Veremos nesta se¸c˜ao uma rela¸c˜ao de grande importˆancia que liga os operadores com- pactos aos operadores de Fredholm. Esta rela¸c˜ao nos permitir´a provar facilmente que a soma de um operador compacto e um operador de Fredholm ´e um operador de Fredholm.
Defini¸c˜ao 2.4.1. Sejam L, T ∈ L(E, F ) dados. Dizemos que L e T s˜ao congruentes m´odulo operador compacto se L − T ´e compacto, e escrevemos L ∼= T .
Em alguns livros os operadores congruentes m´odulo operador compacto s˜ao chama- dos de Calkin equivalentes.
Vejamos que a congruˆencia ∼= ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia. De fato, sejam L, T, S ∈ L(E, F ). Esta congruˆencia ´e reflexiva, pois claramente L ∼= L. Agora, se L ∼= T , ent˜ao L − T ´e compacto. Assim, T − L = −(L − T ) ´e compacto. Da´ı, T ∼= L, o que prova que a congruˆencia ´e sim´etrica. Por ´ultimo vejamos que ela ´e transitiva. Se L ∼= T e T ∼= S, ent˜ao L − T e T − S s˜ao operadores compactos. Como a soma de operadores compactos ´e compacta, temos que
L − T + T − S = L − S ´
e compacto, isto ´e, L ∼= S.
Outra propriedade dos operadores congruentes m´odulo operador compacto ´e apre- sentada na seguinte proposi¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao 2.4.2. Sejam L, T ∈ L(E, F ) e L1, T1 ∈ L(G, E), onde E, F e G s˜ao
espa¸cos de Banach. Suponhamos que L ∼= T e L1 ∼= T1. Ent˜ao, LL1 ∼= T T1.
Demonstra¸c˜ao. De fato, como L − T e L1 − T1 s˜ao compactos, se segue do Teorema
2.3.10 que (L − T )L1 e T (L1− T1) s˜ao compactos. A soma de operadores compactos ´e
compacta, portanto (L − T )L1+ T (L1− T1) ´ e compacto. Assim, LL1− T T1 = (L − T )L1+ T (L1 − T1) ´
e compacto, o que prova a proposi¸c˜ao.
Observe que, se L ∼= T e L1 ∼= T1, onde L, T, L1, T1 ∈ L(E, F ), ent˜ao
L + L1 ∼= (T + T1).
Dizemos que L : E → F ´e invers´ıvel m´odulo operador compacto se existe um operador limitado L1 : F → E tal que
L1L ∼= IE e LL1 ∼= IF,
onde IE e IF denotam as identidades de E e F , respectivamente. Neste caso dizemos
que L1 ´e uma inversa de L m´odulo operador compacto.
Observa¸c˜ao 2.4.3. Suponhamos que, para L ∈ L(E, F ), existam L1, L2 ∈ L(F, E)
tais que
LL1 ∼= IF e L2L ∼= IE.
Vejamos que L1 ∼= L2 e que, al´em disso, L1 e L2 s˜ao inversas de L m´odulo operador
compacto. De fato, por hip´otese,
K1 = LL1− IF e K2 = L2L − IE (2.4.1)
s˜ao compactos. Assim, temos as rela¸c˜oes seguintes LL1− IF = K1
L2LL1− L2 = L2K1
(K2+ IE)L1− L2 = L2K1
K2L1 + L1− L2 = L2K1
L1− L2 = L2K1− K2L1.
Este fato prova que K1,2 = L1− L2 ´e compacto.
Agora, vejamos que L2 ´e uma inversa de L m´odulo operador compacto. Dado que
L1 = L2+ K1,2, onde K1,2 ´e compacto, de (2.4.1) temos
LL2− IF = K1− LK1,2.
