pa¸cos de Hilbert
O prop´osito desta se¸c˜ao ´e mostrar que, se H ´e um espa¸co de Hilbert real, de dimens˜ao infinita e separ´avel, o conjunto ΦS(H) dos operadores de Fredholm auto-adjuntos em
L(H) possui trˆes componentes conexas que s˜ao:
i. O conjunto dos operadores essencialmente positivos, denotado por Φ+S(H), que consiste dos operadores em ΦS(H) tais que seu subespa¸co espectral negativo tem
ii. O conjunto dos operadores essencialmente negativos, denotado por Φ−S(H), que consiste dos operadores em ΦS(H) tais que seu subespa¸co espectral positivo tem
dimens˜ao finita.
iii. O conjunto dos operadores fortemente indefinidos, denotado por Φi
S(H), que con-
siste dos operadores com subespa¸cos espectrais positivo e negativo de dimens˜ao infinita.
Em particular, provaremos que Φ+S(H) e Φ−S(H) s˜ao convexos e que ΦiS(H) ´e conexo por caminhos. A n˜ao trivial prova destas conhecidas propriedades n˜ao se encontram facilmente na literatura. Decidimos portanto providenci´a-la nesta se¸c˜ao.
Em s´ımbolos, podemos escrever
ΦS(H) = Φ+S(H) ∪ Φ − S(H) ∪ Φ i S(H). ´ E claro que Φ+S(H), Φ−S(H) e Φi
S(H) s˜ao dois a dois disjuntos.
Os conjuntos Φ+S(H), Φ−S(H) e Φi
S(H) s˜ao analogamente definidos quando H ´e um
espa¸co de Hilbert real n˜ao necessariamente separ´avel ou quando H tem dimens˜ao finita. Observe que, se H tem dimens˜ao finita, ent˜ao Φ+S(H) = Φ−S(H) = LS(H) e ΦiS(H) ´e
vazio.
Al´em dos fatos anteriores, apresentaremos algumas propriedades dos operadores de Fredholm auto-adjuntos nos espa¸cos de Hilbert reais. Nesta se¸c˜ao, se n˜ao se diz o contrario, H denotar´a um espa¸co de Hilbert real de dimens˜ao finita ou infinita.
De (3.2.5) temos que, se L ∈ L(H), ent˜ao H = Im L∗⊕ Ker L. No cap´ıtulo anterior
provamos que a imagem de um operador de Fredholm ´e fechada. Consequentemente, se L ´e um operador de Fredholm auto-adjunto,
H = Im L ⊕ Ker L. (3.4.1)
A seguinte proposi¸c˜ao ´e uma outra consequˆencia de (3.2.5).
Proposi¸c˜ao 3.4.1. Seja L um operador auto-adjunto. Suponhamos que a imagem de L seja fechada e que dim Ker L < ∞. Ent˜ao, L ´e um operador de Fredholm e ind L = 0. Demonstra¸c˜ao. Dado que Im L ´e fechada, de (3.2.5) temos
H = Im L∗⊕ Ker L = Im L ⊕ Ker L.
Logo,
dim Ker L = dim(Im L)⊥ = dim coKer L. Este fato prova que L ´e de Fredholm e que ind L = 0.
Observa¸c˜ao 3.4.2. Da proposi¸c˜ao anterior se segue que o ´ındice de qualquer operador de Fredholm auto-adjunto ´e 0. Portanto, se L ´e um operador de Fredholm auto-adjunto, temos que Ker L = {0} se, e somente se, Im L = H.
Seja E um espa¸co de Banach real. Observe que, se L ∈ L(E) ´e um operador de Fredholm de ´ındice 0 (n˜ao necessariamente auto-adjunto), ent˜ao 0 ∈ ρ(L) ou 0 ´e um autovalor de L. De fato, suponhamos que 0 ∈ σ(L). Como ind L = 0,
dim Ker L = dim coKer L.
Assim, dado que L ´e n˜ao invers´ıvel, pois 0 ∈ σ(L), e E ´e de Banach, se segue que L ´e n˜ao injetor ou n˜ao ´e sobrejetor. Em ambos os casos temos que dim Ker L > 0, isto ´e, 0 ´e um autovalor de L.
