Pour avoir une image en tête, il est intéressant de considérer les variétés plates obtenues en quotientant l'espace euclidien de dimension trois par un vissage ρ de pas 1 et d'angle θ. La variété diérentielle obtenue est toujoursR2×S1, mais la structure riemannienne dière : on obtient des brés plats en 2-plans au-dessus d'un cercle, dont l'holonomie est la rotation d'angle θ. On va voir que ces exemples très simples recèlent déjà des subtilités. Ils nous permettront également de bien comprendre nos hypothèses volumiques.
Quand le bré est trivial, i.e.θ= 0, la variété riemannienne n'est autre queR2×S1. Le volume des boules croît uniformément comme dansR2. Le rayon d'injectivité en chaque point est 1/2, en raison des relevés du cercle de base (image de l'axe du vissage) qui fournissent même dans ce cas des géodésiques fermées ; les itérés de ces lacets fournissent des géodésiques fermées dont les longueurs sont tous les entiers naturels, et ce en chaque point.
Considérons un angle θs'écrivant comme produit de 2π et d'un rationnel p/q, avec p premier à q. En passant à un revêtement ni, d'ordre q, on peut se ramener au cas précédent. Le volume des boules croît donc uniformément comme dans R2. Quid du rayon d'injectivité ? Par symétrie cylindrique, il ne dépend que de la distance à l'axe : on note inj(t) le rayon d'injectivité à distance t de l'axe. Cette fonction est continue, majorée et minorée uniformément, mais pas constante (sauf dans le cas trivial). L'image de l'axe est toujours une géodésique fermée, de sorte qu'on a inj(0) = 1/2. Dès qu'on s'éloigne de l'axe, il faut comparer les longueurs lk(t) de lacets géodésiques obtenus au quotient à partir des segments reliant un point à distancetde l'axe à son image par ρk. On peut donner une formule :
lk(t) = q
k2+ 4t2sin2(kθ/2). (1.1) Par dénition, on a2 inj(t) = infklk(t). En fait, au voisinage de0,2 injcoïncide avecl1; puis2 injcoïncide éventuellement aveclkpour d'autres valeurs dek. Ak < qxé, comme sinkθ2 est non nul, la fonction t 7→ lk(t) croît vers +∞, (linéairement). La fonction lq
est, elle, constante à q, et elle minore les fonctions lk, pour k plus grand que q. Donc hors d'un compact, le rayon d'injectivité est constant àq/2, et il correspond à la moitié de la longueur d'un unique lacet géodésique, qui est en fait une géodésique fermée. En outre, en dehors des multiples de ce lacet, les autres lacets sont beaucoup plus longs (de l'ordre det à distancet).
x x
t θ= 2π3
Fig. 1.1 L'angle de l'holonomie est θ = 2π3 . A gauche, un lacet géodésique en x de longueur l3(t) = 3. A droite, un lacet géodésique enx de longueur l1(t) =√
1 + 9t2. Quandθ/2π est irrationnel, la situation est bien diérente. En particulier, le rayon d'injectivité n'est jamais borné.
Proposition 1.0.9 La rayon d'injectivité est borné si et seulement si θ/2π est ra-tionnel.
Preuve.
Le cas rationnel a déjà été étudié. Supposons maintenant que la fonction t 7→ inj(t) est bornée, par un nombre C. Pour chaque t, on peut trouver un entier k(t) tel que 2 inj(t) = lk(t). Par (1.1), on voit que la fonction t 7→ k(t) est bornée par C. Comme cette fonction prend des valeurs entières, on peut trouver une suite (tn) tendant vers l'inni et un entier ktels que la suite (k(tn))est constante à k. Alors (1.1) donne
∀n∈N, lk(tn)2=k2+ 4t2nsin2(kθ/2)≤C2.
Comme(tn)tend vers l'inni, ceci n'est possible que sisin2 kθ2 est nul : il existe un entier m tel que kθ/2 =mπ, i.e.θ/2π=m/k.¥
Si l'on regarde les boules centrées en un point donné, on voit que leur volume est majoré par leur rayon au carré, à une constante près :
∀x, ∃B, ∀t≥1,volB(x, t)≤Bt2.
Dans le cas rationnel , on dispose même d'une estimée uniforme en le centre de la boule :
∃B,∀x, ∀t≥1,volB(x, t)≤Bt2. (1.2)
Dans le cas irrationnel , on peut voir que la majoration strictement sous-euclidienne du volume des boules n'est jamais uniforme. Pourquoi ? La proposition ci-dessus fournit une suite de points xn (tendant vers l'inni) tels que rn := inj(xn) tend vers l'inni.
Donnons nous des relevésxˆn desxn dansR3. La boule B(ˆxn, rn) recouvre B(xn, rn) et son volume est 43πrn3. Si l'on suppose que deux points v et w de B(ˆxn, rn) recouvrent un même pointy de B(xn, rn), il y a par dénition un entierk tel queρk(v) =w; mais commeρ est une isométrie de R3, on obtient
¯¯
¯ρk(ˆxn)−xˆn
¯¯
¯≤
¯¯
¯ρk(ˆxn)−ρk(v)
¯¯
¯+
¯¯
¯ρk(v)−xˆn
¯¯
¯=|ˆxn−v|+|w−xˆn|<2rn= 2 inj(xn), ce qui contredit la dénition de inj(xn) (le segment reliant ρk(ˆxn) à xˆn descendrait en un lacet géodésique en xn de longueur trop courte). Par suite, B(ˆxn, rn) et B(xn, rn) sont isométriques, d'oùvolB(xn, rn) = 43πr3n, ce qui empêche une estimée du type (1.2).
