Contraintes surfaciques équivalentes à l’ordre deux en milieux élastiques de géométries

Le développement formel à l’ordre deux des contraintes surfaciques équivalentes d’une densité volumique de sources de transduction ultrasonore réparties sous la surface libre d’un milieu élastique de géométrie complexe est présenté. L’objectif de ces travaux est d’étendre le développement de Thompson [Thompson_1980] et Rouge et al. [Rouge-et-al_2013] pour permettre l’application de la méthode à davantage de cas d’inspection que l’on peut rencontrer industriellement. Dans ce but, des développements d’analyses différentielle et tensorielle sont mis en œuvre afin de pouvoir traiter la représentation géométrique d’une surface complexe. Le présent paragraphe résume les outils et manipulations mathématiques nécessaires, le détail des développements étant décrit dans [Clausse- Lhémery_2016] en Annexe C. Pour permettre la prise en compte de la géométrie de la surface élastique excitée, une représentation paramétrique 𝐌_𝐬, d’un ouvert U ∈ ℝ2 _{dans ℝ}3_{, de la surface extérieure ∂Ω}

du milieu élastique Ω inspecté est considérée. Dans ce formalisme paramétrique, la normale extérieure à la surface ∂Ω en un point (u, v) ∈ U et l’élément de surface dΓ sont définis par :

𝐧(u, v) = ∂u𝐌𝐬(u, v) × ∂v𝐌𝐬(u, v) ‖∂_u𝐌_𝐬(u, v) × ∂_v𝐌_𝐬(u, v)‖ dΓ = ‖∂_u𝐌_𝐬(u, v) × ∂v𝐌𝐬(u, v)‖dudv.

(3.88) (3.89)

On désigne par Ωβ⊂ Ω le voisinage proche de la surface ∂Ω excitée, dont la profondeur dans la

direction normale à la surface est définie par le paramètre β > 0 qui représente la profondeur de pénétration des sources dans le volume inspecté. Ce paramètre est volontairement arbitraire dans le raisonnement mis en place, pour traiter de cas génériques de sources volumiques de transduction. Comme illustré dans la Figure 3.48, ce domaine Ω_β est défini par l’expression paramétrique suivante :

(Ωβ) ∶ ∀(u, v, w) ∈ U × ]0, β[ , 𝐌(u, v, w) = 𝐌𝐬(u, v) − w𝐧(𝐌𝐬(u, v)). (3.90)

Cette représentation paramétrique du voisinage Ω_β permet la définition formelle de l’élément de volume dΩ = det(∂_u𝐌, ∂_v𝐌, ∂_w𝐌)dudvdw selon certaines hypothèses sur le paramètre β. En notant k₁ et k₂ les deux courbures principales en un point (u, v) ∈ U de la surface ∂Ω, ces conditions géométriques de validité de la représentation paramétrique s’écrivent :

det(∂_u𝐌, ∂_v𝐌, ∂_w𝐌) > 0 ⇔ { k₁≥ 0, k₂≥ 0 ∶ ∀β > 0, k1 ≤ 0, k2≥ 0 ∶ 0 < β < min(|k1|−1), k₁≤ 0, k₂≤ 0 ∶ 0 < β < min(|k₁|−1_{, |k} 2|−1) . (3.91)

Ces conditions d’applicabilité expriment que, plus les courbures de la surface inspectée sont marquées, plus la profondeur de pénétration β des sources doit être petite pour assurer la validité de la description paramétrique proposée. Ces conditions ne sont généralement pas restrictives dans une configuration industrielle d’inspection par EMAT, la profondeur de pénétration des sources de transduction étant très faible devant les rayons de courbures des pièces mécaniques industrielles inspectées. En introduisant H = (k₁+ k₂) 2⁄ la courbure locale moyenne de la surface ∂Ω et K = k1k2 la courbure locale de Gauss

de la surface ∂Ω, l’expression du déplacement particulaire 𝐮 par la convolution volumique du tenseur de Green élastodynamique avec les sources volumiques de transduction s’écrit dans ce cadre :

