Prédiction de l’effet des contraintes mécaniques multi-axiales sur les propriétés magnéto-

Un des avantages majeurs du modèle multi-échelle simplifié tient à sa capacité à prédire l’influence d’un état de contraintes mécaniques multi-axiales sur les propriétés magnéto-élastiques anhystérétiques d’un milieu ferromagnétique. Pour illustrer cette capacité, on considère ici la situation où l’excitation magnétique extérieure est dirigée selon l’axe z et où la sollicitation mécanique est multi-axiale :

𝐇_𝟎 = H₀𝐞_𝐳 et 𝛔_𝟎= (

σ_xx 0 0

0 σ_yy 0

0 0 σ_zz

). (2.36)

Une telle configuration de sollicitations magnéto-mécaniques n’est bien entendu pas traitable par le modèle SJA décrit dans la section 2.2. Les variations prédites par le MME simplifié de la susceptibilité anhystérétique initiale χ₀ et de la déformation de magnétostriction à saturation ε_satms _{en fonction de ces}

sollicitations magnéto-mécaniques multi-axiales sont représentées sur les figures Figure 2.42 et Figure 2.43, pour des échantillons d’acier inoxydable AISI 410 et de nickel recuit, avec les paramètres d’entrée listés dans la Table 2.5. Ces figures mettent en évidence la grande variabilité des propriétés magnétiques et magnétostrictives d’un milieu ferromagnétique en fonction des différentes composantes tensorielles des contraintes mécaniques du milieu, et prouvent l’importance de prendre en compte la multi-axialité des sollicitations mécaniques dans le modèle de comportement magnéto-élastique.

Figure 2.42 : Influence des contraintes bi-axiales (𝜎𝑥𝑥, 𝜎𝑦𝑦, 0) (gauche) et (𝜎𝑥𝑥, 0, 𝜎𝑧𝑧) (droite) sur la susceptibilité

anhystérétique initiale (haut) et la magnétostriction à saturation (bas) d’un échantillon d’acier inoxydable (AISI 410).

Figure 2.43 : Influence des contraintes bi-axiales (𝜎𝑥𝑥, 𝜎𝑦𝑦, 0) (gauche) et (𝜎𝑥𝑥, 0, 𝜎𝑧𝑧) (droite) sur la susceptibilité

Pour les deux matériaux, les variations de χ₀ et ε_satms _{sont symétriques par rapport aux contraintes lorsque}

l’excitation magnétique est contenue dans le plan perpendiculaire aux contraintes mécaniques (cas σ_zz= 0 avec 𝐇_𝟎= H₀𝐞_𝐳, représenté sur les figures de gauche). Dans le cas où l’excitation magnétique est contenue dans le plan des contraintes (cas σ_yy= 0, illustré sur les figures de droite), l’anisotropie magnéto-élastique induite par cet état de contraintes mécaniques est flagrante (discutée dans la section 1.4 du Chapitre 1).

Dans les exemples de cette section, les milieux ferromagnétiques testés sont supposés isotropes. Cette hypothèse peut être simplement levée par l’ajout d’une anisotropie magnéto-cristalline dans le MME simplifié, dès lors que les constantes d’anisotropie K_i sont connues. Cette facilité de prise en compte de l’anisotropie du milieu étudié tranche avec l’extension anisotrope du modèle SJA qui nécessite de nouveaux essais expérimentaux pour re-calibrer les paramètres d’entrée du modèle dans ce contexte anisotrope. Cette remarque permet d’insister une nouvelle sur l’aspect pratique prédictif très avantageux du modèle MME simplifié.

Conclusion du chapitre

Trois stratégies différentes de la littérature permettant de modéliser les lois macroscopiques de comportements magnéto-élastiques anhystérétiques couplés d’un milieu ferromagnétique ont été étudiées dans ce chapitre.