Se segue do Teorema 2.3.10 que LK1,2 ´e compacto. Logo, LL2 − IF = K1 − LK1,2
´
e compacto, pois a soma de operadores compactos ´e compacta. Consequentemente, LL2 − IF e L2L − IE s˜ao compactos. Em conclus˜ao, L2 ´e uma inversa de L m´odulo
operador compacto.
Analogamente, L1 ´e uma inversa de L m´odulo operador compacto.
No pr´oximo teorema mostraremos que L ´e um operador de Fredholm se, e somente se, L ´e invers´ıvel m´odulo operador compacto.
Teorema 2.4.4. Um operador L ∈ L(E, F ) ´e de Fredholm se, e somente se, ´e invers´ıvel m´odulo operadores compactos. Podemos escolher uma inversa de L m´odulo operadores compactos que tenha imagem de codimens˜ao finita.
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos primeiro que L ∈ L(E, F ) seja um operador de Fredholm e provemos que existe S ∈ L(F, E) tal que IE−SL e IF−LS s˜ao operadores compactos.
Expressemos os espa¸cos E e F nas seguintes somas diretas E = G ⊕ Ker L e F = Im L ⊕ H,
onde G e H s˜ao subespa¸cos fechados de E e F, respectivamente. Assim, L−1 : Im L → G existe e ´e limitado pelo Teorema da aplica¸c˜ao aberta. Tomemos P : Im L ⊕ H → Im L a proje¸c˜ao sobre Im L e i : G ,→ G ⊕ Ker L a inclus˜ao. Seja S ∈ L(F, E) a composi¸c˜ao iL−1P.
Agora, se x + y ∈ Im L ⊕ H, com x ∈ Im L e y ∈ H, ent˜ao (IF − LS)(x + y) = IF(x + y) − L(iL−1P )(x + y)
= x + y − LiL−1x = x + y − x = y.
Este fato prova que IF − LS ´e a proje¸c˜ao sobre H. Al´em disso,
dim Im(IF − LS) = dim H = coKer L < ∞,
isto ´e, IF − LS ´e compacto.
Por outro lado, se x + y ∈ G ⊕ Ker L, onde x ∈ G e y ∈ Ker L, temos (IE − SL)(x + y) = IE(x + y) − iL−1P L(x + y)
= x + y − iL−1P Lx = x + y − L−1Lx = x + y − x = y,
isto ´e, IE− SL ´e a proje¸c˜ao sobre Ker L. Dado que
dim Im(IE − SL) = dim Ker L < ∞,
IE− SL ´e compacto.
Os fatos acima mostram que S ´e uma inversa de L m´odulo operador compacto. Reciprocamente, suponhamos que T ∈ L(F, E) seja uma inversa de L m´odulo operadores compactos. Assim, K = IE − T L ´e compacto. Portanto, T L = IE − K ´e
de Fredholm. Este fato prova que Ker(T L) tem dimens˜ao finita. Dado que Ker L ⊆ Ker(T L), temos dim Ker L < ∞. Analogamente, LT ´e de Fredholm. Se segue da Proposi¸c˜ao 1.2.13 que LT tem imagem fechada de codimens˜ao finita. Al´em disso, Im(LT ) ⊆ Im L. Logo, Im L ´e fechado e tem codimens˜ao finita. Em conclus˜ao, L ´e de Fredholm.
Terminamos o cap´ıtulo mostrando que a soma de um operador compacto e um operador de Fredholm ´e tamb´em um operador de Fredholm, estendendo o Teorema 2.1.9.
Teorema 2.4.5. Se L ∈ L(E, F ) ´e um operador de Fredholm e K ∈ L(E, F ) ´e um operador compacto, ent˜ao L + K ´e de Fredholm. Al´em disso,
ind(L + K) = ind L.
Demonstra¸c˜ao. Sejam L ∈ Φ(E, F ) e K ∈ K(E, F ) fixados. O Teorema 2.4.4 implica que existem L1 ∈ L(F, E), K1 ∈ K(F, F ) e K2 ∈ K(E, E) tais que
LL1− IF = K1 e L1L − IE = K2.
