Construction de brations en cercles locales

L'approximation Gromov-Hausdor locale que nous avons construite plus haut n'est pas lisse : le travail est trop grossier pour autoriser de la régularité. Nous allons mainte-nant lisser, régulariser cette application an d'obtenir une bration lisse. La technique employée est tout simplement une convolution, comme dans [Fuk] et surtout [CFG].

Essentiellement, nous avons besoin du théorème 2.6 de [CFG]. Mais pour notre propos, ce résultat général devra être ané an d'utiliser à plein la décroissance cubique de la courbure, ainsi que des propriétés de symétrie de l'approximation Gromov-Hausdor que nous régularisons. Ces techniques nécessitent hélas un contrôle des dérivées covariantes de la courbure ; on utilisera à plein le paragraphe précédent. Il est encourageant de noter que les estimées sur les dérivées covariantes de la courbure sont automatiques pour les instantons gravitationnels.

Précisons un point de vocabulaire. On dira que f est une submersion C-presque riemannienne si f est une submersion telle que pour tout vecteur v horizontal (i.e.

orthogonal aux bres), on a

e^−C|v| ≤ |df_x(v)| ≤e^C|v|.

Proposition 3.2.16 (Fibration locale) Soit (Mⁿ, g) une variété riemannienne complète telle que

|Rm|=O(r⁻³) et |∇Rm|=O(r⁻⁴) et

∀x∈M, ∀t≥1, Atⁿ⁻¹ ≤volB(x, t)≤Btⁿ⁻¹

avec 0 < A ≤ B. On suppose aussi qu'il existe une constante c > 1 telle que si γ est un lacet géodésique basé en x et de longueur L≤c⁻¹r(x), alors l'holonomie H du lacet vérie

|H−id| ≤ cL r(x).

Il existe alors un compact K de M et un nombre κ > 0 tel que pour tout point x de M\K, on peut trouver une bration en cercles f_x : Ω_x−→B_x dénie sur un voisinage ouvert Ω_x de x et à valeurs dans la boule euclidienne B_x de rayon κr(x) dans Rⁿ⁻¹, avec les propriétés suivantes.

f_x est une submersionCr(x)⁻¹-presque riemannienne.

Ses bres sont des sous-variétés diéomorphes àS¹, de longueur minorée par C⁻¹ et majorée par C.

¯

¯∇²f_x¯

¯≤Cr(x)⁻².

Les constantes κ et C dépendent de n et des bornes sur la courbure et le volume des boules à l'inni. Si de plus, on a

∀i≥2,¯

¯∇ⁱRm¯

¯=O(r⁻²⁻ⁱ), alors il existe des constantesC_i telles que

∀i≥3,¯

¯∇ⁱf_x¯

¯≤C_ir(x)¹⁻ⁱ.

Remarque 3.2.1.Il est bon de noter que les hypothèses de décroissance de la courbure sont vériées par les variétés Ricci plates à courbure dans Lⁿ²(rdvol) (par exemple à décroissance surquadratique).

Preuve.

Dans la preuve de 3.2.12, on a introduit une fonctionhdénie sur une bouleB(x, κr(x)) et à valeurs dans l'hyperplanH orthogonal à l'extrémitév_xd'un relevé deσ_x dansT_xM (cf. preuve de 3.2.12) ; cet hyperplanH de T_xM est identié à l'espace euclidienRⁿ⁻¹, grâce à la métrique induite par g_x.

On se xe une fonction décroissante lisseχdeR₊ dansR₊ qui vaut 1sur[0,1/3]et 0 au delà de 2/3. On se xe une échelle de longueur ²:= 0.1κr(x) et on pose χ_²(t) = χ(t/²²). On remarquera que les dérivées de cette fonction s'estiment par :

¯¯

¯χ^(k)_²

¯¯

¯≤C_k²^−2k. (3.21)

On considère alors la fonction dénie surB(x, κr(x))par : f(y) :=

R

TyMh(exp_yv)χ_²(d(0, v)²/2)dvol(v) R

TyMχ_²(d(0, v)²/2)dvol(v) .

Ici, dvol et d sont la mesure et la distance associées à exp^∗_yg. Si w est un relevé de y dansT_xM, on peut eectuer un changement de variable à l'aide de l'isométrie

τ_w := Exp_w◦(T_wexp_x)⁻¹

entre (T_yM,exp^∗_yg) et (T_xM,exp^∗_xg). Introduisons, pour chaque point v de T_xM, la fonctionρ_v := ^d(v,.)₂ ² et posonsfˆ:=f◦exp_x,ˆh:=h◦exp_x. On obtient alors la formule :

f(y) = ˆf(w) = R

TxMˆh(v)χ_²(ρ_v(w))dvol(v) R

TxMχ_²(ρ_v(w))dvol(v) .

Ceci permet de travailler sur un espace euclidien xé,(T_xM, g_x). La mesure riemannienne dvol peut être comparée à la mesure de Lebesguedv : sur une échelle de longueur ², si la courbure est bornée parΛ², on a

µsin Λ² Λ²

¶_n

dv ≤dvol≤

µsinh Λ² Λ²

¶_n dv.