Vejamos algumas outras propriedades que possuem os operadores de Fredholm auto- adjuntos.
Proposi¸c˜ao 3.4.3. Seja L ∈ L(H) um operador de Fredholm auto-adjunto. Ent˜ao, 0 n˜ao ´e um ponto de acumula¸c˜ao de σ(L).
Demonstra¸c˜ao. De fato, de (3.4.1) temos que H = Im L ⊕ Ker L (Ker L pode ser {0}). Seja
L = L1 0
0 0
(3.4.2) a matriz de operadores de L a respeito da decomposi¸c˜ao de H. ´E claro que L1 ´e um
automorfismo de Im L. Como GL(Im L) ´e aberto em L(Im L), existe um ε > 0 tal que, se |λ| < ε, ent˜ao L1− λI|Im L ´e invers´ıvel. Observe que, para |λ| < ε e λ 6= 0,
(L − λI)−1 = L1− λI|Im L 0 0 −λI|Ker L −1 = (L1 − λI|Im L) −1 0 0 −1 λI|Ker L . Logo, (L − λI)−1 ∈ L(H). Este fato prova que existe uma vizinhan¸ca V de 0 tal que L − λI ´e invers´ıvel para todo λ ∈ V com λ 6= 0. Assim, 0 n˜ao ´e ponto de acumula¸c˜ao de σ(L).
Observa¸c˜ao 3.4.4. Outra propriedade dos operadores de Fredholm auto-adjuntos ´e que, para todo operador de Fredholm auto-adjunto L, existe um operador auto-adjunto com imagem de dimens˜ao finita K tal que L + K ´e um isomorfismo auto-adjunto. Este fato se obt´em tomando K = PKer L, a proje¸c˜ao ortogonal sobre o Ker L, na Proposi¸c˜ao
2.1.7 e aplicando o Teorema da aplica¸c˜ao aberta (lembramos que a Proposi¸c˜ao 2.1.7 atua em espa¸cos vetoriais).
Observe que, se L ´e um operador de Fredholm auto-adjunto, ent˜ao Im L = H+(L) ⊕ H−(L),
onde H+(L) e H−(L) s˜ao os subespa¸cos espectrais positivo e negativo de L, respecti-
vamente (veja-se o Teorema 3.3.19). Consequentemente, dado que H+(L) e H−(L) s˜ao
invariantes por L, as restric˜oes
de L s˜ao isomorfismos. Destacamos que, se L n˜ao for de Fredholm, temos que Im L = H+(L) ⊕ H−(L); neste caso, L− e L+ s˜ao injetores, mas n˜ao necessariamente s˜ao
isomorfismos.
Para provar que os espa¸cos Φ+S(H) e Φ−S(H) s˜ao convexos, primeiro vejamos o seguinte resultado conhecido na teoria dos operadores em espa¸cos de Hilbert, do qual damos a prova por raz˜oes de precis˜ao.
Lema 3.4.5. Suponhamos que H seja um espa¸co de Hilbert real ou complexo. Se L : H → H ´e um isomorfismo definido positivo, ent˜ao existe l > 0 tal que
inf
kxk=1hLx, xi ≥ l.
Demonstra¸c˜ao. De fato, sejam x, y ∈ H e tais que hLx, yi 6= 0. Para a ∈ R, tomemos wa= x + ahLx, yiy. Como L ´e definido positivo, temos
0 ≤ hLwa, wai
= hL(x + ahLx, yiy), x + ahLx, yiyi
= hLx, xi + hLx, ahLx, yiyi + hL(ahLx, yiy), xi + hL(ahLx, yiy), ahLx, yiyi = hLx, xi + ahLx, yihLx, yi + ahLx, yihLy, xi + a2hLx, yihLx, yihLy, yi = hLx, xi + ahLx, yihLx, yi + ahLx, yihLx, yi + a2hLx, yihLx, yihLy, yi. Portanto, para todo a ∈ R,
hLx, xi + 2ahLx, yihLx, yi + a2hLx, yihLx, yihLy, yi ≥ 0.