Assim,
LL1+ KL1− IF = K1+ KL1 e L1K + L1L − IE = K2+ L1K.
Da´ı,
(L + K)L1− IF = K1+ KL1 e L1(L + K) − IE = K2+ L1K. (2.4.2)
Dado que K1 + KL1 e K2 + L1K s˜ao compactos, se segue de (2.4.2) que o operador
L1 ´e uma inversa de L + K m´odulo operador compacto. Portanto, pelo Teorema 2.4.4
L + K ´e de Fredholm.
Por outro lado, tK ´e um operador compacto para todo t ∈ R. Assim, L + tK ´e de Fredholm para 0 6 t 6 1. Dado que a aplica¸c˜ao ind ´e cont´ınua, temos
ind(L + K) = ind(L + tK) = ind L, e o teorema ´e provado.
Cap´ıtulo 3
Operadores de Fredholm
auto-adjuntos em espa¸cos de
Hilbert
O prop´osito deste cap´ıtulo ´e apresentar algumas das propriedades dos operadores de Fredholm em espa¸cos de Hilbert. Para este fim, nas duas primeiras se¸c˜oes lembraremos alguns resultados conhecidos da an´alise funcional dos espa¸cos de Hilbert, assim como a defini¸c˜ao do operador adjunto. Uma aten¸c˜ao especial ser´a dada aos operadores auto- adjuntos, como premissa para a constru¸c˜ao do fluxo espectral. Estes resultados ser˜ao de grande importˆancia no resto do trabalho.
Na terceira se¸c˜ao mostraremos algumas no¸c˜oes b´asicas da teoria espectral. Lembra- remos a defini¸c˜ao do espectro de um operador limitado. Al´em disso, para um operador auto-adjunto L ∈ L(H), onde H ´e um espa¸co de Hilbert, veremos a decomposi¸c˜ao espectral de H na soma direta dos subespa¸cos espectrais positivo e negativo e o n´ucleo do operador L.
Na quarta se¸c˜ao provaremos que, se H ´e um espa¸co de Hilbert de dimens˜ao infinita, real e separ´avel, o conjunto dos operadores de Fredholm auto-adjuntos, que denotare- mos por ΦS(H), possui trˆes componentes conexas ligadas `a estrutura dos subespa¸cos
espectrais.
Nas trˆes primeiras se¸c˜oes, se n˜ao se diz o contrario, H representar´a um espa¸co de Hilbert de dimens˜ao finita ou infinita, com produto interno denotado por h· , ·i, sobre o corpo K, onde K ´e R ou C, em quanto a quarta se¸c˜ao H ser´a considerado real.
3.1
Preliminares: algumas propriedades dos espa-
¸
cos de Hilbert
Como t´ınhamos falado acima, sublinharemos alguns fatos particulares inerentes aos espa¸cos de Hilbert (reais ou complexos) e aos operadores limitados em espa¸cos de Hilbert que ser˜ao usados no resto do trabalho. O leitor pode observar que alguns dos resultados s˜ao v´alidos no caso em que H seja um espa¸co com produto interno n˜ao necessariamente completo.
Uma das propriedades do produto interno ´e a continuidade, como mostraremos no seguinte lema.
Lema 3.1.1 (Continuidade do produto interno). Se (xn)∞n=1 e (yn)∞n=1s˜ao duas sequˆen-
cias em H tais que xn → x e yn→ y, onde x, y ∈ H, ent˜ao hxn, yni → hx, yi.
Demonstra¸c˜ao. Da defini¸c˜ao do produto interno e da desigualdade de Cauchy-Schwarz (ver (1.1.2)), se segue
|hx, yi − hxn, yni| = |hx, yi − hxn, yi + hxn, yi − hxn, yni| ≤ kx − xnkkyk + kxnkky − ynk.
Como kx − xnk → 0 e ky − ynk → 0, temos hxn, yni → hx, yi.