La décroissance cubique de la courbure donne un Λ de l'ordre de ²⁻³², de sorte qu'on obtient

−C²⁻¹dv ≤dvol−dv ≤C²⁻¹dv. (3.22) De même, on peut comparer les distances euclidiennes et riemanniennes par

|d(v, w)− |v−w|| ≤CΛ²²²d(v, w)≤C,

d'où ¯

¯¯ρ_v(w)− |v−w|²/2

¯¯

¯≤C². (3.23)

Enn, la preuve de 3.2.12 montre queˆh est proche d'une projection euclidienne surH :

¯¯

¯ˆh(v)−v_H

¯¯

¯≤C. (3.24)

On peut écrire Z

ˆh(v)χ_²(ρ_v(w))dvol(v) = Z

h(v)χˆ _²(ρ_v(w))(dvol(v)−dv) +

Z h(v)ˆ

³

χ_²(ρ_v(w))−χ_²(|v−w|²/2)

´ dv +

Z

(ˆh(v)−v_H)χ_²(|v−w|²/2)dv +

Z

v_Hχ_²(|v−w|²/2)dv.

Le support de v 7→ χ_²(ρ_v(w)) est inclus dans une boule de rayon comparable à ², ˆh prendra donc ses valeurs dans une boule de taille comparable à². Avec (3.22), on peut donc majorer le premier terme du membre de droite parC²·²⁻¹·²ⁿ=C²ⁿ. Avec (3.21) et (3.23), on borne le deuxième terme par C²·²⁻²·²·²ⁿ=C²ⁿ. Enn, (3.24) contrôle le troisième terme parC²ⁿ. On obtient :

Z

ˆh(v)χ_²(ρ_v(w))dvol(v) = Z

v_Hχ_²(|v−w|²/2)dv+O(²ⁿ), où O(²ⁿ)désigne une erreur majorée par C²ⁿ.

Grâce à (3.22), (3.21) et (3.23), on obtient de même Z

TxM

χ_²(ρ_v(w))dvol(v) = Z

χ_²(|v−w|²/2)dv+O(²ⁿ⁻¹).

Enn, en notant les ordres de grandeur Z

v_Hχ_²(|v−w|²/2)dv =O(²ⁿ⁺¹) et

C⁻¹²ⁿ≤ Z

χ_²(|v−w|²/2)dv ≤C²ⁿ, on en conclut que

fˆ(w) =

R v_Hχ_²(|v−w|²/2)dv

R χ_²(|v−w|²/2)dv +O(1) Par le changement de variablez=v−w, on en déduit :

fˆ(w)−w_H =

R z_Hχ_²(|z|²/2)dz R χ_²(|z|²/2)dz

| {z }

=0par parité

+O(1),

d'où fˆ(w) =w_H +O(1). (3.25) La diérentielle defˆs'écrit

dfˆ_w =

R(ˆh(v)−fˆ(w))χ⁰_²(ρ_v(w))(dρ_v)_wdvol(v) R χ_²(ρ_v(w))dvol(v) .

En procédant au même type d'approximations, basées sur (3.5), (3.21), (3.23), (3.2.15), (3.24) et (3.25), on obtient

dfˆ_w =−

R z_Hχ⁰_²(|z|²/2)(z, .)dz

Rχ_²(|z|²/2)dz +O(²⁻¹). (3.26) Donnons nous une base orthonormée(e₁, . . . , e_n) de T_xM, avec e_n⊥H. Sii6=j, on

a par parité Z

z_iχ⁰_²(|z|²/2)z_jdz = 0.

Par contre, une intégration par partie donne pour toutα≥0 Z _∞

−∞

z_i²χ⁰_²(z_i²/2 +α)dz_i =− Z _∞

−∞

χ_²(z_i²/2 +α)dz_i, de sorte que

− Z

z_i²χ⁰_²(|z|²/2)dz = Z

χ_²(|z|²/2)dz.

Cela signie qu'on a précisément :

−

Rz_Hχ⁰_²(|z|²/2)(z, .)dz R χ_²(|z|²/2)dz =

n−1X

i=1

e_i⊗(e_i, .).

Autrement dit, ce n'est rien d'autre que la projection sur H. On en déduit dfˆ_w =

n−1X

i=1

e_i⊗(e_i, .) +O(²⁻¹)

Avec (3.20), ceci prouve que fˆet donc f (puisque expest une isométrie locale) sont des submersions C²⁻¹-presque riemanniennes.

La dérivée d'ordre 2 s'écrit :

∇²fˆ_w =

R(ˆh(v)−f(w))ˆ ¡

χ⁰⁰_²(ρ_v(w))(dρ_v)_w⊗(dρ_v)_w+χ⁰_²(ρ_v(w))(∇²ρ_v)_w¢

dvol(v) R χ_²(ρ_v(w))dvol(v)

− 2dfˆ_w⊗

Rχ⁰_²(ρ_v(w))(dρ_v)_w)dvol(v) R χ_²(ρ_v(w))dvol(v) .

A nouveau, avec (3.5), (3.21), (3.23), (3.2.15), (3.24) et (3.25), on arrive à

∇²fˆ_w = R z_H

³

χ⁰⁰_²(|z|²/2)(z, .)⊗(z, .) +χ⁰_²(|z|²/2)(., .)

