Décroissance de la courbure

Rappelons queW décroît enr⁻² et que la croissance du volume est au plus euclidienne : notre choix de k assure que les intégrales du membre de droite sont nies. En faisant tendre R vers l'inni, on arrive àW = 0.¥

Corollaire 2.5.5 Pour tout entier n ≥ 4 et tous réels ν > 1 et C > 0, il existe

²(n, C, ν)>0 tel que toute variété riemannienne complète connexe Ricci plate Mⁿ qui vérie pour un certain point o

∀t≥s >0, volB(o, t) volB(o, s) ≥C

µt s

¶_ν . ainsi que

sup

M

(|W|r_o²)< ²(n, C, ν).

est en fait plate.

2.5.2 Décroissance de la courbure.

Dans le paragraphe précédent, on a vu que quandSC(M)est petit, la courbure doit être nulle. En utilisant les lemmes de 2.3.2, on peut montrer que siSC(M)est seulement ni, alors la courbure décroît à l'inni. Nous allons d'abord prouver une décroissance quadratique, et ensuite nous l'améliorerons pour obtenir une décroissance plus forte, qui permettra d'obtenir des conséquences topologiques. La clé de l'histoire est l'inégalité de Kato ranée.

Lemme 2.5.6 Considérons une variété riemannienne complète connexe Ricci plate Mⁿ, avec n≥ 4. Supposons qu'il existe un point o de M et des réels ν > 2 et C_o >0 tels que

∀t≥s >0, volB(o, t) volB(o, s) ≥C_o

µt s

¶_ν

et supposons que le tenseur de courbure appartienne à Lⁿ²(ρ_o(r_o)dvol). Alors on a l'es-timée |W|=o(r_o⁻²).

Remarque 2.5.1.Si on suppose que W est comparable à une puissance de la fonction distancer^−σ_o , l'hypothèseR

M|W|ⁿ² ρ_o(r_o)dvol <+∞ est équivalente àσ >2 : le lemme transforme donc l'estimée intégrale en l'estimée ponctuelle qu'on peut a priori espérer.

Le prochain théorème va établir une amélioration automatique de cette estimée : c'est une nouvelle manifestation de rigidité.

Preuve.

A(R/2,R)|W|ⁿ² dvol est uniformément majoré, il vient l'estimée suivante : ÃZ Ceci autorise l'usage du lemme 2.3.4 avec m=n/2 :

sup

Et comme la dernière intégrale tend vers zéro quandR tend vers l'inni, le résultat suit.

¥

Théorème 2.5.7 (Décroissance de la courbure (1)) Considérons une variété riemannienne complète connexe Ricci plate Mⁿ, avec n≥4. Supposons qu'il existe un point o deM et des réels ν >2 etC_o>0 tels que

Puisqueb₁ < b₀,w=O³£

r²/V(r)¤_b1´

, donc pour toutR >0, Z

A(R,2R)

|w|^mdµ_ρ ≤ C£

R²/V(R)¤_mb1

ρ(R)⁻ⁿ⁻²² V(R)

= C£

R²/V(R)¤_mb1− ⁿ

n−2

≤ CR^−(ν−2)(mb1−_n−2ⁿ ). Ceci impliqueR

M|w|^mdµ_ρ<+∞. Comme on a presque partout(∆−γc(n)|W|)w≤0, on aimerait appliquer le lemme 2.3.3 à la fonction w, qui n'est malheureusement pas localement Lipschitz. Pour contourner cette diculté, on considère u_² :=

q

|W|²+²,

² >0. Un calcul direct donne presque partout : u^γ_²∆u^γ_² = γu^2γ−2_²

³

|W|∆|W| −²u⁻²_² |d|W||²

´

+γ(1−γ)u^2γ−4_² |W|²|d|W||²

≤ γu^2γ−2_²

³

|W|∆|W|+ (1−γ)|d|W||²

´ .