Defini¸c˜ao 3.1.2. Seja A um subconjunto de H. Dizemos que x ∈ H ´e ortogonal a A, se hx, yi = 0 para todo y ∈ A. O conjunto ortogonal de um subconjunto A de H, denotado por A⊥, ´e o conjunto dos x ∈ H que s˜ao ortogonais a A. Se A ´e um subespa¸co de H, A⊥ ser´a chamado de complementar ortogonal de A.
Vejamos algumas das propriedades que possui um conjunto ortogonal.
Proposi¸c˜ao 3.1.3. Se A ´e um subconjunto de H, ent˜ao A⊥ ´e um subespa¸co fechado de H e A⊥ = A⊥.
Demonstra¸c˜ao. Primeiro vejamos que A⊥´e um subespa¸co de H. De fato, sejam x, y ∈ A⊥ e λ ∈ K. Assim, se a ∈ A, temos
hλx + y, ai = hλx, ai + hy, ai = λhx, ai + hy, ai = 0, isto ´e, λx + y ∈ A⊥. Este fato prova que A⊥ ´e um subespa¸co de H.
Agora mostremos que A⊥´e fechado. Seja (xn)∞n=1uma sequˆencia em A⊥convergente
a x ∈ H. Da´ı, se a ∈ A e n ∈ N, a desigualdade de Cauchy-Schwarz implica que |hx, ai| = |hx, ai − hxn, ai| = |hx − xn, ai| ≤ kx − xnkkak.
Dado que xn → x, ent˜ao hx, ai = 0 para todo a ∈ A, isto ´e, x ∈ A⊥, como se queria
Por ´ultimo, provemos que A⊥= A⊥. ´E claro que A⊥⊆ A⊥, pois A ⊆ A. Por outro
lado, seja x ∈ A⊥. Qualquer a ∈ A ´e o limite de uma sequˆencia (an)∞n=1 em A. Assim,
|hx, ai| = |hx, ai − hx, ani| = |hx, an− ai| ≤ kxkkan− ak.
Portanto, hx, ai = 0 e a ∈ A⊥. Consequentemente, A⊥= A⊥.
Teorema 3.1.4 (Soma direta). Seja H1 um subespa¸co completo de H, isto ´e, H1 ´e um
espa¸co de Banach. Ent˜ao,
H = H1⊕ H1⊥.
Demonstra¸c˜ao. Seja x ∈ H fixado. Provemos que existe x1 ∈ H1 tal que
kx − x1k = inf z∈H1
kx − zk
e x − x1 ⊥ H1. De fato, para n ∈ N, seja yn ∈ H1 tal que kx − ynk2 < d2+ 1/n, onde
d = infz∈H1kx − zk. Vejamos que (yn)
∞
n=1 ´e uma sequˆencia de Cauchy. Consideremos
x − yn e x − ym. Da lei do paralelogramo temos
k(x − yn) + (x − ym)k2+ k(x − yn) − (x − ym)k2 = 2kx − ynk2+ 2kx − ymk2. Assim, como yn− ym 2 ∈ H1, ent˜ao kym− ynk2 = 2kx − ynk2+ 2kx − ymk2 − k2x − (yn− ym)k2 = 2kx − ynk2+ 2kx − ymk2 − 4kx − yn− ym 2 k 2 ≤ 2(d2+ 1/n) + 2(d2+ 1/m) − 4d2 = 2 n + 2 m.
Consequentemente, dado que H1 ´e completo, (yn)∞n=1converge a algum ponto x1 ∈ H1.
Portanto,
kx − x1k = lim
n→∞kx − ynk = d.
Ponhamos x2 = x − x1. Assumamos que x2 n˜ao ´e ortogonal a H1. Assim, existe
z ∈ H1 tal que hx2, zi > 0. Ent˜ao, para ε > 0, temos
kx − (x1+ εz)k2 = kx2− εzk2 = hx2− εz, x2− εzi
= hx2, x2i − 2εhx2, zi + ε2hz, zi
= d2− ε(2hx2, zi − εkzk2).