´ dz R χ_²(|z|²/2)dz

− 2dfˆ_w⊗

R χ⁰_²(|z|²/2)(z, .)dz

R χ_²(|z|²/2)dz +O(²⁻²).

Pour commencer, on a par parité : Z

χ⁰_²(|z|²/2)(z, .)dz= 0

et Z

z_Hχ⁰_²(|z|²/2)(., .)dz = 0.

La i-ème composante de l'intégrale Z

z_Hχ⁰⁰_²(|z|²/2)(z, .)⊗(z, .) s'écrit comme somme de termes du type

µZ

z_iz_jz_kχ⁰⁰_²(|z|²/2)dz₁. . . dz_n

¶

(e_j, .)⊗(e_k, .), qui sont nuls par parité. Donc :

∇²fˆ_w =O(²⁻²).

La preuve du théorème 2.6 de [CFG] fournit les propriétés restantes de l'application f_x :=f. Essentiellement,f est une bration parce qu'elle estC¹-proche d'une bration.

La connexité des bres découle de la borne sur la Hessienne de f. L'estimation de la longueur des bres est liée aux bornes sur le volume et au fait quef est une submersion presque riemannienne.¥

Remarque 3.2.2.Par rapport à ce qui est fait dans [CFG], on a utilisé à plein la struc-ture particulière de la géométrie pour bâtir une approximation Gromov-Hausdor proche d'une projection euclidienne, donc assez symétrique, ce qui lui permet de bien se régu-lariser par convolution, au moins jusqu'à l'ordre2.

On aura besoin d'un lemme qui établit un lien entre les brations construites autour de deux points proches (c'est un analogue de la proposition5.6de [CFG]).

Lemme 3.2.17 (Proximité des fibrations locales I) On se replace dans le cadre de la proposition 3.2.16. Si on se donne deux pointsx etx⁰ dansM\K, à distance majorée par κr(x), si on note Ω_x,x⁰ l'intersection des ouverts Ω_x et Ω_x⁰ donnés par

(3.2.16), alors il y a une Cr(x)⁻¹-quasi-isométrie φ_x,x⁰ entre les ouverts f_x⁰(Ω_x,x⁰) et f_x(Ω_x,x⁰) qui vérie ¯

¯f_x−φ_x,x⁰ ◦f_x⁰¯

¯≤C,

¯¯Df_x−Dφ_x,x⁰ ◦Df_x⁰¯

¯ ≤Cr(x)⁻¹,

et ¯

¯D²φ_x,x⁰¯

¯≤Cr(x)⁻². En présence du contrôle

∀i≥2,¯

¯∇ⁱRm¯

¯=O(r⁻²⁻ⁱ), on a aussi

∀i≥3,¯

¯Dⁱφ_x,x⁰¯

¯≤C_ir(x)¹⁻ⁱ. Preuve.

On reprend les notations de la preuve précédente, en ajoutant en indice le point consi-déré, et on se place dansT_xM. Notonsuun relevé dex⁰ (à distance minimale deH_x) et τ_u := Exp_u◦(T_uexp_x)⁻¹ l'isométrie correspondante (entre des grandes boules de T_x⁰M etT_xM). On considère l'application

φ_x,x⁰ :=f_x◦exp_x0|_fx0(Ωx,x0). An de tout ramener dansT_xM, on écrit

φ_x,x⁰◦f_x⁰◦exp_x =f_x◦exp_x0◦f_x⁰ ◦exp_x

Et avec la relationexp_x◦τ_u = exp_x0, on peut reformuler cette identité sous la forme φ_x,x⁰◦f_x⁰ ◦exp_x =f_x◦exp_x◦τ_u◦f_x⁰ ◦exp_x0◦τ_u⁻¹

soit

φ_x,x⁰◦f_x⁰ ◦exp_x = ˆf_x◦f˜_x⁰ (3.27) avec fˆ_x = f_x◦exp_x et f˜_x⁰ = τ_u ◦f_x⁰ ◦exp_x0◦τ_u⁻¹. Il faut comprendre cette dernière application.

Puisqueτ_u est une isométrie entre les métriquesexp^∗_x0getexp^∗_xget puisqueH_x⁰ est l'union des géodésiques partant de 0 avec un vecteur vitesse initial perpendiculaire à (T₀exp_x0)⁻¹(v_x⁰),τ_u(H_x⁰) est l'hypersurface engendrée par les géodésiques partant deu avec une vitesse orthogonale àV := (dτ_u)₀◦(T₀exp_x⁰)⁻¹(v_x⁰).v_x⁰ est par dénition l'un des deux relevés de x⁰ parexp_x0 qui sont diérents de 0 mais à distance minimale de0 (dansT_x⁰M). Doncτ_u(v_x⁰) est l'un des deux relevés dex⁰ parexp_xqui sont diérents de τ_u(0) =umais à distance minimale deτ_u(0) =u(dansT_xM). On a vu dans 3.2.3 qu'un tel point τ_u(v⁰_x) est τ_vx(u) ou bien τ_v⁻¹_x (u). Pour se xer les idées, supposons qu'on est dans le premier cas :τ_u(v⁰_x) =τ_vx(u).

