La métrique Taub-NUT

Un autre exemple non trivial de variété asymptotiquement plate mais non asymp-totiquement euclidienne est fourni par la métrique Taub-NUT. C'est une métrique rie-mannienne sur R⁴, introduite par le physicien Stephen Hawking dans [Haw]. Pour la décrire, nous suivrons largement [Leb].

La bration de Hopf (nombre de Chern : −1) permet de voir R⁴\ {0} = R^∗₊×S³ comme l'espace total d'un bré principal en cercles π sur R^∗₊×S² = R³\ {0}. Notons g_R³ la métrique standard sur R³ et r la fonction distance à 0 dans R³. On introduit également la fonction harmoniqueV dénie sur R³\ {0} par :

V = 1 + 1 2r.

La forme volume usuelle de R³ s'écrit en polaires r²dr∧Ω (Ω est la forme volume des sphères), de sorte que la dénition

dV ∧ ∗dV =|dV|²r²dr∧Ω

donne ∗dV = −¹₂Ω. D'autre part, la classe de Chern c₁ du bré π est (par dénition) la classe de cohomologie de −_4π^Ω. L'approche de Chern-Weil dit qu'une 2-forme α à valeurs dansu₁=iRid_Cest la courbure d'une connexion surπ si et seulement si _2πⁱ Trα représente la classe de cohomologie c₁. La relation

i

2πTr(∗dV ⊗iid) =−Ω 4π

permet donc de bâtir une connexion de courbure ∗dV ⊗iid_C sur le bré principal π. Soit ω⊗iid_C la1-forme de cette connexion.

On notera avec un chapeau les relevés parπd'objets dénis sur la base : par exemple, Vˆ =V ◦π.

SurR⁴\ {0}, la métrique Taub-NUT est décrite par la formule g= ˆVgˆ_R³+ ˆV⁻¹ω².

En posantρ=√

2r, on voit que le comportement de la métrique près de0 est g∼=dρ²+ρ²ˆg_S2

4 +ρ²ω² =dρ²+ρ²ˆg_S3.

On peut donc la compléter par un point, envoyé sur l'origine de R³ parπ, de façon à obtenir une métrique sur R⁴ tout entier. Le point supplémentaire peut être vu comme l'unique point xe de l'action deS¹.

Par construction, la métrique estS¹-invariante, la longueur des bres tend vers une constante à l'inni tandis que la métrique induite sur la base tend vers la métrique euclidienne surR³. Il existe donc des constantes B ≥A >0 telles que

∀R≥1, AR³≤volB(x, R)≤BR³.

En outre, la métrique Taub-NUT est hyperkählerienne, donc Ricci plate. Les struc-tures kähleriennes peuvent être décrites de la façon suivante. Notons (x, y, z) les coor-données surR³ et prenons une jauge locale :ω =dt+θ pour une coordonnée verticale t et une forme θ telle quedθ =∗dV. On dénit une structure presque complexeJ_x en imposant sur le cotangent :

J_x

³pV dˆˆ x

´

= 1

pVˆω et J_x

³pV dˆˆ y

´

=√ V dˆz.

Un petit calcul montre alors que l'idéal engendré par V dˆˆ x+i(dt+θ) et dˆy+idˆz est préservé par la diérentielle de De Rham : J_x est intégrable. On peut vérier de même que la forme de Kähler

dˆx∧(dt+θ) + ˆV dˆy∧dˆz

est fermée, de sorte que (g, J_x) est une structure kählerienne (on n'a déni le champ d'endomorphismes J_x qu'en dehors de 0, mais comme il est parallèle hors de 0 pour la métriquegqui elle se prolonge de façon lisse, on peut le prolonger en0, de façon unique).

En permutant circulairement les rôles de x, y et z, on obtient en fait trois structures kähleriennes (g, J_x),(g, J_y),(g, J_z)qui vérient J_xJ_y =J_z. [Leb] montre même que ces structures complexes sont biholomorphes à celle de C². La métrique Taub-NUT peut également s'obtenir par un procédé de quotient hyperkählerien ([Bes]).

