Embora o argumento principal da tese, o fluxo espectral, envolva operadores em espa¸cos de Hilbert, nesta se¸c˜ao vamos apresentar algumas defini¸c˜oes e no¸c˜oes b´asicas da teoria espectral para operadores limitados em espa¸cos normados. Em muitos textos os concei- tos b´asicos da teoria espectral s˜ao apresentados para operadores L : D(L) ⊆ E → E, ou seja, para operadores definidos em subespa¸cos de E. Para os nossos fins, esse n´ıvel de generalidade n˜ao ´e necess´ario e portanto somente ser˜ao tratados os resultados da teoria espectral no caso particular de operadores definidos em todo o espa¸co. As propriedades mais interessantes ser˜ao dadas para operadores em espa¸cos de Hilbert.
Fazendo uso do conceito de decomposi¸c˜ao polar de um operador auto-adjunto L ∈ L(H), onde H ´e um espa¸co de Hilbert, daremos a defini¸c˜ao dos subespa¸cos espectrais positivo e negativo do operador L, denotados por H+(L) e H−(L), respectivamente.
Al´em disso, mostraremos que
H = H+(L) ⊕ H−(L) ⊕ Ker L
e que H+(L) e H−(L) s˜ao invariantes por L.
Na primeira parte da se¸c˜ao trataremos operadores em espa¸cos normados (n˜ao ne- cessariamente com produto interno) e por ´ultimo com operadores auto-adjuntos em espa¸cos de Hilbert.
Se n˜ao se diz o contrario, E denotar´a um espa¸co normado sobre K, onde K = R (ou C).
Defini¸c˜ao 3.3.1 (Espectro de um operador). Seja L um operador em L(E). Um valor regular de L ´e um n´umero λ ∈ K tal que o operador Lλ = L − λI ´e invers´ıvel em
L(E), isto ´e, L−1λ existe e pertence a L(E). O conjunto de todos os valores regulares de L, denotado por ρ(L), ´e chamado de conjunto resolvente de L. Seu complementar σ(L) = K − ρ(L) ´e chamado de espectro de L. Dizemos que λ ´e um valor espectral de
L se λ ∈ σ(L). Para λ ∈ ρ(L), o operador R(λ) = (L − λI)−1 ´e chamado de resolvente de L.
Um autovalor de um operador L ´e um valor λ ∈ K tal que L − λI n˜ao ´e injetor. Se λ ´e um autovalor de L, existe um elemento v ∈ E\{0} tal que Lv = λv. O elemento v ´e chamado de autovetor de L correspondente ao autovalor λ. O autoespa¸co de um autovalor λ de L ´e o subespa¸co gerado pelos autovetores do operador L correspondentes a λ.
Teorema 3.3.2. Se L ∈ L(E), onde E ´e um espa¸co de Banach complexo, ent˜ao σ(L) 6= ∅.
Podemos ver uma prova do teorema anterior em [7], p´ag. 196, Teorema 3.6.
Quando E tem dimens˜ao finita, o espectro de um operador L ∈ L(E) ´e composto pelos autovalores de L. Este resultado ´e consequˆencia do fato que todo operador linear L em um espa¸co normado de dimens˜ao finita ´e invers´ıvel se, e somente se, ´e injetor. No seguinte exemplo veremos que em dimens˜ao infinita podemos ter λ ∈ σ(L) com L − λI injetor.
Exemplo 3.3.3. Consideremos o espa¸co de Hilbert `2 das sequˆencias de n´umeros
complexos (xn)∞n=1 tais que
P∞
n=1|xn|2 ´e convergente. O produto interno ´e dado por
hx, yi =
∞
X
n=1
xnyn, onde x = (xn)n=1∞ , y = (yn)∞n=1 ∈ `2.
Tomemos L : `2 → `2 definido por
L(a1, a2, a3, ...) = (0, a1, a2, a3, ...), onde (a1, a2, a3, ...) ∈ `2.
´
E f´acil ver que L ´e injetor e que kLk = 1. O operador L n˜ao ´e sobrejetor, pois (1, 0, 0, ...) /∈ Im L. Assim, 0 ∈ σ(L). Provemos que
σ(L) = B = {x ∈ C : kxk ≤ 1}.
De fato, do Teorema 1.1.7 temos que, se |λ| > 1 = kLk, ent˜ao I − (1/λ)L ´e invers´ıvel. Este fato prova que, se |λ| > 1, ent˜ao o operador L − λI ´e invers´ıvel. Portanto,
σ(L) ⊆ B.
Suponhamos que |λ| ≤ 1, com λ 6= 0. Mostremos que L − λI n˜ao ´e sobrejetor. Tomemos (1, 0, 0, ...) ∈ `2. Se existir (a1, a2, a3, ...) ∈ `2 tal que (L − λI)(a1, a2, a3, ...) =
(1, 0, 0, ...), ent˜ao
(−λa1, a1− λa2, a2− λa3...) = (1, 0, 0, ...),
isto ´e,
Dado que |λ| ≤ 1, temos
(a1, a2, a3, ...) = (−1/λ, −1/λ2, −1/λ3, ...) /∈ `2.