∀𝐱 ∈ Ω, 𝐮(𝐱) = ∫ 𝐆(𝐱, 𝐱_𝟎). 𝐟(𝐱_𝟎)[1 + 2Hw + Kw2_]

𝐱𝟎∈Ωβ

dwdΓ. (3.92)

Selon la définition de Ω_β: ∀𝐱_𝟎∈ Ω_β, ∃(𝐗_𝟎, w) ∈ ∂Ω tels que : 𝐱_𝟎= 𝐗_𝟎− w𝐧(𝐗_𝟎), le développement de Taylor à l’ordre N du tenseur de Green dans la direction normale 𝐧 à la surface ∂Ω s’écrit :

∀𝐱 ∈ Ω\Ωβ, ∀𝐱𝟎∈ Ωβ, 𝐆(𝐱, 𝐱𝟎) ≅ ∑(−w) p p! N p=0 ∂p_𝐆 ∂𝐧p(𝐱, 𝐗𝟎), (3.93)

On fait alors l’hypothèse que les variations du tenseur de Green dans la profondeur, définies par l’inverse de la longueur d’onde élastique λ, sont faibles devant celles des sources de rayonnement, définies comme l’inverse de la profondeur de pénétration β. Cette hypothèse restreint le champ d’application de la méthode à des sources de profondeur de pénétration faible devant la longueur d’onde d’inspection : β ≪ λ. Elle est généralement vérifiée dans le cas d’une inspection par EMAT en milieux ferromagnétiques. En effet, la longueur d’onde ultrasonore est classiquement définie par la relation : λ = c_el⁄ , avec cf _el la vitesse de propagation élastique du milieu inspecté et f la fréquence d’excitation. La profondeur de pénétration des sources électromagnétiques et magnétostrictives est de l’ordre de quelques épaisseurs de peau δ_p. L’épaisseur de peau est définie selon les propriétés électromagnétiques (perméabilité magnétique relative μ_r et conductivité électrique σ) du milieu inspecté et de la fréquence d’excitation f selon la relation : δ_p= 1 √πμ⁄ 0μrσf. Généralement, l’hypothèse β~5δp est suffisante

dans une application EMAT, sachant qu’à cette profondeur, l’amplitude des sources électromagnéto- élastiques induites dans le volume est inférieure à 1% de l’amplitude à la surface (variations typiques des sources dans la profondeur en e−z δ⁄ p_{). Ainsi, la condition d’application β ≪ λ se traduit par une}

inégalité sur la fréquence d’inspection : f ≪ πμ₀μ_rσc_el2_{⁄ . Cette inégalité est très largement vérifiée 25}

généralement comprises entre 100 kHz et 10 MHz), d’autant plus si le milieu inspecté est ferromagnétique (μr≫ 1). Par exemple, la fréquence limite d’application du développement est de

l’ordre de 50 MHz dans le cas de l’aluminium, et de 2 GHz dans le cas du nickel.

La condition β ≪ λ permet d’approcher le tenseur de Green élastodynamique par son développement asymptotique en o((β λ ⁄ )N_{), ce qui fait naturellement intervenir les moments des sources volumiques}

d’ordres élevés dans l’approximation de l’intégrale volumique de rayonnement ultrasonore :

𝐱 ∈ Ω\Ωβ, 𝐮(𝐱) ≅ ∫ ∑ 1 p! N p=0 ∂p_𝐆 ∂𝐧p(𝐱, 𝐗𝟎). 𝐗𝟎∈∂Ω 𝐌_𝐟(p)(𝐗𝟎)dΓ, avec : (3.94) ∀𝐗_𝟎∈ ∂Ω, ∀p ∈ ℕ, 𝐌_𝐟(p)(𝐗_𝟎) = ∫β 𝐟(𝐗_𝟎− w𝐧)(−w)p_{[1 + 2Hw + Kw}2_]dw. w=0 (3.95)