Dans une trivialisation(σ₁, σ₂, σ₃)orthonormée et invariante à gauche deT^∗S³(pour la métrique standard), on peut écrire la métrique sous la forme

g=V(r)dr²+ 4r²V(r)(σ₁²+σ₂²) + 1 V(r)σ²₃ (on oublie les chapeaux). Si on noteH la solution nulle en 0 de

H⁰ = 1 pV(H)

et si on pose r=H(t), l'équation ci-dessus se reformule en g=dt²+

µ2H H⁰

¶₂

(σ²₁+σ²₂) +H⁰²σ²₃.

En utilisant les formules de [Unn], on peut calculer la courbure d'une telle métrique.

Posonsf =H⁰ eth= (2H)/H⁰, appelonsv_i le vecteur dual deσ_i. Les composantes non

nulles du tenseur de courbure, à symétrie près, sont les suivantes. Un calcul direct basé sur l'équation H⁰² = 1/V(H) fournit

(Rm(v₁, v₂)v₁, v₂) la dénition deV, les formules ci-dessus disent que la courbure décroît à l'inni enr⁻³. Notons que contrairement aux exemples précédents, cette variété est simplement connexe à l'inni.

La même technique permet de produire des exemples, dits multi-Taub-NUT ou instantons ALF de typeA_N−1, qui ont des propriétés analogues, mais avec un groupe fondamental à l'inni non trivial. Ces exemples se présentent sous la forme de l'espace total d'un bré en cerclesπau-dessus de la variétéR³\ {p₁,· · ·, p_N}, muni de la métrique

et oùωest la forme d'une connexion de courbure∗dV⊗iid_C. On peut ensuite compléter la variété parN points, s'envoyant surp₁,· · ·, p_N et vus comme points xes de l'action

de S¹. Le bré en cercles se restreint sur les grandes sphères de R³ en un bré en cercles de nombre de Chern−N. Comme ci-dessus, la métrique est hyperkählerienne et à courbure décroissant en r⁻³. La variété complexe obtenue est en fait une résolution de C²/Z_N. La géométrie à l'inni ne dière de la précédente que par une action deZ_N, qui est alors le groupe fondamental du bout.

Il existe aussi des instantons gravitationnels ALF de type D_k ([ChH]) dont la géo-métrie à l'inni est celle d'une métrique multi-Taub-NUT quotientée par une réexion de la base.

Chapitre 2

Inégalités à poids et conséquences.

Ce chapitre a pour but d'établir les inégalités fonctionnelles annoncées et d'en tirer des conséquences analytiques et géométriques. Il est organisé comme suit.

Dans la première section, nous développons une technique de discrétisation destinée à recoller des inégalités de Sobolev locales. Elle est basée sur des idées et méthodes de A. Grigor'yan et L. Salo-Coste [GSC]. Etant donné un recouvrement adéquat de la variété, en supposant une inégalité discrète sur un graphe naturellement associé au recouvrement, on sera capable de déduire une inégalité de Sobolev globale d'une inégalité locale (théorème 2.1.5).

Dans la deuxième section, nous expliquons comment appliquer cette technique abs-traite dans le cadre des variétés à courbure de Ricci positive et vériant l'inégalité de doublement inverse du volume (3) ; nous obtiendrons ainsi une inégalité de Sobolev à poids et une inégalité de Hardy. L'hypothèse (3) sert à prouver l'inégalité discrète, mais aussi à établir une propriété de connexité contrôlée à l'inni : la propriété RCA (Re-latively Connected Annuli ; voir [GSC] et plus bas). La proposition suivante est un point clé de notre preuve et elle est intéressante en elle-même. On peut la comparer avec la proposition 4.5 de [HK] (qui, dans notre contexte, nécessiterait une minoration eucli-dienne du volume, ce qui est trop cher pour nous). La notationf_Bdésignera la moyenne d'une fonctionf sur un domaine B, pour la mesure riemannienne.