L'exponentielle deT_x⁰M (en 0) envoie (T₀exp_x⁰)⁻¹(v_x⁰) sur v_x⁰, donc V = (dτ_u)₀◦ (T₀exp_x0)⁻¹(v_x⁰) est le vecteur qui s'envoie par l'exponentielle deT_xM (en τ_u(0) = u)

u V

τu(Hx⁰) u+Hx

0

TxM Tx⁰M

Hx

τu

(T0exp_x)⁻¹vx 0 (T0exp_x0)⁻¹vx⁰

Hx⁰

surτ_u(v⁰_x) =τ_vx(u) :Exp_uV =τ_vx(u). Regardons la géodésique paramétrée par γ(t) :=

Exp_utV. Avec la formule de Taylor

γ(1)−γ(0)−γ(0) =˙ Z ₁

0

(1−t)¨γ(t)dt

et l'estimation |¨γ| ≤Cr(x)⁻²|V|² ≤Cr(x)⁻², découlant de 3.2.14 et de la borne sur le rayon d'injectivité (3.1.1), on trouve

|τ_vx(u)−u−V| ≤Cr(x)⁻². Avec l'estimation

|τ_vx(u)−u−v_x| ≤Cr(x)⁻¹, on en déduit

|V −v_x| ≤Cr(x)⁻¹. (3.28)

L'angle entre les vecteurs V et v_x est donc borné par Cr(x)⁻¹, de sorte qu'avec Uˆ :=

B(0, κr(x))ˆ ∩B(u, κr(xˆ ⁰)), les bouts d'hyperplans anes(u+V^⊥)∩Uˆ et(u+v_x^⊥)∩Uˆ restent à distance bornée.

En considérant la géodésique paramétrée parγ(t) = Exp_utW, avecW⊥V et|W| ≤ Cr(x), on obtient de même grâce à 3.2.14 :

|Exp_uW −u−W| ≤Cr(x)⁻²r(x)²=C.

Ceci signie que le bout d'hyperplan ane (u+V^⊥)∩Uˆ et le bout d'hypersurface τ_u(B_x⁰)∩Uˆ= Exp_uV^⊥∩Uˆ restent à distance bornée.

Et on en conclut queτ_u(B_x⁰)∩Uˆ et(u+v_x^⊥)∩Uˆ restent C-proches, dans le sens où l'applicationΨdénie de τ_u(B_x⁰)∩Uˆ dans(u+v_x^⊥)∩Uˆ par

ψ: Exp_uW 7→ u+W.

bouge les points d'une distance majorée par C.

On a vu dans la preuve précédente que f_x⁰ ◦exp_x0 étaitC-proche de la projection orthogonale (pour g_x⁰) sur H_x⁰. Or, τ_u est une isométrie entre les métriques exp^∗_x0g et exp^∗_xg, qui sont respectivementCr(x)⁻¹-proches deg_x⁰ et deg_x. On en déduit que pour tout point w de la zone considérée,¯

¯¯f˜_x⁰(w)−w

¯¯

¯ est C-proche de la distance (pourg_x) entrew etτ_u(H_x⁰), de sorte que ¯

¯¯ψ◦f˜_x⁰(w)−w

¯¯

¯ est C-proche de la distance (pourg_x) entrewet(u+v^⊥_x): ainsi,ψ◦f˜_x⁰ et doncf˜_x⁰ sontC-proches de la projection orthogonale sur (u+v^⊥_x), qui n'est autre que la projection sur H_x, composée avec une translation de vecteur u−u_Hx : ¯¯

¯f˜_x⁰(w)−w_Hx −(u−u_Hx)

¯¯

¯≤C.

On en déduit ¯

¯¯f˜_x⁰(w)−fˆ_x(w)−(u−u_Hx)

¯¯

¯≤C et, en composant avecfˆ_x, ceci donne

¯¯

¯fˆ_x◦f˜_x⁰(w)−fˆ_x(w)

¯¯

¯≤C.

Si on se rappelle la formule 3.27, on constate que ceci donne

¯¯φ_x,x⁰ ◦f_x⁰◦exp_x−f_x◦exp_x¯

¯≤C, et, avec la surjectivité deexp_x,

¯¯φ_x,x⁰ ◦f_x⁰−f_x¯

¯≤C.

Ensuite, de la relation 3.27, on déduit

D(φ_x,x⁰◦f_x⁰exp_x) =Dfˆ_x◦Df˜_x⁰. (3.29) Soit z un point de Uˆ et soit z⁰ =τ_u⁻¹(z) ∈ T_x⁰M. On a vu dans la preuve précédente que D_zfˆ_x estCr(x)⁻¹-proche de la projection orthogonale dans la direction deH_x. De même,D_z⁰(f_x⁰exp_x0)estCr(x)⁻¹-proche de la projection orthogonale sur la direction de H_x⁰, i.e. dans la direction orthogonale àv_x⁰. Après conjugaison parDτ_u, on obtient que D_zf˜_x⁰ estCr(x)⁻¹ proche de la projection dans la direction de l'orthogonal àD_zτ_u(v_x⁰). Notons Z⁰ la vitesse initiale de la géodésique reliant z⁰ à τ_vx0(z⁰) en temps 1. En raisonnant comme dans la preuve de l'estimation (3.28), on obtient

¯¯Z⁰−v_x⁰¯

¯≤Cr(x)⁻¹. Si on poseZ :=D_zτ_uZ⁰, on a donc

|Z−D_zτ_u(v_x⁰)| ≤Cr(x)⁻¹.