Consequentemente, L − λI n˜ao ´e sobrejetor. Da´ı, B ⊆ σ(L). Em conclus˜ao, B = σ(L). No exemplo anterior, observe que, se `2fosse considerado sobre o corpo dos n´umeros
reais (veja-se o Exemplo 2.2.3), ent˜ao, da Defini¸c˜ao 3.3.1 ter´ıamos que σ(L) = [−1, 1] ⊆ R. Da An´alise funcional sabemos que um espa¸co vetorial real E admite uma ’comple- xifica¸c˜ao’, ou seja, um espa¸co vetorial bE sobre C e uma inclus˜ao linear canˆonica de E em bE. Se E for normado (de Banach), ele induz uma estrutura normada (de Banach) em bE. Assim, um operador linear L ∈ L(E) admite um operador complexificado
b
L ∈ L( bE). Obviamente o espectro de bL ser´a contido em C e podemos chamar σ(bL) como o de espectro de L. Portanto, mesmo sendo L um operador entre espa¸cos reais, σ(L) ser´a considerado como subconjunto de C. Este fato ajuda profundamente no estudo da propriedades espectrais de L.
Por outro lado, a um endomorfismo L ∈ L(Rn) ´e associada uma matriz real (na base canˆonica do espa¸co euclidiano) que pode ter autovalores complexos. Consequen- temente, em dimens˜ao finita ´e natural considerar em C o espectro de um operador real (o de uma matriz real). A complexifica¸c˜ao em dimens˜ao infinita estende a possibili- dade de definir e usar o espectro em C de um operador real, com muitas vantagens na investiga¸c˜ao. Resumimos este conceito a partir da seguinte defini¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 3.3.4. A complexifica¸c˜ao de um espa¸co real E ´e o espa¸co b
E = {x1+ ix2 : x1, x2 ∈ E}
sobre o corpo dos n´umeros complexos com as seguintes opera¸c˜oes:
i. (x1+ ix2) + (y1+ iy2) = x1+ y1 + i(x2+ y2) para x1+ ix2, y1+ iy2 ∈ bE.
ii. (a + ib)(x1+ ix2) = ax1− bx2+ i(bx1+ ax2) para x1+ ix2 ∈ bE e a + ib ∈ C.
Mostremos que, se E ´e normado, com norma denotada por k·k, ent˜ao, para x1+ix2 ∈
b E, kx1+ ix2kEb = max θ (kcosθx1− senθx2k 2+ ksenθx 1+ cosθx2k2)1/2 (3.3.1)
define uma norma em bE. Seja x + iy ∈ bE fixado. E claro que kx + iyk´
b
E ≥ 0 e
kx + iykEb = 0 se, e somente se, x + iy = 0. N˜ao ´e dif´ıcil provar que k · kEb satisfaz a desigualdade triangular. Vejamos que, se z = |z|(cosα + isenα) ∈ C, ent˜ao
kz(x + iy)k
b
De fato,
kz(x + iy)kEb = k|z|[cosαx − senαy + i(senαx + cos αy)]kEb = max
θ (k|z|[cosθ(cosαx − senαy) − senθ(senαx + cos αy)]k 2
+ k|z|[senθ(cosαx − senαy) + cosθ(senαx + cos αy)k2])1/2 = |z| max
θ (k(cosθcosα − senθsenα)x − (cosθsenα + senθ cos α)yk 2
+ k(senθcosα + cosθsenα)x − (senθsenα − cosθcosα)yk2)1/2 = |z| max
θ (kcos(θ + α)x − sen(θ + α)yk 2
+ ksen(θ + α)x + cos(θ + α)yk2)1/2 = |z| max
θ (kcosθx − senθyk 2
+ ksenθx + cosθyk2)1/2 = |z|kx + iykEb,
como quer´ıamos provar.
Observe que, se E ´e um espa¸co de Banach, ent˜ao ( bE, k · k
b
E) ´e um espa¸co de Banach.
De fato, se (xn+ iyn)∞n=1 ´e uma sequˆencia de Cauchy em bE, ent˜ao, para todo ε > 0,
existe um inteiro positivo N tal que, se n, m ≥ N , max
θ (kcosθ(xn− xm) − senθ(yn− ym)k
2+ ksenθ(x
n− xm) + cos θ(yn− ym)k2)1/2 < ε.
Logo, tomando θ = 0, (kxn− xmk2 + kyn− ymk2)1/2 < ε. Assim, kxn− xmk < ε e
kyn− ymk < ε. Da´ı, (xn)n=1∞ e (yn)∞n=1 s˜ao sequˆencias de Cauchy em E. Dado que E
´
e de Banach, (xn)∞n=1 ´e convergente a algum x ∈ E e (yn)∞n=1 ´e convergente a algum
y ∈ E. N˜ao ´e dif´ıcil provar que (xn+iyn)∞n=1 converge a x+iy ∈ bE. Consequentemente,
b
E ´e um espa¸co de Banach.
Suponhamos agora que E seja um espa¸co com produto interno denotado por h·, ·i. Vejamos que ( bE, k · k
b
E) ´e um espa¸co com produto interno. De fato, se x1+ ix2 ∈ bE,
temos kx1+ ix2kEb = max θ (kcosθx1− senθx2k 2 + ksenθx1 + cosθx2k2)1/2 = max θ (cos 2θkx 1k2− 2cosθsenθhx1, x2i + sen2θkx2k2
+ sen2θkx1k2 + 2cosθsenθhx1, x2i + cos2θkx2k2)1/2
= (kx1k2+ kx2k2)1/2.