En pratique, ce développement est exploité jusqu’à l’ordre deux. Dans le but de dériver une distribution de contraintes surfaciques équivalentes en accord avec (3.83), il est nécessaire de convertir les dérivées normales première et seconde du tenseur de Green en dérivées surfaciques, pour ensuite les transférer sur les moments des sources. Cette opération est réalisée à l’aide d’opérateurs différentiels normal 𝛁𝐧 et

surfacique (tangentiel) 𝛁_𝐬. En introduisant les projections dans la direction normale 𝐏⊥_{= 𝐧 ⊗ 𝐧 et}

tangentielle 𝐏 = 𝐈 − 𝐧 ⊗ 𝐧 à la surface inspectée, ces opérateurs sont définis ∀𝐯 ∈ Ω par les relations : 𝛁𝐯 = 𝛁_𝐧𝐯 + 𝛁_𝐬𝐯 = (𝛁𝐯). 𝐏⊥_{+ (𝛁𝐯). 𝐏.}

v_i,j= (𝛁_𝐧𝐯)_ij+ (𝛁_𝐬𝐯)_ij= v_i,kP_kj⊥_{+ v}

i,kPkj. (3.96)

𝛁. 𝐯 = 𝛁_𝐧. 𝐯 + 𝛁_𝐬. 𝐯 = 𝛁𝐯 ∶ 𝐏⊥_{+ 𝛁𝐯 ∶ 𝐏.}

vi,i = (𝛁𝐧. 𝐯) + (𝛁𝐬. 𝐯) = vi,kPki⊥+ vi,kPki. (3.97)

Ce formalisme différentiel est complété par le théorème de la divergence surfacique, qui s’énonce pour tout vecteur 𝐔 de ℝ3 _{et pour toute surface S plongé dans ℝ}3 _{de normale extérieure 𝐧 par l’intégrale :}

∫ (𝛁_𝐬. 𝐔)dΓ S = ∫ 𝐔. 𝐝𝐥 ∂S + ∫ [𝐔 . 𝐧](𝛁_𝐬. 𝐧)dΓ S . (3.98)

Ces outils permettent la décomposition des dérivées normales du tenseur de Green en fonction de ses dérivées partielles surfaciques et assurent leur transfert sur les moments de sources d’ordre un et deux dans le but de dériver l’expression formelle des contraintes surfaciques équivalentes dans le cas de surface de géométrie complexe. Ces manipulations exploitent les propriétés de la solution élémentaire de Green 𝐆 de l’équation d’onde élastique (3.99) et la condition limite élastique de surface libre (3.100) : ∀𝐱 ∈ Ω, ∀𝐱𝟎 ∈ Ωβ, 𝛁. 𝛔𝐆(𝐱𝟎) − ρLω2𝐆(𝐱, 𝐱𝟎) = δ𝐱𝟎, (3.99)

∀𝐗_𝟎 ∈ Ω_β, 𝛔𝐆_(𝐗

𝟎). 𝐧 = [ℂ ∶ 𝛁𝐆(𝐱, 𝐗𝟎)] . 𝐧 = 𝟎. (3.100)

À partir de ces relations et en mettant à profit le formalisme tensoriel des opérateurs différentiels surfaciques, les contraintes surfaciques équivalentes peuvent être développées jusqu’à l’ordre deux dans

le cas général. Ces développements techniques et fastidieux sont détaillés dans [Clausse- Lhémery_2016] (reproduit en Annexe C) dans le cas d’un milieu élastique homogène et isotrope ; ils ne sont pas décrits davantage dans cette section pour ne pas trop alourdir la présentation générale de la méthode. L’expression finale des contraintes surfaciques équivalentes 𝛔̃_iso𝐟 _{de sources volumiques f}

développées à l’ordre deux induites à la surface d’une pièce de géométrie complexe, de normale extérieure 𝐧, d’un milieu élastique homogène et isotrope, caractérisé par ses coefficients de Lamé (λL, μL), est donnée par l’équation (3.101).

