, U_i∩U_j 6=∅ª

;

V etE sont munis de mesures notées (toutes les deux) m_λ et dénies par

∀i∈ V, m_λ(i) =λ(U_i) and ∀ {i, j} ∈ E, m_λ(i, j) = max(m_λ(i), m_λ(j)).

Remarque 2.1.1. Dans ce que nous appelons un graphe, il y a au plus une arête entre deux sommets donnés. C'est pourquoi nous noterons{i, j}une arête entre deux sommets ietj. Pour nous, un graphe pondéré sera la donnée d'un ensemble de sommets V, d'un ensemble d'arêtes E (inclus dans l'ensemble des parties à deux éléments de V et d'une mesure σ-nie m sur l'ensemble des sommets V. E sera muni lui aussi d'une mesure σ-nie m, dénie par la relation m(i, j) = max(m(i), m(j)), dès que {i, j} appartient à E.

Nous allons travailler avec trois types d'inégalités : les estimées discrètes (deuxième et troisième types) nous permettront de recoller les estimées continues (premier type).

Définition 2.1.2 Etant donnés k dans ]1,∞] et p dans [1, k[, nous dirons qu'un bon recouvrement U satisfait une inégalité de Sobolev continue L^p de dimension k par rapport à la paire de mesures(λ, µ) s'il existe une constanteS_ctelle que pour toutidans I, on a

∀f ∈C^∞(U_i^∗), µZ

Ui

|f−f_Ui,λ|^k−ppk dλ

¶^k−p

k ≤S_c Z

U_i^∗

|df|^pdµ et

∀f ∈C^∞(U_i^]), ÃZ

U_i^∗

¯¯f −f_Ui^∗_,λ¯

¯^k−ppk dλ

!^k−p

k

≤S_c Z

U_i^]

|df|^pdµ.

Définition 2.1.3 Etant donnés k dans ]1,∞] et p dans [1, k[, nous dirons que le graphe pondéré (G, m) satisfait une inégalité de Sobolev-Dirichlet discrète L^p de dimen-sion k s'il existe une constante S_d telle que pour toute élément f deL^p(V, m), on a

ÃX

i∈V

|f(i)|^k−ppk m(i)

!^k−p

k

≤S_d X

{i,j}∈E

|f(i)−f(j)|^pm(i, j).

Définition 2.1.4 Etant donnés k dans ]1,∞] et p dans [1, k[, nous dirons qu'un graphe pondéré ni (G, m) satisfait une inégalité de Sobolev-NeumannL^p de dimension k s'il existe une constante S_d telle que pour tout élément f de R^V, on a

ÃX

i∈V

|f(i)−m(f)|^k−ppk m(i)

!^k−p

k

≤S_d X

{i,j}∈E

|f(i)−f(j)|^pm(i, j),

où m(f) désigne la moyenne def.

Remarque 2.1.2. Dans cette terminologie, une inégalité de PoincaréL^p n'est rien d'autre qu'une inégalité de SobolevL^p de dimension innie.

Remarque 2.1.3.On dira parfois qu'un bon recouvrement satisfait une inégalité de So-bolev discrète quand son graphe pondéré associé la satisfait.

Le théorème suivant est un outil crucial pour nous.

Théorème 2.1.5 Fixons k dans ]1,∞] et p dans [1, k[. Si un bon recouvrement U de A dans A^] satisfait l'inégalité de Sobolev continue L^p de dimension k (2.1.2) et l'inégalité de Sobolev-Dirichlet L^p de dimension ∞ (2.1.3), alors on a l'inégalité de Sobolev-Dirichlet suivante :

Le premier terme est borné par l'inégalité de Sobolev continue : en remarquant que q ≥pet en utilisant la dénition d'un bon recouvrement, on obtient

X

Pour estimer le second terme, on a recours à l'inégalité de Sobolev discrète : X

Si{i, j} est une arête, l'inégalité de Hölder et les propriétés du bon recouvrement

conduisent à :

Maintenant, siX est un borélien deλ-mesure nie non nulle et sig est une fonction de L^q(X, λ), on a

L'inégalité de Sobolev continue fournit

¯¯f_Ui,λ−f_Uj,λ¯

Les propriétés d'un bon recouvrement assure que : X

D'où :

On arrive nalement à : Z

Et c'est ce qu'on voulait.¥

Il y a aussi une version Neumann de ce résultat.

Théorème 2.1.6 Fixons k dans ]1,∞] etp dans [1, k[. Si un bon recouvrement ni U de Adans A^] satisfait une inégalité de Sobolev continueL^p de dimension k(2.1.2) et une inégalité de Sobolev-Neumann discrète L^p de dimension ∞ (2.1.4), alors on a une inégalité de Sobolev-Neumann : Prouvons la rapidement : pour tout réel c, on peut écrire

kf−f_A,λk_Lq(A,λ) ≤ kf−ck_Lq(A,λ)+kc−f_A,λk_Lq(A,λ) donc, via l'inégalité de Hölder,

kf−f_A,λk_Lq(A,λ) ≤ kf−ck_Lq(A,λ)+

En particulier, si on choisit

c:=m_λ(f_U.,λ) = P

i∈Vf_Ui,λλ(U_i) P

i∈Vλ(U_i) ,

on peut écrire

On peut alors estimer les deux termes comme dans la preuve du théorème 2.1.5 : c'est pour borner le second que notre choix dec est déterminant. ¥

Remarque 2.1.5.En fait, ces arguments conduisent à des théorèmes plus généraux. On peut par exemple énoncer une version Dirichlet . Prenons 1 ≤ p ≤ r ≤ q ≤ ∞ et posons k = _q−p^qp . Si un bon recouvrement U de A dans A^] satisfait une inégalité de Sobolev continue L^p de dimension k (avec constante S_c), une inégalité de Sobolev-Dirichlet discrète L^r de dimension _q−r^rq (avec constanteS_d) et une inégalité de Sobolev continue L^p de dimension _r−p^pr (avec constante S_c⁰), alors on dispose d'une inégalité de Sobolev-Dirichlet L^p de dimension k :

∀f ∈C_c^∞(A),

.Ce genre de résultat pour-rait être utilisé pour recoller des inégalités de Sobolev et de Poincaré ensemble.