L'estimation du rayon d'injectivité est en fait un problème d'approximation diophan-tienne.
Proposition 1.0.10 On suppose θ/2π algébrique et irrationnel. Etant donné un nombre α dans ]0,1/2[, on peut trouver des nombres strictement positifs T, C et A ne dépendant que de θ etα et tels que pour tout t > T, si x est à distance t de l'axe, alors
inj(t)≥Ctα et volB(x, Ctα) =At3α. Preuve.
Le théorème de Roth fournit une constante strictement positive C, dépendant de θ et α, telle que pour tout couple d'entiers naturels(k, m), avec knon nul, on a :
¯¯
¯¯ θ 2π −m
k
¯¯
¯¯≥ C k1/α.
On peut de plus supposer C ≤1/2, quitte à le réduire. On en déduit que pour toutk de N∗, on a
Ck1−1/α≤ 1
2π|kθ−2πm| ≤ 1 4
¯¯
¯eikθ−1
¯¯
¯,
donc sit est un réel strictement positif et sikest un entier de [1, tα], on récupère :
¯¯
¯teikθ−t
¯¯
¯≥4Ctα. (1.3)
On considère la boule B := B(x, Ctα) centrée en un point x à distance t de l'image de l'axe. Soit xˆ un relevé de x dans R3 et soit Bˆ la boule de R3 centrée en xˆ et de rayon Ctα. Il sut de voir qu'elle recouvre une seule fois B pour montrer les deux estimées. Il est clair que chaque point est recouvert ; c'est l'injectivité qui doit être montrée. Supposons donc quevetwsont deux éléments distincts deBˆ relevant un même élément y de B : w = ρkv pour un certain entier k, qu'on peut supposer strictement positif. Notons s la distance à l'axe commune de v et w. On dispose de la formule :
|w−v|2 = k2 +¯
¯eikθ−1¯
¯2s2. Puisque w et v appartiennent à la boule Bˆ, on a k ≤
|w−v| ≤2Ctα≤tα.Appliquons (1.3) pour obtenir :
|w−v| ≥
¯¯
¯eikθ−1
¯¯
¯s≥4Ctα−1s.
Et comme on a|w−v| ≤2Ctα, il vient : s≤ t
2. (1.4)
D'autre part, comme v appartient à Bˆ, on dispose de l'inégalité |v−x| ≤ˆ Ctα, qui implique par l'inégalité triangulaire :
s≥t−Ctα. (1.5)
En combinant (1.4) et (1.5), on trouve
t≤(2C)1−α1 .
Si l'on suppose t≥T := 2(2C)1−α1 , on a bien montré queBˆ recouvre une seule fois B, d'où le résultat. ¥
L'estimée sur le rayon d'injectivité est (quasi) optimale :
Proposition 1.0.11 Quel que soit le réel θ, le rayon d'injectivité est majoré par
∀t≥1,inj(t)≤
√1 + 4π2 2
√t.
Preuve.
Soit t≥1. Le principe des tiroirs donne un entier k de[1,√
t]tel que 2|sinkθ/2|=
¯¯
¯eikθ−1
¯¯
¯≤ 2π
√t. On en déduit
2 inj(t)≤lk(t) = r
k2+ 4t2sin2 kθ 2 ≤p
1 + 4π2√ t.
¥
Quandθ/2πs'approche bien par des rationnels, on peut retrouver un comportement plus proche du cas rationnel , avec un rayon d'injectivité qui n'explose pas trop vite.
Donnons un exemple.
Proposition 1.0.12 Si θ/2π est le nombre de Liouville X∞
n=1
10−n!, on a lim inf
t−→∞ t−ainj(t) = 0 pour tout réel a >0.
Preuve.
Fixons nous un entier natureld≥1. On peut écrire les sommes partielles XN
n=1
10−n!sous la forme mN/kN, avec kN = 10N! etmN entier. Alors
kNd
¯¯
¯¯ θ
2π −mN kN
¯¯
¯¯= X∞
n=N+1
10N!d−n!. En notant que pourn≥N + 1,
N!d−n! =N!d−n!/2−n!/2≤N!(d−(N + 1)/2)−n!/2 et en supposant N ≥2d−1, on trouve
kNd
¯¯
¯¯ θ
2π −mN kN
¯¯
¯¯≤ X∞
n=N+1
√10−n!≤ X∞
n=1
√10−n!.
Ceci conduit à une estimée du type
¯¯
¯eikNθ−1
¯¯
¯≤ |kNθ−2πmN| ≤ C kNd−1,
et ce dès queN est plus grand que2d−1. En posanttN =kNd = 10dN!, on voit que lkN(tN)2 ≤kN2 +C t2N
k2d−2N ≤CkN2, d'où
inj(tN)≤CkN =Ct1/dN . Donc si on se donnea >1/d, on obtient
t−aN inj(tN)≤Ct−aN t1/dN , d'où
∀a >1/d,lim inf
t−→∞ t−ainj(t) = 0.
Et ceci est vrai pourd≥1.¥