Consequentemente,
kx1 + ix2kEb = (kx1k 2 + kx
Provemos que a norma k · k
b
E possui a propriedade do paralelogramo, isto ´e,
kx +b byk2 b E + kx −b ykb 2 b E = 2(kxkb 2 b E + kykb 2 b E) para todox,b y ∈ bb E. Sejam x = xb 1+ ix2 e y = yb 1 + iy2 ∈ bE. Dado que
kx1+ y1k2+ kx1− y1k2 = 2(kx1k2+ ky1k2) e kx2+ y2k2+ kx2− y2k2 = 2(kx2k2+ ky2k2),
pois E ´e um espa¸co com produto interno, se segue que kbx +ykb 2 b E+ kbx −byk 2 b E = kx1+ y1 + i(x2+ y2)k 2 b E + kx1 − y1+ i(x2− y2)k 2 b E = kx1+ y1k2+ kx2+ y2k2+ kx1− y1k2+ kx2− y2k2 = 2(kx1k2+ ky1k2) + 2(kx2k2+ ky2k2) = 2(kx1+ ix2k2Eb+ ky1 + iy2k2Eb) = 2(kbxk2 b E+ kykb 2 b E).
Consequentemente, ( bE, k · kEb) ´e um espa¸co com produto interno. Observe que este produto interno ´e dado por
hx1+ ix2, y1+ iy2iEb = hx1, y1i − ihx1, y2i + ihx2, y1i + hx2, y2i, (3.3.3)
para x1+ ix2, y1+ iy2 ∈ bE. Os fatos mostrados acima implicam que, se E ´e um espa¸co
de Hilbert, ent˜ao bE ´e um espa¸co de Hilbert.
A complexifica¸c˜ao de um operador L ∈ L(E) ´e o operador em bL ∈ L( bE) dado por b
L(x + iy) = L(x) + iL(y) para x + iy ∈ bE. Assim,
kLx + iLyk
b
E = maxθ (kcosθLx − senθLyk
2+ ksenθLx + cosθLyk2)1/2 = max θ (kL(cosθx − senθy)k 2+ kL(senθx + cosθy)k2)1/2 ≤ max θ kLk[kcosθx − senθyk 2+ ksenθx + cosθyk2]1/2 = kLk max θ [kcosθx − senθyk 2 + ksenθx + cosθyk2]1/2 = kLkkx + iyk2 b E. Portanto, kbLkEb ≤ kLk.
Agora, kbLxkEb = kLxk para x ∈ E. Este fato implica que kbLkEb = kLk.
Defini¸c˜ao 3.3.5. Definimos o espectro de um operador L ∈ L(E), onde E ´e um espa¸co de normado real, como o espectro da complexifica¸c˜ao de L.
Uma propriedade do espectro de um operador limitado em um espa¸co de Banach ´e a compacidade. Este fato ´e provado na seguinte proposi¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao 3.3.6. Sejam E um espa¸co de Banach e L ∈ L(E). O espectro de L ´e um subconjunto compacto de C limitado por kLk.
Demonstra¸c˜ao. Provemos que ρ(L) ´e aberto em C. De fato, suponhamos que λ0 ∈ ρ(L).
Assim, L − λ0I ´e invers´ıvel. Como GL(E) ´e aberto (veja-se o Corol´ario 1.1.8), para λ
suficientemente perto de λ0, temos que L − λI ´e invers´ıvel em L(E). Este fato prova
que ρ(L) ´e aberto em C. Assim, σ(L) ´e fechado.
Agora vejamos que σ(L) ´e limitado por kLk. Se |λ| > kLk, ent˜ao kL/λk < 1. Se segue do Teorema 1.1.7 que L/λ − I ´e invers´ıvel em L(E), portanto L − λI ´e invers´ıvel. Consequentemente, λ ∈ ρ(L). Em conclus˜ao, σ(L) ´e limitado por kLk.
Outra propriedade do espectro ´e apresentada na seguinte proposi¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao 3.3.7. Sejam L ∈ L(E) e E1 e E2 subespa¸cos fechados de E, invariantes
por L e tais que E = E1 ⊕ E2. Ent˜ao,
σ(L) = σ(L1) ∪ σ(L2),
onde L1 e L2 s˜ao as restri¸c˜oes de L aos subespa¸cos E1 e E2, respectivamente.
Demonstra¸c˜ao. Seja λ ∈ C fixado. N˜ao ´e dif´ıcil ver que L−λI ´e invers´ıvel se, e somente se, as restri¸c˜oes L1 − λI|E1 e L2− λI|E2 s˜ao invers´ıveis. Da´ı, λ ∈ ρ(L) se, e somente
se, λ ∈ ρ(L1) e λ ∈ ρ(L2). Portanto,
ρ(L) = ρ(L1) ∩ ρ(L2).
Este fato prova que σ(L) = σ(L1) ∪ σ(L2).
Nesta parte da se¸c˜ao apresentaremos algumas propriedades do espectro dos ope- radores auto-adjuntos em espa¸cos de Hilbert que ser˜ao muito ´uteis de aqui para frente. Se n˜ao se diz o contrario, suporemos que H seja um espa¸co de Hilbert sobre K, onde K = R ou C. Abusando um pouco da nota¸c˜ao, no caso em que H seja real, identificaremos L com sua complexifica¸c˜ao.
Teorema 3.3.8. O espectro de um operador auto-adjunto L ∈ L(H) ´e um subconjunto dos n´umeros reais.