J´a que hx2, zi > 0, para ε suficientemente pequeno, 2hx2, zi − εkzk2 > 0. Da´ı, kx −
(x1+ εz)k < d, contradizendo a defini¸c˜ao de d. Assim, x2 ⊥ H1. Logo, para qualquer
x ∈ H podemos achar x1 ∈ H1, x2 ∈ H1⊥ tal que x = x1+ x2. Em conclus˜ao,
H = H1+ H1⊥.
´
Observe que o teorema anterior ´e v´alido tamb´em no caso em que H seja um espa¸co com produto interno n˜ao necessariamente completo. Como consequˆencia obtemos que, para qualquer subespa¸co completo H1 de um espa¸co com produto interno H, existe
um complementar fechado H2 = H1⊥ de H1, isto ´e, H = H1 ⊕ H2. Por outro lado,
se E ´e um espa¸co normado (ou de Banach), que n˜ao tem estrutura de espa¸co com produto interno, este fato n˜ao ´e sempre v´alido, isto ´e, existem subespa¸cos completos de E que n˜ao tˆem complementar fechado. Por´em, como vimos na Proposi¸c˜ao 1.2.4, todo subespa¸co de dimens˜ao finita de um espa¸co normado possui um complementar fechado.
Outra propriedade que possui o complementar ortogonal e que ser´a usada nas pr´oximas se¸c˜oes ´e dada na seguinte proposi¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao 3.1.5. Se H1 ´e um subespa¸co de H, ent˜ao H1 = H1⊥⊥.
Demonstra¸c˜ao. Seja x ∈ H1 fixado. Ent˜ao, hx, yi = 0 para todo y ∈ H1⊥. Assim,
x ∈ H1⊥⊥. Este fato prova que H1 ⊆ H1⊥⊥. Da´ı, H1 ⊆ H1⊥⊥, pois H ⊥⊥
1 ´e fechado.
Por outro lado, se segue do teorema anterior que H = H1⊕H1 ⊥
. Logo, se x ∈ H1⊥⊥, ent˜ao x = y + z onde y ∈ H1 ⊆ H1⊥⊥ e z ∈ H1
⊥
. Dado que H1⊥⊥´e um espa¸co vetorial, temos z = x − y ∈ H1⊥⊥. Portanto, hv, zi = 0 para todo v ∈ H1⊥ = H1
⊥
. Em particular, hz, zi = 0, pois z ∈ H1⊥. Isto ´e, z = 0, e x = y ∈ H1. Consequentemente,
H1 = H1⊥⊥.
Observe que, se H = H1⊕ H2, onde H1 e H2 s˜ao dois subespa¸cos ortogonais de H,
ent˜ao, para x1, y1 ∈ H1 e x2, y2 ∈ H2, temos
hx1+ x2, y1+ y2i = hx1, y1i + hx2, y2i.
Portanto, se x = x1 + x2, ent˜ao
kxk =pkx1k2+ kx2k2.
A igualdade acima ´e conhecida como o Teorema de Pit´agoras: Se x1 e x2 s˜ao dois
elementos ortogonais de um espa¸co com produto interno, ent˜ao kx1+ x2k =pkx1k2+ kx2k2.
.
Por outro lado, se H1 e H2 s˜ao espa¸cos de Hilbert com produtos internos denotados
por h· , ·i1 e h· , ·i2, respectivamente, ent˜ao H = H1× H2 ´e um espa¸co de Hilbert com
o produto interno dado por
Assim,
k(x1, x2)k =
q
kx1k21+ kx2k22 para (x1, x2) ∈ H1× H2.
Note que com este produto interno H1× {0} e {0} × H2 s˜ao subespa¸cos ortogonais
de H = H1× H2 e
H = [H1× {0}] ⊕ [{0} × H2]. (3.1.2)