Malgré la précision des prédictions obtenues, l’approche micromagnétique ne répond pas aux problématiques de cette étude, impliquant des temps de calculs importants à l’échelle macroscopique d’intérêt et nécessitant une connaissance précise de la microstructure du milieu étudié. Sa description offre cependant un éclairage précieux sur les différents termes d’énergie qui permettent de représenter les interactions magnéto-élastiques à l’échelle microscopique d’un milieu ferromagnétique, ce qui permet d’introduire naturellement les principes de construction théorique des approches phénoménologiques et multi-échelles de la littérature. Le modèle phénoménologique de Sablik-Jiles- Atherton est une extension magnéto-mécanique du modèle de comportement magnétique de Jiles- Atherton largement répandu dans la littérature. Sa mise en œuvre numérique est simple (résolution d’une équation implicite) et il garantit de bonnes prédictions de comportements magnétique et magnétostrictif anhystérétiques en un temps de calcul raisonnable et à partir d’un nombre relativement restreint de paramètres d’entrée. En revanche, ces paramètres ne sont pas tous facilement accessibles et doivent être identifiés à partir d’essais expérimentaux de caractérisation magnéto-élastique sous contrainte mécanique. L’approche phénoménologique est ainsi pertinente pour prédire les lois de comportement magnéto-élastique de milieux ferromagnétiques qui ont dues être mesurées pour déterminer les paramètres d’entrée de ces prédictions (aspect non-prédictif). Le nombre de paramètres d’entrée peut en effet varier d’un milieu à un autre, et les paramètres établis dans une configuration magnéto-mécanique donnée doivent être systématiquement re-déterminés dès lors qu’un élément de cette configuration évolue (orientation différente de l’excitation magnétique, gamme d’amplitude différente de sollicitations mécaniques). Enfin, ce modèle phénoménologique est scalaire et restreint à des contraintes mécaniques uni-axiales (traction et compression simples). Cette dernière restriction est un obstacle majeur pour rendre fidèlement compte des sollicitations mécaniques complexes que subissent les milieux ferromagnétiques en environnement industriel réel. Pour lever ces limites, le modèle multi-échelle

simplifié de Daniel et al. a été développé suivant une approche inspirée de celle utilisée pour établir des modèles d’homogénéisation mécanique. Il est très simple à mettre en œuvre numériquement. Les trois paramètres d’entrée de ce modèle correspondent à des constantes magnétiques et magnétostrictives classiques, généralement décrites dans des tables matériaux ou facilement mesurables à partir d’essais à contrainte mécanique nulle. Les prédictions de ce modèle multi-échelle ont été comparées à celles du modèle phénoménologique SJA et sont en bon accord. Un avantage majeur de l’approche multi-échelle tient au fait qu’elle permet de prédire les lois anhystérétiques de comportement magnétique et magnétostrictif macroscopiques dans une très large gamme de sollicitations magnétiques vectorielles et mécaniques multi-axiales.

Les lois anhystérétiques de comportements magnéto-élastiques couplées ainsi prédites sont exploitées au chapitre suivant pour modéliser le point de fonctionnement magnéto-mécanique statique (imposé par l’excitation magnétique de l’aimant permanent) d’un milieu ferromagnétique lors d’un contrôle par EMAT. L’enjeu de ce chapitre est de modéliser les différentes sources de rayonnement ultrasonore induites par EMAT par l’interaction de l’excitation magnétique dynamique rayonnée avec le milieu ferromagnétique inspecté.

CHAPITRE

3

MODELISATION

DES

SOURCES

ELECTROMAGNETO-

ELASTIQUES DE RAYONNEMENT ULTRASONORE EN MILIEUX

FERROMAGNETIQUES

La simulation précise d’une application de contrôle non-destructif par EMAT en milieux ferromagnétiques repose sur la modélisation rigoureuse des densités de sources électromagnéto- élastiques de transduction élastique induites dans un matériau ferromagnétique. Ces sources, d’origine électromagnétique et magnétostrictive, sont responsables du rayonnement ultrasonore transmis dans un milieu lors d’une opération de contrôle.