Demonstra¸c˜ao. Seja λ = a + ib ∈ C, com b 6= 0. Tomemos x ∈ H fixado. Dado que L − aI ´e auto-adjunto, temos
k(L − λI)xk2 = h(L − (a + ib)I)x, (L − (a + ib)I)xi
= k(L − aI)xk2− h(L − aI)x, ibxi − hibx, (L − aI)xi + kbxk2
= k(L − aI)xk2+ ih(L − aI)x, bxi − ihbx, (L − aI)xi + kbxk2 = k(L − aI)xk2+ ihbx, (L − aI)∗xi − ihbx, (L − aI)xi + kbxk2 = k(L − aI)xk2+ ihbx, (L − aI)xi − ihbx, (L − aI)xi + kbxk2 = k(L − aI)xk2+ kbxk2
≥ |b|kxk2.
Portanto, L − λI ´e injetor, pois |b| > 0. A Proposi¸c˜ao 1.1.10 implica que a restri¸c˜ao (L − λI) : H → Im(L − λI) do operador L − λI ´e invers´ıvel e que Im(L − λI) ´e fechada. Igualmente podemos provar que a restri¸c˜ao (L − λI) : H → Im(L − λI) do operador L − λI ´e invers´ıvel. Assim, Ker(L − λI) = {0}, isto ´e,
(Ker(L − λI))⊥ = H.
Provemos que Im(L − λI) = H. De fato, dado que Im(L − λI) ´e fechada, as Proposi¸c˜oes 3.1.5 e 3.2.9 e o Teorema 3.2.3 implicam que
Im(L − λI) = (Ker(L − λI)∗)⊥= (Ker(L∗− λI))⊥= (Ker(L − λI))⊥ = H. Consequentemente, (L − λI) : H → H ´e um isomorfismo. Logo, λ ∈ ρ(L).
Fixemos um operador auto-adjunto L ∈ L(H). Tomemos m = inf
kxk=1hLx, xi e M = supkxk=1hLx, xi.
Se segue do Teorema 3.2.15 que kLk = sup
kxk=1
|hLx, xi| = max{|m|, |M |}.
Da Proposi¸c˜ao 3.3.6 e o Teorema 3.3.8 temos que, se L ´e auto-adjunto, ent˜ao σ(L) ⊆ [−kLk, kLk].
´
E claro que [m, M ] ⊆ [−kLk, kLk]. Na pr´oxima proposi¸c˜ao mostraremos que σ(L) ⊆ [m, M ].
Observe que, para x ∈ H, hLx, xi ´e um n´umero real, pois hLx, xi = hx, Lxi = hLx, xi.
Proposi¸c˜ao 3.3.9. O espectro de um operador auto-adjunto L est´a contido no intervalo [m, M ], onde m = infkxk=1hLx, xi e M = supkxk=1hLx, xi.
Demonstra¸c˜ao. Provemos que, se λ = m − c, onde c > 0, ent˜ao λ ∈ ρ(L). De fato, para y ∈ H com y 6= 0, tomemos z = kyk−1y. Assim, y = kykz e kzk = 1. Portanto,
hLy, yi = kyk2hLz, zi ≥ kyk2 inf
kxk=1hLx, xi = hy, yim.
Logo, da desigualdade de Cauchy-Schwarz se segue
k(L − λI)ykkyk ≥ h(L − λI)y, yi = hLy, yi − hλy, yi ≥ (m − λ)hy, yi = ckyk2.
Da´ı, k(L − λI)yk ≥ ckyk. Dado que c > 0, a Proposi¸c˜ao 1.1.10 prova que a restri¸c˜ao L − λI : H → Im(L − λI) ´e invers´ıvel e que Im(L − λI) ´e fechada.
Provemos agora que o operador L − λI ´e sobrejetor. Suponhamos por contradi¸c˜ao que Im(L − λI) 6= H. Como Im(L − λI) ´e fechado, existe x0 6= 0 ∈ H ortogonal a
Im(L − λI). J´a que L ´e auto-adjunto e λ ∈ R,
0 = h(L − λI)x, x0i = hx, (L − λI)x0i para todo x ∈ H.
Assim, (L − λI)x0 = 0, contradizendo o fato de que k(L − λI)yk ≥ ckyk para todo
y ∈ H. Portanto, x0 = 0, isto ´e, Im(L−λI)⊥ = {0}. Este fato prova que Im(L−λI) = H
e L − λI ´e sobrejetor. Em conclus˜ao, se λ < m, ent˜ao λ ∈ ρ(L).
Analogamente podemos provar que, se λ = M + c, onde c > 0, ent˜ao λ ∈ ρ(L). Da´ı, se λ > M, λ ∈ ρ(L).
Consequentemente, σ(L) ⊆ [m, M ].
Defini¸c˜ao 3.3.10. Sejam L ∈ L(H) um operador auto-adjunto e A um subconjunto de H. Dizemos que L ´e positivo (negativo) em A, se hLx, xi > 0 (hLx, xi < 0) para todo x ∈ A, com x 6= 0.
Suponhamos que H1 seja um subespa¸co de H invariante por L. Se L ´e positivo
(negativo) em H1 dizemos que L ´e definido positivo (definido negativo) em H1. Se
hLx, xi ≥ 0 (hLx, xi ≤ 0) para todo x ∈ H1, diremos que L ´e n˜ao negativo (n˜ao
positivo) em H1. Quando H1 = H e L ´e definido positivo (negativo) em H, diremos que
L ´e definido positivo (definido negativo). Se L e T s˜ao dois operadores auto-adjuntos, usaremos a nota¸c˜ao L ≥ T quando L − T ´e um operador n˜ao negativo.