Proposition 2.0.13 (RCA) Soit M une variété riemannienne complète connexe, vériant la propriété de doublement du volume

∀x∈M, ∀t >0,volB(x,2t)≤C_DvolB(x, t), l'inégalité de Poincaré L^p à l'échelle centrée au point o

∀f ∈C_c^∞(M),∀t >0, Z

B(o,t)

¯¯f −f_B(o,t)¯

¯^pdvol≤C_Pt^p Z

B(o,t)

|df|^pdvol

et l'inégalité de doublement inverse du volume centrée en o

∀t≥s >0, volB(o, t) volB(o, s) ≥C_o

µt s

¶_ν

avec 1 ≤ p < ν et C_o >0. Alors il existe κ₀ > 1 tel que pour t > 0, si x, y sont deux points de S(o, t), il y a un chemin reliant x à y et restant dans B(o, t)\B(o, κ⁻¹₀ t). De plus, on peut trouver une constante κ₀ explicite en termes de p, C_D, C_P, C_o, ν.

Ajoutons quelques mots sur cette proposition. Le théorème de Cheeger-Gromoll dit que dans notre cadre, M a un seul bout. Un résultat de [LT] (avec [And]) assure que pour t grand, l'intersection de l'unique composante connexe non bornée deM\B(o, t) avec l'anneau A(t, t+s),s >0, est connexe. Mais il ne dit rien du comportement des composantes bornées de M\B(o, t). Ce qu'on prouve est que ces composantes bornées ont une croissance au plus linéaire. En outre, on obtient une estimée explicite, ce qui est important pour nous.

Dans la troisième section, nous étudions les opérateurs de Schrödinger∆+V à l'aide de notre inégalité de Sobolev à poids. Ici, ∆ est le laplacien de Bochner sur un bré vectoriel euclidien et V est un champ d'endomorphismes symétriques. En particulier, nous prouvons que des hypothèses intégrales sur le potentiel assure la trivialité du noyau de l'opérateur (théorème 2.3.1). Nous obtenons diverses estimées utiles pour la suite, et nous expliquons comment obtenir des solutions bornées σ à des équations du type (∆ +V)σ=ψ (2.3.9). Cette section peut être vue comme une boîte à outils.

Dans la quatrième section, nous donnons deux premières applications géométriques.

D'abord, nous généralisons le travail de G. Carron [Car] sur la cohomologieL².

Théorème 2.0.14 (Cohomologie L²) Soit Mⁿ, n≥3, une variété riemannienne complète connexe à courbure dansLⁿ² (M, ρ_o(r_o)dvol) et satisfaisant l'inégalité de Sobo-lev à poids

∀f ∈C_c^∞(M), µZ

M

|f|ⁿ⁻²²ⁿ ρ_o(r_o)⁻ⁿ⁻²² dvol

¶₁₋²

n ≤S Z

M

|df|²dvol

où r_o est la distance à un point donné o et ρ_o(t) = _volB(o,t)^tn . Alors la cohomologie L² de M est de dimension nie. De plus, pour tout entier naturel k, il y a une constante positive ²(n, k) telle que si

S µZ

M

|Rm|ⁿ² ρ_o(r_o)dvol

¶²

n < ²(n, k),

alors H^k_L2(M) ={0}.

Nous fournissons également des bornes explicites sur la dimension des espaces de cohomologieL². Par rapport à [Car] (qui traitait le cas sans poids), l'amélioration réside de nouveau dans le fait que nous autorisons des variétés à courbure de Ricci positive mais à croissance du volume non maximale. Nous proposons une autre application : l'uniformisation de la courbure scalaire. Nos techniques permettent de construire des métriques à courbure scalaire nulle dans certains cadres.

Enn, nous étudions les variétés Ricci plates et nous prouvons les résultats annoncés dans l'introduction (0.0.3, 0.0.4).

2.1 Discrétisation et inégalités de Sobolev.