Or Z est la vitesse initiale de la géodésique reliant z à τ_vx(z) (ouτ_v⁻¹_x (z)) en temps 1. Donc de nouveau ce vecteur vérie

|Z−v_x| ≤Cr(x)⁻¹,

si bien que direction de H_x), un vecteur horizontal pour f_x⁰ estCr(x)⁻¹-proche d'un vecteur hori-zontal pourf_x. Et commef_x etf_x⁰ sont des submersions Cr(x)⁻¹-quasi riemanniennes,

on récupère ¯

et en utilisant (3.30), on obtient donc

¯¯¯

¯Dφ_x,x⁰(W)¯

¯− |W|¯

¯≤Cr(x)⁻¹|W|, ce qui prouve queφ_x,x⁰ est uneCr(x)⁻¹-quasi-isométrie.

Les estimées d'ordre supérieur découlent de celles sur f_x et f_x⁰, grâce à la formule (3.27) : les bornes sur les dérivées covariantes de la courbure assurent queexp^∗_xg (resp.

exp^∗_x0g)) est proche de la métrique plateg_x (resp. g_x⁰) en topologie C^∞, de sorte que les estimées pour l'une et l'autre métrique sont équivalentes ; ainsi, on peut voir exp_x, exp_x0 etτ_u comme des isométries.¥

On aura également besoin de comparer entre elles ces applications, d'où l'utilité du lemme suivant, qui découle immédiatement du lemme précédent.

Lemme 3.2.18 (Proximité des fibrations locales II) On reprend les hypothèses et notations du lemme 3.2.17 et on se donne trois points x, x⁰ et x⁰⁰ dans M\K, à

Preuve.

Sur l'intersection deΩ_x,Ω_x⁰ etΩ_x⁰⁰, on peut écrire

¯¯f_x−φ_x,x⁰ ◦f_x⁰¯

¯≤C et ¯

¯f_x⁰−φ_x⁰_,x⁰⁰◦f_x⁰⁰¯

¯≤C.

Comme φ_x,x⁰ est une quasi-isométrie, il vient :

¯¯f_x−φ_x,x⁰◦φ_x⁰_,x⁰⁰◦f_x⁰⁰¯¯≤¯¯f_x−φ_x,x⁰◦f_x⁰¯¯+¯¯φ_x,x⁰ ◦(f_x⁰ −φ_x⁰_,x⁰⁰◦f_x⁰⁰)¯¯≤C.

D'autre part, on dispose de la majoration

¯¯f_x−φ_x,x⁰⁰◦f_x⁰⁰¯

¯≤C, de sorte qu'on trouve par l'inégalité triangulaire

¯¯(φ_x,x⁰⁰−φ_x,x⁰◦φ_x⁰_,x⁰⁰)◦f_x⁰⁰¯

¯≤C,

Le premier résultat suit de la surjectivité de f_x⁰⁰ sur la zone considérée. L'application f_x⁰⁰ étant une submersion, le même raisonnement fonctionne avec les diérentielles.¥ 3.2.7 Recollement des brations locales.

Maintenant, on va modier légèrement les brations locales de façon à les rendre compatibles. La procédure est celle de [CFG], adaptée et simpliée dans notre cadre.

Commençons par un lemme dont le principe sera utilisé abondamment dans la preuve suivante.

Lemme 3.2.19 (Ajustement des fibrations locales I) On se place toujours dans le cadre de la proposition 3.2.16 et on se donne deux points x et x⁰ de M\K qui vérient αr(x) ≤ d(x, x⁰) ≤ βr(x) pour des réels 0 < α < β < 1. On suppose que sur B(x, γr(x)) et B(x⁰, γr(x⁰)) des brations f_x et f_x⁰ telles que celles de 3.2.16 sont dénies ; on suppose aussi queB(x, δr(x))etB(x⁰, δr(x⁰))s'intersectent, avec0< δ < γ, et qu'une applicationφ_x⁰_,xcomme dans 3.2.17 y est dénie. On peut alors construire une bration f˜_x⁰ sur B(x⁰, δr(x⁰)), qui vérie les mêmes propriétés que f_x⁰, mais telle qu'en plus :

f˜_x⁰ =φ_x⁰_,x◦f_x

sur B(x, δr(x))∩B(x⁰, δr(x⁰)). De plus, cette nouvelle bration coïncide avec l'ancienne en dehors de B(x, γr(x))et partout où on avait déjà f_x⁰ =φ_x⁰_,x◦f_x et on a

∀i∈[0,2],

¯¯

¯∇ⁱ( ˜f_x⁰−f_x⁰)

¯¯

¯≤Cr(x)⁻ⁱ. Preuve.

On pose

f˜_x⁰(y) =λ(y)φ_x⁰_,x(f_x(y)) + (1−λ(y))f_x⁰(y) avec

λ(y) =θ

µf_x(y) r(x)

¶

où θ : Rⁿ⁻¹ −→ [0,1]est une fonction de troncature qui vaut 1 sur la boule de centre 0 et de rayon δ, qui vaut0 hors de la boule de centre 0 et de rayon γ. On remarquera

l'estimée ¯

¯¯∇^kλ

¯¯

¯≤C_kr(x)^−k,

découlant des bornes sur les dérivées def_x. Les estimées annoncées s'obtiennent immé-diatement en dérivant la relation

f˜_x⁰(y)−f_x⁰(y) =λ(y)¡

φ_x⁰_,x◦f_x(y))−f_x⁰(y)¢ .