Vamos apresentar a decomposi¸c˜ao de H como soma direta do n´ucleo e dos espa¸cos espectrais negativo e positivo de um operador auto-adjunto L. Para este fato faremos uso da raiz quadrada de um operador limitado n˜ao negativo.
Defini¸c˜ao 3.3.11 (Raiz quadrada). Seja L ∈ L(H) um operador n˜ao negativo. Uma raiz quadrada de L ´e um operador R ∈ L(H) tal que R2 = L.
´
E claro que, se R ´e uma raiz quadrada de um operador n˜ao negativo L, ent˜ao −R tamb´em ´e uma raiz quadrada de L. Em geral, um operador n˜ao negativo pode ter v´arias ra´ızes quadradas. Mostraremos que todo operador n˜ao negativo possui uma ´
unica raiz quadrada n˜ao negativa. Para provar este fato precisaremos dos dois seguintes lemas, cujas provas podem ser encontradas, por exemplo, em [16], p´ag. 470, Teorema 9.3-1 e p´ag. 473, Teorema 9.3-3, respectivamente.
Lema 3.3.12 (Composi¸c˜ao de operadores positivos). Se dois operadores auto-adjuntos L e T em L(H) s˜ao n˜ao negativos e comutam, ent˜ao a composi¸c˜ao LT ´e n˜ao negativa. Lema 3.3.13 (Sequˆencia mon´otona). Seja (Ln)∞n=1 uma sequˆencia de operadores auto-
adjuntos em um espa¸co de Hilbert H tal que
L1 ≤ L2 ≤ ... ≤ Ln≤ ... ≤ T,
onde T ´e um operador auto-adjunto em L(H). Suponha que qualquer Lj comute com
T e com todo Lm. Ent˜ao, existe L ∈ L(H) tal que (Ln)∞n=1 converge pontualmente a L,
isto ´e, Lnx → Lx para todo x ∈ H. O operador L ´e auto-adjunto e satisfaz L ≤ T.
Teorema 3.3.14 (Teorema da raiz quadrada). Todo operador n˜ao negativo L ∈ L(H) possui uma raiz quadrada n˜ao negativa R, a qual ´e ´unica. O operador R comuta com todo operador em L(H) que comute com L.
Demonstra¸c˜ao. Primeiro provaremos o teorema com a hip´otese adicional L ≤ I. Veja- mos a existˆencia. Se L = 0, tomamos R = 0. Suponhamos que L 6= 0. Consideremos a sequˆencia (Rn)∞n=1, onde R0 = 0 e
Rn+1 = Rn+
1
2(L − R
2
n), n = 0, 1, 2, .... (3.3.4)
Provemos que Rn converge pontualmente a um R ∈ L(H) tal que R2 = L. ´E f´acil
ver que cada Rn ´e um polinˆomio em L, isto ´e, Rn = pn(L), onde pn : K → K ´e um
polinˆomio. Assim, todos os Rn s˜ao auto-adjuntos e todos comutam entre si. Al´em
disso, observe que, se M ∈ L(H) comuta com L, ent˜ao M comuta com cada Rn.
Mostremos que Rn ≤ I para todo n. De fato, para n = 0, R0 = 0 ≤ I. Seja n > 0
dado. J´a que I − Rn−1 ´e auto-adjunto,
h(I − Rn−1)2x, xi = h(I − Rn−1)x, (I − Rn−1)xi ≥ 0 para todo x ∈ H,
isto ´e, (I − Rn−1)2 ≥ 0. Como, por hip´otese, I − L ≥ 0, de (3.3.4) obtemos
0 ≤ 1 2(I − Rn−1) 2 +1 2(I − L) = 1 2(I − 2Rn−1− R 2 n−1) + 1 2(I − L) = I − Rn−1− 1 2(L − R 2 n−1) = I − Rn.
Consequentemente, Rn ≤ I.
Agora vejamos que Rn ≤ Rn+1 para todo n ∈ N. Para este fim, usaremos indu¸c˜ao
sobre n. Se n = 0, 0 = R0 ≤ R1 = 12L. Mostremos que, se Rn−1 ≤ Rn para um n
fixado, ent˜ao Rn≤ Rn+1. Dado que RnRn−1 = Rn−1Rn, de (3.3.4) se segue
Rn+1− Rn = Rn+ 1 2(L − R 2 n) − Rn−1− 1 2(L − R 2 n−1) = Rn− 1 2R 2 n− Rn−1+ 1 2R 2 n−1 = Rn(I − 1 2Rn) − Rn−1(I − 1 2Rn−1) = Rn(I − 1 2Rn) − 1 2RnRn−1− Rn−1(I − 1 2Rn−1) + 1 2Rn−1Rn = Rn[I − 1 2(Rn+ Rn−1)] − Rn−1[I − 1 2(Rn−1+ Rn)] = (Rn− Rn−1)[I − 1 2(Rn+ Rn−1)].
Por hip´otese, Rn− Rn−1≥ 0 e I −12(Rn+ Rn−1) ≥ 0. Al´em disso, dado que Rn− Rn−1
e I − 12(Rn+ Rn−1) comutam, se segue do Lema 3.3.12 que
(Rn− Rn−1)[I −
1
2(Rn+ Rn−1)] ≥ 0, isto ´e, Rn+1− Rn ≥ 0.