En utilisant l'inégalité de Kato ranée comme dans la preuve de (2.20), on obtient (partout) :

u^γ_²∆u^γ_² ≤γu^2γ_² (W,∆W).

Comme dans la preuve de (2.3.1), en faisant tendre ² vers zéro, on parvient à établir la première inégalité dans la preuve du lemme 2.3.3 (m > _n−2ⁿ ). En n de compte, on

arrive à : Z

M\B(R)

|w|^mdµ_ρ=O(R^−a),

pour un nombrea >0qui est indépendant du choix demdans un voisinage de _b0(n−2)ⁿ . Si maintenant on applique le lemme 2.3.4 pour ce m (de nouveau, il faut adapter la preuve pour contourner le fait quewn'est pas localement Lipschitz), on trouve pour R grand :

sup

S(R)

w ≤ C

³

ρ(R)ⁿ⁻²² R⁻²

´ⁿ

2mR^−a/m

= C£

R²/V(R)¤ ⁿ

m(n−2)R^−a/m

≤ C£

R²/V(R)¤ ⁿ

m(n−2)+_nm^a

,

où on a utilisé la croissance sous-euclidienne du volume. Quand m tend vers _b0(n−2)ⁿ , l'exposant tend vers b_o+^bo(n−2)a_n2 : si on choisitm assez près de _b0(n−2)ⁿ , on obtient une contradiction à la dénition de b_o. Donc b_o vaut au moins 1 et, avec la minoration du volume, on a prouvé le résultat. ¥

Corollaire 2.5.8 (Topologie finie) Soit Mⁿ, n≥4, une variété riemannienne complète connexe Ricci plate, vériant pour un pointo et des réels ν >4ⁿ⁻²_n−1, C_o>0 :

∀t≥s >0, volB(o, t) volB(o, s) ≥C_o

µt s

¶_ν .

Si de plus le tenseur de courbure appartient à Lⁿ²(M, ρ_o(r_o)dvol), alors M est de type topologique ni, i.e. homéomorphe à l'intérieur d'une variété compacte à bord.

Preuve.

Le théorème 2.5.7 donne une décroissance surquadratique de la courbure de sorte que [A1], [A2] s'appliquent.¥

On peut se demander si le taux de décroissance limite dans 2.5.7 est en fait atteint.

En fait, c'est vrai.

Théorème 2.5.9 (Décroissance de la courbure (2)) Considérons une variété riemannienne complète connexe Ricci plate Mⁿ, avec n≥4. Supposons qu'il existe un point o deM et des réels ν >4ⁿ⁻²_n−1 et C_o >0 tels que

∀t≥s >0, volB(o, t) volB(o, s) ≥C_o

µt s

¶_ν

et supposons que le tenseur de courbure appartienne à Lⁿ²(ρ_o(r_o)dvol). Alors on a l'es-timée

|W|=O(r⁻

(ν−2)(n−1)

o n−3 ).

Preuve.

Dans [Gur], M. Gursky étudie l'opérateur géométrique suivant : L_g := ∆_g+ n−2

4(n−1)Scal_g−γc(n)|W|_g.

Cet opérateur est conformément covariant : siφest une fonction lisse et positive, on a Lφⁿ⁻²⁴ g =φ^−n+2n−2L_g(φ.). (2.21) Nous voulons utiliser cette propriété pour trouver dans la classe conforme de notre métrique Ricci plate g une nouvelle métrique ˜g pour laquelle on aurait au dehors d'un compact :

L_˜g = ∆_˜g,

i.e. n−2

4(n−1)Scal_g˜−γc(n)|W|_˜g= 0.

Cherchons˜gsous la forme˜g= (1 +u)ⁿ⁻²⁴ g, oùuest une fonction lisse à déterminer. En appliquant (2.21) à la fonction constante à1, on trouve

L_˜g(1) =L

(1+u)ⁿ⁻²⁴ g(1) = (1 +u)^−n+2n−2L_g(1 +u),

de sorte qu'avec Scal_g= 0, il vient n−2

4(n−1)Scal_g˜−γc(n)|W|_g˜= (1 +u)^−n−2n+2(∆_gu−γc(n)|W|_g)(1 +u).