¥

Lemme 3.2.20 (Ajustement des fibrations locales II) Les hypothèses sont les mêmes qu'au lemme précédent. On se donne trois pointsx,x⁰ etx⁰⁰deM\K qui vérient αr(x)≤d(x, x⁰), d(x⁰, x⁰⁰), d(x, x⁰⁰)≤βr(x) pour des réels 0< α < β <1. On se donne des diéomorphismes φ_x⁰_,x, φ_x,x⁰⁰ et φ_x⁰_,x⁰⁰ comme dans 3.2.18 ; on suppose aussi que B(x, δr(x)), B(x⁰, δr(x⁰))et B(x⁰⁰, δr(x⁰⁰)) s'intersectent, avec0< δ < γ. On peut alors construire un diéomorphisme φ˜_x⁰_,x⁰⁰, qui vérie les mêmes propriétés que φ_x⁰_,x⁰⁰, mais tel qu'en plus :

φ˜_x⁰_,x⁰⁰=φ_x⁰_,x◦φ_x,x⁰⁰

surf_x⁰⁰(B(x, δr(x))∩B(x⁰, δr(x⁰))∩B(x⁰⁰, δr(x⁰⁰)). De plus, ce nouveau diéomorphisme coïncide avec l'ancien en dehors de B(x⁰⁰, γr(x⁰⁰)) et partout où on avait déjà φ_x⁰_,x⁰⁰ = φ_x⁰_,x◦φ_x,x⁰⁰; on a en outre

∀i∈[0,2],

¯¯

¯∇ⁱ( ˜φ_x⁰_,x⁰⁰−φ_x⁰_,x⁰⁰)

¯¯

¯≤Cr(x)⁻ⁱ. Preuve.

On pose

φ˜_x⁰_,x⁰⁰(v) =λ(v)φ_x⁰_,x◦φ_x,x⁰⁰(v) + (1−λ(v))φ_x⁰_,x⁰⁰(v) avec

λ(v) =θ Ã

|v|² r(x)²

!

où θ : Rⁿ⁻¹ −→ [0,1]est une fonction de troncature qui vaut 1 sur la boule de centre 0 et de rayon δ, qui vaut 0 hors de la boule de centre 0 et de rayon γ. Les estimées s'eectuent comme à la preuve précédente. ¥

Théorème 3.2.21 (Fibration globale) Soit (Mⁿ, g) une variété riemannienne complète telle que

|Rm|=O(r⁻³) et |∇Rm|=O(r⁻⁴) et

∀x∈M, ∀t≥1, Atⁿ⁻¹ ≤volB(x, t)≤ω(t)tⁿ

avecA >0 et lim

t−→∞ω(t) = 0. On suppose aussi qu'il existe une constantec >1telle que si γ est un lacet géodésique basé en x et de longueur L≤c⁻¹r(x), alors l'holonomie H du lacet vérie

|H−id| ≤ cL r(x).

Alors il existe un compactK deM tel queM\K est muni d'une bration lisse en cercles π au dessus d'une variété ouverte lisseX.

S^{1 //}M\K

π

²²X

De plus, les bres sont de longueur comprise entre C⁻¹ et C et de seconde forme fon-damentale bornée par Cr⁻². Les constantes κ etC dépendent de n et des bornes sur la courbure et le volume des boules à l'inni.

Remarque 3.2.3. La preuve montrera que pour tout point x de M\K, on a un diéo-morphisme ψ_x entre un voisinage deπ(x) dans X et un ouvert de Rⁿ⁻¹ tel queψ_x◦π est une bration vériant les estimées de (3.2.16).

Preuve.

Donnons nous un ensemble maximal de points x_i,i ∈I, tels que pour tous indices les i6=j,d(x_i, x_j)≥κr(x_i)/8. Ceci fournit un recouvrement uniformément localement ni de M, par les boules B(x_i, κr(x_i)/2). Pour chaque i de I, soit f_i la bration locale donnée par 3.2.16. On travaillera avec les saturésΩ_i(α)de boulesB(x_i, αr(x_i))pourf_i, avecα un paramètre inférieur àκ. Comme dans [CFG], on partitionneI en paquetsS₁, ..., S_N tels que deux points dont les indices sont dans un même paquet sont loin : pour deux indices i6=j de I, on a

∃a∈[1, N], {i, j} ⊂S_a⇒d(x_i, x_j)≥100κmin(r(x_i), r(x_j)).

En particulier,Ω_i(α)etΩ_j(α)ne peuvent s'intersecter que siietjsont dans des paquets diérents ; dans ce cas, si le numéro du paquet de iest supérieur à celui de j, on note φ_i,j le diéomorphisme fourni par 3.2.17 etφ_j,i son inverse.