Acima se provou que (Rn)∞n=1 ´e mon´otona e Rn≤ I. Assim, o Lema 3.3.13 implica
que existe um operador auto-adjunto R ∈ L(H) tal que Rnx → Rx para todo x ∈ H.
De (3.3.4) temos 1
2(Lx − R
2
nx) = Rn+1x − Rnx → 0 quando n → ∞.
Portanto, Lx − R2x = 0 para todo x ∈ H. Este fato implica que L = R2. Al´em disso,
0 = R0 ≤ Rn para todo n, isto ´e, hRnx, xi ≥ 0 para todo x ∈ H. Consequentemente,
hRx, xi ≥ 0 para todo x ∈ H pela continuidade do produto interno. Logo, R ≥ 0. Seja S ∈ L(H) tal que SL = LS. Ent˜ao, RnS = SRn, pois todo operador que
comuta com L comuta com Rn. Da´ı, RnSx = SRnx para todo x ∈ H. Fazendo
n → ∞, temos RS = SR.
Provemos agora a unicidade. Sejam R e T ra´ızes quadradas n˜ao negativas do operador L. Ent˜ao, R2 = T2 = L. Al´em disso,
T L = T T2 = T2T = LT,
isto ´e, T comuta com L. Portanto, como se provou acima, RT = T R. Para x ∈ H, tomemos y = (R − T )x. Assim, hRy, yi ≥ 0 e hT y, yi ≥ 0, pois R e T s˜ao n˜ao negativos.
J´a que T R = RT e R2 = T2, obtemos
hRy, yi + hT y, yi = h(R + T )y, yi = h(R + T )(R − T )x, yi = h(R2− T2)x, yi = 0.
Logo,
hRy, yi = hT y, yi = 0.
Dado que R ´e n˜ao negativo, R possui uma raiz quadrada n˜ao negativa P . Assim, 0 = hRy, yi = hP2y, yi = hP y, P yi = kP yk2,
isto ´e, P y = 0. Da´ı,
Ry = P2y = P (P y) = 0.
Analogamente podemos provar que T y = 0. Ent˜ao, (R − T )y = 0. Como y = (R − T )x, temos
kRx − T xk2 = h(R − T )x, (R − T )xi = h(R − T )2x, xi = h(R − T )y, xi = 0.
Portanto, Rx − T x = 0 para todo x ∈ H, isto ´e, R = T .
Agora provemos o caso geral. Podemos supor que L 6= 0. Da desigualdade de Cauchy-Schwarz se segue
hLx, xi ≤ kLxkkxk ≤ kLkkxk2.
Logo, tomando Q = (1/kLk)L, obtemos
hQx, xi ≤ kxk2 = hIx, xi,
isto ´e, Q ≤ I. Como foi provado acima, Q tem uma ´unica raiz quadrada n˜ao negativa B. Portanto,
(kLk1/2B)2 = kLkB2 = kLkQ = L,
isto ´e, kLk1/2B ´e uma raiz quadrada n˜ao negativa de L. A unicidade da raiz quadrada
de L se segue da unicidade da raiz quadrada de Q.
Seja L ∈ L(H) um operador n˜ao negativo e R a raiz quadrada n˜ao negativa de L. Vejamos que
Ker R = Ker L e Im R = Im L.
De fato, ´e claro que Ker R ⊆ Ker L. Suponhamos que x ∈ Ker L. Assim, 0 = hLx, xi = hRRx, xi = hRx, Rxi = kRxk2.
Logo, Rx = 0. Portanto, Ker L ⊆ Ker R. Consequentemente, Ker R = Ker L. Por outro lado, das Proposi¸c˜oes 3.1.5 e 3.2.9 se segue
Al´em disso, observe que L ´e definido positivo em Im L. De fato, tomemos x ∈ Im L = Im R com x 6= 0. Assim, Rx 6= 0. Logo,
hLx, xi = hR2x, xi = hRx, Rxi = kRxk > 0. (3.3.5)
´
E f´acil ver que, se L ∈ L(H) ´e um isomorfismo e R ∈ L(H) ´e um operador tal que R2 = L, ent˜ao R ´e um isomorfismo. Consequentemente, a raiz quadrada n˜ao negativa
de um isomorfismo n˜ao negativo ´e um isomorfismo.
Observa¸c˜ao 3.3.15. Sejam L ∈ L(H) um operador n˜ao negativo e R sua raiz quadrada n˜ao negativa. De (3.3.5) se segue que L ´e definido positivo em Im L.
Por outro lado, seja L ∈ L(H) um operador n˜ao positivo. Assim, −L ´e n˜ao negativo. Pelo fato acima, −L ´e definido positivo em Im L. Da´ı, L ´e definido negativo em Im L. Podemos agora enunciar o teorema que apresenta a existˆencia e a unicidade da decomposi¸c˜ao polar de um operador linear limitado.
Teorema 3.3.16 (Teorema da decomposi¸c˜ao polar). Seja L um operador em L(H) (n˜ao necessariamente n˜ao negativo). Ent˜ao, existem dois ´unicos operadores R e O em L(H) com as seguintes propriedades:
i. R ´e n˜ao negativo,
ii. O ´e um operador ortogonal de Im R em Im L, iii. Ker O = Ker R = Ker L e
iv. L=OR.