∀𝐱 ∈ Ω\Ωβ, 𝐮(𝐱) ≅ ∫ 𝐆(𝐱, 𝐗𝟎). 𝛔̃iso𝐟 (𝐗𝟎)dΓ 𝐗𝟎∈∂Ω , avec : 𝛔̃_iso𝐟 = 𝐌_𝐟(0)−ρLω 2 2 𝐏̃. 𝐌𝐟(2)+ α1𝛁𝐬(𝐌(1)𝐟 . 𝐧) + (𝛁𝐬. 𝐌𝐟(1)) 𝐧 + (𝛁𝐬𝐧) . 𝐌𝐟(1) − α₂ (𝐌_𝐟(1). 𝐧) (𝛁_𝐬. 𝐧)𝐧 +α1 2 𝛁𝐬[𝛁𝐬 . (𝐌𝐟(2)− 2μL𝐏̃. 𝐌𝐟(2))] − μ_L(𝛁_𝐬 . 𝛆_𝐒[𝐏̃. 𝐌_𝐟(2)]) −α1α2 2 𝛁𝐬[(𝛁𝐬. 𝐧) 𝐌𝐟(2). 𝐧] +α1 2 (𝐌𝐟(2). 𝐧) [α2(𝛁𝐬. 𝐧)2𝐧 − 𝛁𝐬. (𝛁𝐬𝐧)] +α1 2 (𝛁𝐬 . [2μL𝐏̃. 𝐌𝐟(2)− 𝐌𝐟(2)]) (𝛁𝐬. 𝐧)𝐧 +α1 2 (𝛁𝐬. [𝛁𝐬(𝐌𝐟(2). 𝐧)]) 𝐧, et : { α1=_λ λL L+2μL, α₂= α₁+ 1, P̃_ij = 1 λL+2μL Pij ⊥₊ 1 μL Pij, (𝛆_𝐒[𝐯])_ij=1₂v_k,l{P_ikP_lj+ P_liP_kj}. (3.101)

Naturellement, le nombre important de termes à prendre en compte dans ce développement est lié à la non-uniformité du vecteur normal 𝐧 dans le cas général d’une surface complexe, et l’expression formelle (3.101) se réduit aux expressions développées dans les travaux de Thompson

[Thompson_1980] et Rouge et al. [Rouge-et-al_2013] en supposant une surface inspectée de géométrie plane (normale constante).

Dans le cas général d’un milieu élastique potentiellement anisotrope et hétérogène, l’établissement de l’expression formelle des contraintes surfaciques équivalentes développées à l’ordre deux est théoriquement plus complexe à dériver et implique des manipulations techniques de tenseurs d’ordre élevé, définis à partir du tenseur (d’ordre quatre) des rigidités élastiques ℂ du milieu inspecté. À partir des différentes étapes théoriques du développement de 𝛔̃_iso𝐟 _{(Annexe C), une extension de la méthode}

détaillée dans [Clausse-Lhémery_2016] au cas des milieux hétérogènes et anisotropes est développée en Annexe D. L’expression formelle, la plus générale possible, des contraintes surfaciques équivalentes 𝛔̃𝐟 _{de sources volumiques f développées à l’ordre deux et adaptées au traitement des milieux}

∀𝐱 ∈ Ω\Ω_β, 𝐮(𝐱) ≅ ∫ 𝐆(𝐱, 𝐗_𝟎). 𝛔̃𝐟_(𝐗 𝟎)dΓ 𝐗𝟎∈∂Ω , avec : 𝛔 ̃𝐟_{= 𝐌} 𝐟(0)− ρω2 2 𝐌𝐟(2). 𝚪−1+ 𝓕𝐧[𝐌𝐟(1). 𝚲] +1 2𝓕𝐧[𝓕𝐧[𝐌𝐟(2). 𝚲] . 𝚲 − 𝛁T 𝐬(𝐌𝐟(2). 𝚪−1): 𝔸 − 𝛁𝐬𝐧. (𝐌𝐟(2). 𝚲) + 𝐌𝐟(2). (𝛁𝚲. 𝐧)], et : { Γij= ℂkijlnknl, Λ_ijk= (Γ-1₎ ilnmℂmljk,

𝔸ijkl= ℂijkl− ℂijmnnnΛmkl,

ℱ_in[𝐓] = Tji,kPjk− nk,lPklnjTji.