Maintenant, on veut améliorer les relationsf_i ≈φ_i,jf_j en f_i=φ_i,jf_j. On procède à une campagne d'ajustements des brations locales de la façon suivante. L'idée consiste à donner une priorité aux paquets de petit numéro en imposant les brationsf_i des points correspondants à celles des points voisins. Pour ce faire, on se placera sur des zones où plusieurs brations sont dénies et on modiera les brations pour qu'elles s'ajustent à celle qui a le plus petit numéro. L'ordre dans lequel on procède est important. On va distinguer des étapes, indexées par les parties A := {a₁<· · ·< a_k} de [1, N]. On ordonne ces 2^N étapes par ordre croissant de a₁, puis par ordre décroissant de k, puis par ordre croissant de a₂, puis par ordre croissant de a₃, etc. Autrement dit, on a

{a₁<· · ·< a_k} ≺ {b₁ <· · ·< b_l} si l'une des conditions suivantes est vériée :

a₁ < b₁;

a₁ =b₁ etk > l;

a_i =b_i pouri≤i₀ etk=leta_i0 < b_i0. Notons m_A le rang deA dans cet ordre et notons

α_m=κ· µ1

2

¶^m

2N

.

Au fur et à mesure de la campagne, on va rétrécir les domaines des brations Ω_i(α) : α_mA mesurera la taille des domaines à l'étapeA.

A chaque étape A := {a₁<· · ·< a_k}, on balaye l'ensemble des éléments I = (i₁,· · · , i_k) de S_a1 × · · · ×S_ak. A la sous-étape I, on s'intéresse à Ω_I := Ω_i1(α_mA+1)∩

· · · ∩Ω_ik(α_mA+1). Il faut remarquer que notre choix de paquets garantit que toutes les intersections Ω_i1(α_mA)∩ · · · ∩Ω_ik(α_mA)traitées à une même étape sont disjointes deux à deux (de sorte que les modications ci-après sont indépendantes, au sein d'une même étape). Essentiellement, on va imposer la brationf_i1 à ses voisines surΩ_I. Etant donné 2≤p≤k, on construit f˜_ip surΩ_ip(α_mA+1) à partir def_i1 etf_ip comme dans 3.2.19, de façon à ce que

f˜_ip =φ_ip,i1f_i1 sur Ω_ip(α_mA+1)∩Ω_i1(α_mA+1), f˜_ip =f_ip surΩ_ip(α_mA+1)\Ω_i1(α_mA).

On bâtit également, pour 2 ≤ p < q ≤ k, φ˜_ip,iq sur f˜_iq(Ω_ip(α_mA+1)∩Ω_iq(α_mA+1)) à partir de φ_ip,i1φ_i1,iq etφ_ip,iq, comme dans 3.2.20, de sorte que

φ˜_ip,iq =φ_ip,i1φ_i1,iq surf˜_iq(Ω_ip(α_mA+1)∩Ω_iq(α_mA+1)∩Ω_i1(α_mA)), φ˜_ip,iq =φ_ip,iq surf˜_iq(Ω_ip(α_mA+1)∩Ω_iq(α_mA+1)\Ω_i1(α_mA)).

Après ceci, on peut ajouter que là où cela a un sens, on a pour {p, q} ⊂[2, k]

φ˜_iq,ipf˜_ip=φ_iq,i1φ_i1,ipφ_ip,i1f_i1 =φ_iq,i1f_i1 = ˜f_iq.

On oublie maintenant les tildes. On vient de garantir que surΩ_I, pour tous les indices i, j concernés, on af_i =φ_i,jf_j.

On eectue ces opérations pour tous les I possibles (ce qui est fait à chaque I est indépendant), puis on passe à l'étape suivante dans l'ordre décrit ci-dessus.

Au moment où on passe d'une étape du type {a₁ <· · · } à une étape du type {b₁ <· · · }, aveca₁6=b₁, on peut remarquer que les brationsf_i et les diéomorphismes φ_i,j sont dénitivement xés sur les ouverts dont le numéro est dans le paquetS_a1 : en eet, le procédé de barycentre des lemmes 3.2.19 et 3.2.20 ne change pas ce qui est déjà bien. Ainsi, sur ces zones, on s'est assuré dénitivement des égalités f_i =φ_i,jf_j.

De même au moment où on passe d'une étape du type{a₁ <· · ·< a_k}à une étape du type{a₁ <· · ·< b_k−1}, les brationsf_i et les diéomorphismesφ_i,j sont dénitivement xés sur les parties du type Ω_I, où I est un k-uplet commençant par un élément du paquet S_a1. Ainsi, sur ces intersections d'ordrek, on s'est assuré des égalités f_i=φ_i,jf_j et le travail sur les intersections d'ordre k−1ne perturbera pas ce qui a déjà été fait.

Après cette campagne d'ajustements, on a des brations locales f_i sur les ouverts Ω_i := Ω_i(κ/2)ainsi que des diéomorphismesφ_i,j tels que φ_i,j◦f_j =f_i surΩ_i∩Ω_j. On

dispose des mêmes estimées qu'initialement (on a eectué un nombre ni d'opérations préservant les estimées, à constante près).