Demonstra¸c˜ao. Vejamos primeiro a existˆencia. De fato, ´e f´acil ver que o operador L∗L ´
e n˜ao negativo em H. Do Teorema 3.3.14 se segue que existe um ´unico operador n˜ao negativo R ∈ L(H) tal que R2 = L∗L. Para x
1, x2 ∈ H,
hLx1, Lx2i = hL∗Lx1, x2i = hR2x1, x2i = hRx1, Rx2i. (3.3.6)
Assim,
kLxk = kRxk para todo x ∈ H. (3.3.7)
Este fato prova que
Ker R = Ker L.
Para cada y ∈ Im R, existe x ∈ H tal que y = Rx. Ponhamos
Oy = ORx = Lx. (3.3.8)
Vejamos que O define um operador ortogonal de Im R a Im L. De fato, primeiro provemos que O est´a bem definido. Suponhamos que, para algum y ∈ Im R, y =
Rx1 = Rx2. Da´ı, R(x1 − x2) = 0. Dado que Ker R = Ker L, ent˜ao L(x1 − x2) = 0.
Assim,
Oy = Lx1 = Lx2.
Consequentemente, O est´a bem definido sobre a imagem de R.
O operador O ´e linear, pois, se c ∈ K e y1, y2 ∈ Im R, ent˜ao y1 = Rx1 e y2 = Rx2,
onde x1, x2 ∈ H. Logo,
O(cy1+y2) = O(cRx1+Rx2) = OR(cx1+x2) = L(cx1+x2) = cLx1+Lx2 = cOy1+Oy2.
Al´em disso, de (3.3.6) temos hRx1, Rx2i = hLx1, Lx2i. Da´ı,
hOy1, Oy2i = hORx1, ORx2i = hLx1, Lx2i = hRx1, Rx2i = hy1, y2i.
Como O ´e sobrejetor, a Proposi¸c˜ao 3.2.6 implica que O ´e um operador ortogonal de Im R a Im L.
Se segue do Corol´ario 1.1.5 e a Proposi¸c˜ao 3.2.8 que O pode ser estendido a um operador ortogonal em Im R sobre Im L. O operador O ainda pode ser estendido a um operador em L(H), o qual pode ser denotado de novo por O, tomando Ox = 0 para todo x ∈ (Im R)⊥= Ker R. Assim, a igualdade (3.3.8) implica que
Lx = ORx para todo x ∈ H. ´
E claro que
Ker O = Ker R = Ker L.
Vejamos agora a unicidade. De fato, suponhamos que L = O1R1, onde R1 ´e n˜ao
negativo e O1 ´e ortogonal na imagem de R1. Assim,
L∗ = R1∗O1∗ = R1O1∗.
Dado que O1 ´e ortogonal na imagem de R1, ent˜ao
O1∗O1R1 = R1. (3.3.9)
Logo, L∗L = R1O∗1O1R1 = R21. Da´ı, R1 ´e a raiz quadrada n˜ao negativa de L∗L, a
qual ´e ´unica pelo Teorema 3.3.14. Portanto, R1 = R. A igualdade (3.3.7) determina
a unicidade do operador O em Im R e assim em H, pois, por hip´otese, O = 0 em (Im R)⊥ = Ker R. Consequentemente, a decomposi¸c˜ao L = OR ´e ´unica.
Defini¸c˜ao 3.3.17. A decomposi¸c˜ao L = OR, dada no teorema anterior, ´e chamada a decomposi¸c˜ao polar do operador L.
Suponhamos agora que L seja auto-adjunto e que OR seja a decomposi¸c˜ao polar de L. Dado que Ker L = Ker R, das Proposi¸c˜oes 3.1.5 e 3.2.9 temos
Im L = Im L∗ = (Ker L)⊥
= (Ker R)⊥ = Im R∗ = Im R.
Como R ´e n˜ao negativo, da Observa¸c˜ao 3.3.15 conclu´ımos que R ´e definido positivo em Im R = Im L. Al´em disso, j´a que Ker O = Ker L, se segue que
Ker O∗ = Ker L∗ = Ker L = Ker R. Provemos que O = O∗. De fato, se x ∈ Ker R,
0 = ORx = ROx, (3.3.10)
pois Ker O = Ker R pelo teorema anterior. ´E f´acil ver que ORO∗ ´e n˜ao negativo, pois R ´e n˜ao negativo. Agora, de (3.3.9) se segue O∗OR = R. Assim,
(ORO∗)2 = ORO∗ORO∗ = ORRO∗ = LL∗ = L2 = L∗L,
isto ´e, ORO∗ ´e uma raiz quadrada n˜ao negativa do operador L∗L. Dado que R ´e a raiz quadrada n˜ao negativa de L∗L, temos ORO∗ = R pela unicidade da raiz quadrada. Da´ı, RO = ORO∗O. Logo, RO = OR na imagem de R (O ´e ortogonal em Im R). Portanto,
ROx = ORx para todo x ∈ Im R. (3.3.11)
Se segue de (3.3.10) e (3.3.11) que
ROx = ORx para todo x ∈ H. (3.3.12)
Consequentemente,
L = L∗ = (OR)∗ = (RO)∗ = O∗R.
Da´ı, L = O∗R, o qual prova que O = O∗ pela unicidade da decomposi¸c˜ao polar. Observe que,
se x ∈ Im L, O2x = O∗Ox = x e se x ∈ (Im L)⊥, Ox = 0. (3.3.13) Vejamos que qualquer x ∈ Im L pode ser escrito de modo ´unico como
x = x++ x−, onde Ox+ = x+ e Ox−= −x−.