(3.102)

La prise en compte de l’hétérogénéité élastique du milieu inspecté se traduit par la présence du terme en 𝛁𝚲. 𝐧 qui est reliée au saut de constantes élastiques du tenseur des rigidités à l’interface de domaines élastiques différents. En restreignant les expressions (3.101) et (3.102) à l’ordre zéro comme première approximation, on retrouve 𝛔̃𝐟= 𝐌_𝐟(0) qui correspond à la méthode conventionnelle de simple intégration des sources volumiques dans la profondeur décrite dans le paragraphe précédent. En étendant le développement des contraintes équivalentes à l’ordre deux, un terme inertiel (ρ_Lω2_{⁄ )𝐏̃. 𝐌2}

𝐟 (2)

apparaît dans l’expression, dont l’influence est proportionnelle au carré de la fréquence d’inspection. De plus, de nombreux termes apparaissent dans le développement en raison de la non-uniformité du vecteur normal 𝐧 dans le cas de surfaces de géométrie complexe.

L’intérêt principal de modéliser les sources volumiques de rayonnement ultrasonore sous la forme de contraintes surfaciques équivalentes réside dans le fait que le tenseur de Green élastodynamique doit être implémenté uniquement dans le cas de points sources à la surface du milieu inspecté. La convolution surfacique ainsi déduite réduit le coût en temps de calcul numérique du champ de déplacement élastique induit par les sources volumiques de transduction. De plus, les expressions théoriques du tenseur de Green pour des points sources à la surface d’un milieu (semi-infini) sont à la fois plus simples et mieux maîtrisées dans des configurations élastodynamiques complexes que les expressions du tenseur de Green dans le cas de points sources dans le volume inspecté. Enfin, l’implémentation numérique de ce modèle de contraintes surfaciques équivalentes dans le logiciel CIVA de simulation des méthodes de CND permet de coupler naturellement ses modules de calcul électromagnétique CIVA CF et ultrasonore CIVA US dans le cas d’une inspection par EMAT.

Dans cette optique, il est naturel de s’interroger sur la précision du calcul des moments d’ordres élevés des sources volumiques, ainsi que des nombreuses dérivées surfaciques numériques impliquées dans les expressions obtenues. Une première précaution numérique consiste à s’assurer de prendre suffisamment de points de calcul dans la profondeur de pénétration β du matériau inspecté, de façon à fidèlement approcher les variations spatiales des sources volumiques de transduction, et donc déterminer avec précision les moments des sources d’ordres élevés. Dans le cas de sources volumiques qui varient fortement dans la profondeur, des schémas numériques d’ordres élevés (notamment à l’interface entre l’air et le milieu inspecté) peuvent également être mis à profit en complément d’une fine discrétisation dans la profondeur, pour assurer la stabilité et la précision du calcul des dérivées surfaciques impliquées.

Pour démontrer le gain en précision dans la représentation du champ de déplacement élastique apporté par la prise en compte des moments des sources volumiques d’ordres élevés par rapport à la méthode conventionnelle à l’ordre zéro, un exemple d’application de la méthode est décrit dans le paragraphe suivant traitant le cas d’un milieu élastique de géométrie cylindrique. Le cas particulier des contraintes surfaciques équivalentes des sources magnétostrictives induites par EMAT en milieux ferromagnétiques est également décrit dans le cadre de la configuration idéale étudiée par Thompson [Thompson_1978].

3.3.3. Application théorique de la méthode des contraintes surfaciques