Nous devons donc résoudre

∆_gu−γc(n)|W|_gu=γc(n)|W|_g. (2.22) En fait, on va résoudre cette équation sur M\B_g(o, R), pour un R assez grand. Nous voulons appliquer le théorème d'inversion 2.3.9 à∆_g−γc(n)|W|_g. L'hypothèseν >4ⁿ⁻²_n−1 assure ^ν−2_γ >2 : le théorème 2.5.7 donne |W|=O(r^−b) pour unb >2. En particulier, avec la borne euclidienne sur le volume (Bishop), on obtient pourδ >0petit :

Z

M

|W|^n/2±δρ(r)^{n/2±δ−1n/2−1} dvol <∞.

En choisissantR assez grand, on peut garantir

S_o(M) ÃZ

M\Bg(o,R)

|W|^n/2±δρ(r)^{n/2±δ−1n/2−1} dvol

! ¹

n/2±δ

< η(n/2, n/2−δ, n/2 +δ).

Ainsi, 2.3.9 fournit une solution bornée u de (2.22) sur M\B_g(o, R); et en prenant R encore plus grand si nécessaire, on peut même supposer kuk_L∞ < 1. Quitte à étendre u à M de façon convenable, on obtient une métrique ˜g qui est conformément quasi-isométrique à g et dont l'opérateur de Gurski se réduit au laplacien de Beltrami hors d'un compact. Par régularité elliptique, u est C² (les coecients de l'équation sont Lipschitz) et cela nous sura.

Ensuite, on observe que là où|W_g|_g est strictement positif,|W_g|^γ_g est lisse et L_g|W_g|^γ_g = ∆_g|W_g|^γ_g −γc(n)|W|_g|W_g|^γ_g ≤0,

si bien qu'avec (2.21), on a

L_g˜((1 +u)⁻¹|W_g|^γ_g)≤0, ce qui signie

∆_˜g((1 +u)⁻¹|W_g|^γ_g)≤0 au dehors d'un compact.

Or, puisque (M,g)˜ est quasi-isométrique à (M, g), (M,˜g) vérie la condition de doublement du volume ainsi que l'inégalité de Poincaré à l'échelle. Or ces propriétés (ensemble) sont équivalentes à l'estimée suivante sur le noyau de la chaleurp_.(., .): pour x,y dansM, et pour t >0,

c V(x,√

t)exp µ

−Cd(x, y)² t

¶

≤p_t(x, y)≤ C V(x,√

t)exp µ

−cd(x, y)² t

¶

(cf. [SC], [Grig]). Comme il y a une constante A˜_o telle que pour toutt ≥1, V_g˜(o, t) ≥ A˜_ot^ν, avec ν >2, ceci entraîne l'existence d'une fonction de Green strictement positive G(., .): c'est simplementR_∞

0 p_t(., .)dt([LY]). A l'aide de cette formule et de la majoration du noyau de la chaleur, on obtientG(o, x) =O(r_o(x)^2−ν)quandr_o(x)tend vers l'inni.

Le principe du maximum assure que pour tout point xde M\B_g(o, R), avec R grand : (1 +u)⁻¹|W_g|^γ_g(x)≤ max_S(o,R)(1 +u)⁻¹|W_g|^γ_g

min_S(o,R)G(o, .) G(o, x).

On en tire sup

S(o,R)

|W|=O(R^2−νγ ).¥

Remarque 2.5.2.Quand ν =n = 4, on obtient la même décroissance que dans [BKN].

Et la métrique d'Eguchi-Hanson montre qu'elle est optimale.

Remarque 2.5.3.Notre estimée est optimale pour la métrique Taub-NUT et les métriques de Schwarzschild (voir le chapitre d'exemples, au début de ce mémoire).

Dans le document 574-..,4--6 (Page 80-85)