Consequentemente, tomando a parte esquerda da desigualdade anterior como um poli- nˆomio em a, temos que o discriminante deste polinˆomio ´e menor ou igual que 0, isto ´
e,
∆ = (2hLx, yihLx, yi)2− 4hLx, yihLx, yihLy, yihLx, xi ≤ 0.
Dado que hLx, yi 6= 0, hLx, yihLx, yi > 0. Ent˜ao, hLx, yihLx, yi − hLy, yihLx, xi ≤ 0, isto ´e,
hLx, yihLx, yi ≤ hLy, yihLx, xi. (3.4.3)
´
E claro que a desigualdade anterior tamb´em vale quando hLx, yi = 0, pois L ´e definido positivo. Portanto, a desigualdade (3.4.3) vale para todo x, y ∈ H. Da´ı, se kxk = 1 e y = Lx, temos
kLxk4 ≤ hL2x, LxihLx, xi ≤ kL2xkkLxkhLx, xi ≤ kLkkLxk2hLx, xi, isto ´e,
Dado que L ´e um isomorfismo, existe l1 > 0 tal que l1 ≤ inf kxk=1kLxk 2. Tomando l = l1/kLk, de (3.4.4) temos l ≤ inf kxk=1hLx, xi,
o que prova o lema.
Observa¸c˜ao 3.4.6. Seja L ∈ L(H) un isomorfismo definido negativo em um espa¸co de Hilbert real ou complexo H. Do lema anterior se segue que existe l > 0 tal que
l ≤ inf
kxk=1h−Lx, xi,
pois −L ´e um isomorfismo definido positivo. Observe que
inf
kxk=1h−Lx, xi = − supkxk=1hLx, xi.
Portanto, existe l0 = −l < 0 tal que
l0 ≥ sup
kxk=1
hLx, xi.
Como vimos no come¸co desta se¸c˜ao, se H tem dimens˜ao finita, ent˜ao Φ+S(H) = Φ−S(H) = LS(H).
Neste caso, ´e claro que Φ+S(H) e Φ−S(H) s˜ao subconjuntos convexos de L(H), pois LS(H) ´e um subespa¸co de L(H). A continua¸c˜ao provaremos o caso em que H tem
dimens˜ao infinita.
Teorema 3.4.7. Se H ´e um espa¸co de Hilbert de dimens˜ao infinita, ent˜ao Φ+S(H) e Φ−S(H) s˜ao subconjuntos convexos de L(H).
Demonstra¸c˜ao. Primeiro provemos que Φ+S(H) ´e convexo. Fixemos L, T ∈ Φ+S(H) e t ∈ [0 , 1]. Denotemos por A o operador tL + (1 − t)T. Ent˜ao, A ´e auto-adjunto e portanto admite os subespa¸cos espectrais H+(A) e H−(A). O subespa¸co H+(L)∩H+(T )
´
e fechado, pois ´e a interse¸c˜ao de dois subespa¸cos fechados. Al´em disso, H+(L) ∩
H+(T ) 6= {0}, j´a que H+(L) e H+(T ) tˆem codimens˜ao finita (Lema 1.2.10). Seja
u ∈ H+(L) ∩ H+(T ) com u 6= 0. Assim,
isto ´e, A ´e positivo em H+(L) ∩ H+(T ). Logo,
H−(A) ∩ (H+(L) ∩ H+(T )) = {0}.
Isto prova que a soma
H−(A) ⊕ (H+(L) ∩ H+(T )) (3.4.5)
´
e de fato direta.
A codimens˜ao de H+(L) ∩ H+(T ) em H ´e finita pelo Lema 1.2.10. Portanto, de
(3.4.5) temos
dim H−(A) < ∞.
Por ´ultimo provemos que A ´e de Fredholm. O operador A ´e injetor na interse¸c˜ao H+(L) ∩ H+(T ), pois A ´e positivo em H+(L) ∩ H+(T ). Portanto, dado que H+(L) ∩
H+(T ) tem codimens˜ao finita,
dim Ker A < ∞.