Dénissons une relation d'équivalence par : x et y sont en relation s'il existe i tel que x et y appartiennent à Ω_i et f_i(x) = f_i(y). On appelle X l'espace topologique quotient et π la projection associés. Les applications f_i passent au quotient en des homéomorphismes (de leur domaine sur leur image) fˇ_i qui donnent à X une structure de (n−1)-variété ouverte : pour chaque couplei, j tel que cela a un sens,fˇ_ifˇ_j⁻¹ =φ_i,j est un diéomorphisme entre ouverts deRⁿ⁻¹. Par construction,πest alors une bration lisse.¥

3.2.8 Géométrie de la bration en cercles.

Dans ce paragraphe, on se place sur une variété riemannienne complète connexe (Mⁿ, g),n≥4, avec

|Rm|=O(r⁻³) et |∇Rm|=O(r⁻⁴),

∀i≥2,¯

¯∇ⁱRm¯

¯=O(r⁻²⁻ⁱ) et

∀t≥1, Atⁿ⁻¹ ≤volB(x, t)≤ω(t)tⁿ avecA >0et lim

t−→∞ω(t) = 0. On suppose aussi qu'il existe une constantec >1telle que si γ est un lacet géodésique basé en x et de longueurL≤c⁻¹r(x), alors l'holonomieH du lacet vérie

|H−id| ≤ cL r(x).

Nous avons construit plus haut une bration en cercles π : M\K −→ X. On peut moyenner la métrique g le long des bres de cette bration. En eet, étant donné un point x de M\K, on peut choisir un champ de vecteurs unitaires V, déni sur un voisinage saturé de x et tangent aux bres deπ (on a deux possibilités diérant d'un signe). Un tel champ de vecteurs est dit vertical. Soit φ_t le ot de V. Notons l_x la longueur de la bre π⁻¹(π(x)). On dénit un produit scalaire sur T_xM par

h_x := 1 l_x

Z _lx

0

φ^∗_tgdt.

Cette dénition est indépendante du choix deV. On obtient ainsi une métrique rieman-niennehsurM\K et les otsφ_t(comme ci-dessus) sont des isométries pourh. On veut estimer la proximité deh à get ceci passe par quelques estimations.

On va commencer par montrer qu'un champ vertical unitaireV est presque parallèle et presque de Killing.

Lemme 3.2.22 La dérivée covariante deV s'estime par

|∇V| ≤C₁r⁻².

et pour tout k≥2, il existe une constanteC_k telle que :

Soit f : Ω−→Rⁿ⁻¹ l'une des brations locales dénies au voisinage du point d'étude.

Par construction, on adf(V) = 0, d'où en dérivant :

∇²f(V, .) =−df(∇V). (3.31)

Comme V est de norme constante, on a

(∇V, V) = 0 (3.32)

d'où, à l'aide de (3.2.16) : |∇V| ≤C¯

¯∇²f¯

¯≤Cr⁻². On procède ensuite par récurrence en supposant le résultat vrai jusqu'à l'ordrek−1. En dérivantk−1fois (3.31), on trouve une formule du type

ce qui permet d'estimer la composante orthogonale aux bres de∇^kV par

¯¯

Par hypothèse de récurrence et (3.2.16), il vient : ¯

¯∇^kV^⊥¯

¯ ≤C_k(r^−k+r^−k) ≤C_kr^−k. D'autre part, en dérivant (3.32), on voit que

¯¯

d'où par hypothèse de récurrence : ¯

¯(∇^kV, V)¯ sik est un entier naturel,¯

¯∇^kL_Vg¯

¯ s'estime par ¯

¯∇^k+1V¯

¯.¥

Siφ^tdésigne le ot deV, on s'intéresse à la famille de métriques dénie parg_t:=φ^t∗g, de connexion de Levi-Civita∇^tet de courbure Rm^t. D'abord, une jolie formule.

Lemme 3.2.24 SiX et Y sont des champs de vecteurs, on a d

dt∇^t_XY = Rm^t(X, V)Y − ∇^t,2_X,YV.

Preuve.

La connexion∇^t est obtenue en transportant la connexion∇par l'isométrie φ^t:

∇^t_XY =φ^t∗∇_φ^t_∗Xφ^t_∗Y. (3.33) Ainsi,

d

dtφ^t_∗∇^t_XY = d

dt∇_φ^t_∗Xφ^t_∗Y, d'où

φ^t_∗[V,∇^t_XY] +φ^t_∗ d

dt∇^t_XY =∇_[V,φ^t_∗X]φ^t_∗Y +∇_φ^t_∗X[V, φ^t_∗Y], ce qui, avec (3.33) et l'invariance deV sous le ot, se simplie en

d

dt∇^t_XY =∇^t_[V,X]Y +∇^t_X[V, Y]−[V,∇^t_XY].

On développe et on regarde : d

dt∇^t_XY =∇^t_[V,X]Y+∇^t_X∇^t_VY−∇^t_X∇^t_YV−∇^t_V∇^t_XY+∇^t_∇t

XYV = Rm^t(X, V)Y−∇^t,2_X,YV.

¥

Ceci donne un contrôle sur les dérivées covariantes des métriquesg_t. Lemme 3.2.25 Etant donné t₀>0, on a pour t≤t₀ :

|g_t−g| ≤C₀r⁻²,

∀k∈N^∗, ¯

¯∇^kg_t¯

¯ ≤C_kr^−1−k,

où les constantes C_i dépendent de t₀, des bornes sur les dérivées de la courbure et des

où les constantes C_i dépendent de t₀, des bornes sur les dérivées de la courbure et des

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