Différentes méthodes de formulation des densités volumiques et/ou surfaciques de sources électromagnétiques induites en milieux ferromagnétiques coexistent dans la littérature. Cette diversité de formulations est naturellement accentuée par la grande variété d’applications qui les exploitent, et chaque application ne repose pas nécessairement sur les mêmes efforts électromagnétiques exercés sur un milieu. En effet, les études macroscopiques de déplacements mécaniques de corps ferromagnétiques (supposés rigides) mettent en jeu la résultante globale de forces électromagnétiques, tandis que les études vibratoires de pièces ferromagnétiques font appel aux densités volumiques et surfaciques locales de sources électromagnétiques qui composent cette résultante globale. Chaque modèle de la littérature repose ainsi sur différentes échelles d’étude et différentes hypothèses simplificatrices qu’il est important de maîtriser dans le but de construire un modèle rigoureux de sources électromagnétiques. La modélisation des sources électromagnétiques de transduction ultrasonore induites par EMAT en milieux ferromagnétiques fait l’objet de la section 3.1. Cette section est volontairement détaillée pour insister sur la diversité de méthodes de formulation de ces sources, pour mettre en lumière les modèles erronés rencontrés dans la littérature EMAT, et pour définir formellement une méthode théorique de référence adaptée à notre problématique industrielle et à la prise en compte des propriétés magnétiques non- linéaires caractéristiques des milieux ferromagnétiques. La section 3.2 montre que le cadre théorique formel mis en place pour la modélisation des sources électromagnétiques est également adapté à la prise en compte des sources magnétostrictives de transduction ultrasonore induites par EMAT en milieux ferromagnétiques. Finalement, ces deux sections construisent un modèle théorique de référence capable de formuler rigoureusement les densités volumiques et surfaciques de sources électromagnéto-élastiques induites par EMAT en milieux ferromagnétiques. La section 3.3 détaille une méthode mathématique permettant de transformer les sources volumiques de rayonnement induites sans contact en contraintes surfaciques équivalentes, c’est-à-dire, qui approchent avec la meilleure précision possible le champ ultrasonore rayonné par les sources de volume avec un coût de calcul réduit. Cette transformation traite des matériaux élastiquement et géométriquement complexes dans le but de couvrir efficacement la plupart des configurations industrielles d’inspection ultrasonore par EMAT. Elle établit un lien direct entre les modules électromagnétique et ultrasonore disponibles dans le logiciel CIVA et en permet la réutilisation pour le calcul des champs ultrasonores rayonnés par un EMAT.

TABLE DES MATIERES

CHAPITRE 3 ... Modélisation des sources électromagnéto-élastiques de rayonnement ultrasonore en milieux ferromagnétiques ... 81 3.1. Modèle de sources électromagnétiques de transduction ultrasonore ... 83 3.1.1. Revue des modèles de sources électromagnétiques de la littérature 85 3.1.1.1. Méthodes des sources magnétiques équivalentes ... 85 3.1.1.2. Méthode de la densité de force de Kelvin ... 86 3.1.1.3. Méthode du tenseur des contraintes électromagnétiques de Maxwell ... 87 3.1.1.4. Méthode énergétique de Korteweg-Helmholtz ... 89 3.1.1.5. Densités de forces électromagnétiques dans la littérature EMAT ... 90 3.1.2. Définition énergétique du tenseur des contraintes électromagnétiques de Maxwell en milieux ferromagnétiques 94 3.1.2.1. Définition des densités d’énergie et de co-énergie libres magnétiques ... 95 3.1.2.2. Obtention du tenseur des contraintes électromagnétiques de Maxwell par application du principe des travaux virtuels ... 98 3.1.2.3. Densités volumiques et surfaciques de sources électromagnétiques ... 103 3.1.2.4. Discussions relatives aux modèles de sources électromagnétiques volumiques et surfaciques en milieux ferromagnétiques de la littérature ... 106 3.2. Modèle de densité de sources magnétostrictives ... 108 3.2.1. Tenseur des déformations macroscopiques de magnétostriction ɛms ₁₀₉

3.2.2. Modèle de densité volumique de force équivalente de magnétostriction fms ₁₁₁

3.2.3. Modèle de densité volumique de forces piézomagnétiques équivalentes 113 3.3. Méthode de transformation des sources volumiques de transduction ultrasonore en contraintes surfaciques équivalentes ... 116 3.3.1. Origines, motivations, et principes de la méthode 117 3.3.2. Contraintes surfaciques équivalentes à l’ordre deux en milieux élastiques de géométries complexes 119 3.3.3. Application théorique de la méthode des contraintes surfaciques équivalentes développées à l’ordre deux 124 3.3.3.1. Cas élémentaire de Thompson de sources magnétostrictives induites par EMAT

124

3.3.3.2. Validations numériques de la méthode sur le champ ultrasonore prédit ... 127 Conclusion du chapitre ... 130

3.1. Modèle de sources électromagnétiques de transduction ultrasonore