De fato, ´e f´acil ver que, para x ∈ H, x+ = (I + O)x/2 e x− = (I − O)x/2 satisfazem
as condi¸c˜oes acima. Suponhamos que x = x++ x−= z++ z−, onde
Assim, x+− z+ = z−− x−. Logo,
x+− z+ = O(x+− z+) = O(z−− x−) = −(z−− x−).
Portanto, x+− z+ = z−− x− = 0.
Sejam H±(L) os subespa¸cos de Im L consistentes de todos os x tais que Ox = ±x,
isto ´e,
H+(L) = {x ∈ H : Ox = x} e H−(L) = {x ∈ H : Ox = −x}.
Da´ı,
Im L = H+(L) ⊕ H−(L).
Vejamos que os subespa¸cos H+(L) e H−(L) s˜ao fechados. Seja (xn)∞n=1 uma sequˆen-
cia em H+(L) convergente a x ∈ H. Ent˜ao, Oxn = xn para todo n ∈ N. Agora,
kOx − xk = kOx − Oxn+ Oxn− xk = kOx − Oxn+ xn− xk ≤ kOx − Oxnk + kxn− xk.
Como xn → x, temos que Oxn → Ox. Consequentemente, Ox = x e x ∈ H+(L).
Analogamente, H−(L) ´e fechado.
Provemos agora que H+(L) e H−(L) s˜ao ortogonais. De fato, se x+ ∈ H+(L) e
x− ∈ H−(L), ent˜ao Ox+ = x+ e Ox− = −x−. Da´ı,
hx+, x−i = hx+, O∗Ox−i = hOx+, Ox−i = hx+, −x−i = −hx+, x−i.
Assim, hx+, x−i = 0, o que prova que H+(L) e H−(L) s˜ao ortogonais.
Dado que Im L = H+(L) ⊕ H−(L) e Ker L = (Im L)⊥, obtemos a decomposi¸c˜ao
H = H+(L) ⊕ H−(L) ⊕ Ker L, (3.3.14)
sendo os trˆes subespa¸cos dois a dois ortogonais. Agora, como O = O∗ e L = OR = RO, temos
OL = O∗L = R = LO∗ = LO. Logo,
OLx = LOx = Lx se x ∈ H+(L) e OLx = LOx = −Lx se x ∈ H−(L).
Da´ı, os subespa¸cos H+(L) e H−(L) s˜ao invariantes por L.
O operador L tamb´em comuta com R, pois
RL = RRO = L2O = OL2 = ORR = LR. Por outro lado, para x ∈ H+(L), temos
Como R ´e definida positiva em Im L, ent˜ao L ´e definida positiva em H+(L). Agora, se
x ∈ H−(L), ent˜ao
Lx = −LOx = −Rx. Portanto, L ´e definida negativa em H−(L).
Observe que as proje¸c˜oes ortogonais sobre os espa¸cos H+(L), H−(L) e Ker L s˜ao,
respectivamente, PH+(L)= 1 2(O 2+ O), P H−(L)= 1 2(O 2− O) e P Ker L = I − O2.
De fato, se x ∈ H, ent˜ao x = x++x−+x0, onde x+∈ H+(L), x− ∈ H−(L) e x0 ∈ Ker L.
Logo, de (3.3.13) temos 1 2(O 2+ O)x = 1 2(O 2(x ++ x−+ x0) + O(x++ x−+ x0)) = 1 2(x++ x−+ x+− x−) = x+. Dado que O ´e auto-adjunto, PH+(L) ´e auto-adjunto. Consequentemente, pela Proposi-
¸c˜ao 3.2.13, PH+(L) ´e a proje¸c˜ao ortogonal sobre H+(L), pois PH+(L) ´e auto-adjunto e
PH2
+(L)= PH+(L).
Analogamente podemos provar que PH−(L)e PKer Ls˜ao as proje¸c˜oes ortogonais sobre
H−(L) e PKer L, respectivamente. Na Se¸c˜ao 3 do Cap´ıtulo 4 veremos outra express˜ao
para estas proje¸c˜oes e, al´em disso, mostraremos que elas dependem continuamente do operador.
Provaremos que, para um operador auto-adjunto L ∈ L(H), a decomposi¸c˜ao dada em (3.3.14) ´e ´unica no seguinte sentido: Se existir dois subespa¸cos ortogonais H1 e H2
tais que a soma H = H1 ⊕ H2 ⊕ Ker L ´e ortogonal e L ´e definido positivo em H1 e
definido negativo em H2, ent˜ao H+(L) = H1 e H−(L) = H2. Antes de provar este fato,
vejamos primeiro o seguinte lema.
Lema 3.3.18. Sejam L ∈ L(H) um operador auto-adjunto e OR a decomposi¸c˜ao polar de L. Se T ∈ L(H) comuta com L, ent˜ao T comuta com R e O.
Demonstra¸c˜ao. O operador T comuta com o operador resolvente de L, pois, se λ ∈ ρ(L), ent˜ao
(L − λI)−1T = (L − λI)−1T (L − λI)(L − λI)−1 = (L − λI)−1(L − λI)T (L − λI)−1 = T (L − λI)−1.
Analogamente, T comuta com a resolvente de L2. Assim, pelo Teorema 3.3.14, T
comuta com a raiz quadrada n˜ao negativa de L2, que denotamos por R.