Agora mostremos que Im A tem codimens˜ao finita. Para este fim, sabendo que A ´e auto-adjunto e que seu n´ucleo tem dimens˜ao finita, pela Proposi¸c˜ao 3.4.1 ´e suficiente provar que a imagem de A ´e fechada. Dado que a restri¸c˜ao L+ : H+(L) → H+(L)
do operador L ´e um isomorfismo definido positivo, do lema anterior temos que existe l1 > 0 tal que l1 ≤ inf kxk=1 x∈H+(L) hL+x, xi. Da´ı, l1 ≤ inf kxk=1 x∈H+(L) hL+x, xi ≤ inf kxk=1 x∈H+(L)∩H+(T ) hLx, xi.
Analogamente, existe l2 > 0 tal que
l2 ≤ inf kxk=1 x∈H+(L)∩H+(T ) hT x, xi. Portanto, se x ∈ H+(L) ∩ H+(T ) com kxk = 1, kAxk ≥ hAx, xi = thLx, xi + (1 − t)hT x, xi ≥ tl1+ (1 − t)l2 > 0.
Logo, da Proposi¸c˜ao 1.1.10 se segue que a restri¸c˜ao
A1 = A|H+(L)∩H+(T ): H+(L) ∩ H+(T ) → A(H+(L) ∩ H+(T ))
´
e invers´ıvel. Assim,
´
e fechada. Como H+(L) ∩ H+(T ) tem codimens˜ao finita em H, existe um subespa¸co
de dimens˜ao finita H2 de H tal que
Im A = Im A1⊕ H2.
Logo, Im A = Im(tL + (1 − t)T ) ´e fechada, pois ´e a soma de um espa¸co fechado e um espa¸co de dimens˜ao finita (Lema 1.2.3). Consequentemente, tL + (1 − t)T ´e de Fredholm. Em conclus˜ao, tL + (1 − t)T ∈ Φ+S(H).
Por outro lado, ´e claro que um operador M pertence a Φ+S(H) se, e somente se, −M pertence a Φ−S(H). Portanto, se L, T ∈ Φ−S(H), ent˜ao −L, −T ∈ Φ+S(H). Assim, pela primeira parte da prova, t(−L)+(1−t)(−T ) ∈ Φ+S(H), isto ´e, tL+(1−t)T ∈ Φ−S(H).
Denotaremos por GL+S(H) o subconjunto de L(H) dos isomorfismos definidos po- sitivos.
Suponhamos que H seja de dimens˜ao finita. Sejam L, T ∈ GL+S(H) e t ∈ [0, 1]. ´E f´acil ver que tL + (1 − t)T ´e definido positivo. Assim, tL + (1 − t)T ´e injetor. Como H tem dimens˜ao finita, tL + (1 − t)T ´e um isomorfismo. Este fato mostra que GL+S(H) ´
e um subconjunto convexo de L(H).
Como consequˆencia do teorema anterior, o seguinte corol´ario mostra o caso em que H tem dimens˜ao infinita.
Corol´ario 3.4.8. Se H tem dimens˜ao infinita, o conjunto GL+S(H) ´e convexo em L(H).
Demonstra¸c˜ao. De fato, sejam L e T isomorfismos definidos positivos e t ∈ [0, 1] fixa- dos. Observe que tL + (1 − t)T ´e definido positivo. Assim,
Ker(tL + (1 − t)T ) = {0}.
Al´em disso, do teorema anterior temos que tL + (1 − t)T ´e de Fredholm. Dado que tL + (1 − t)T ´e auto-adjunto, a Observa¸c˜ao 3.4.2 implica que
Im(tL + (1 − t)T ) = H.
Consequentemente, tL + (1 − t)T ´e um isomorfismo definido positivo.
Analogamente podemos provar que o conjunto dos isomorfismos definidos negativos ´
e convexo em L(H).
Na Se¸c˜ao 3.2 provamos que LS(H) ´e um subespa¸co fechado de L(H). Consideremos
LS(H) como subespa¸co topol´ogico de L(H), isto ´e, com a topologia herdada de L(H).
Uma outra propriedade que possui o conjunto GL+S(H) ´e apresentada na seguinte proposi¸c˜ao.
Demonstra¸c˜ao. Seja L ∈ GL+S(H) fixado. Se segue do Lema 3.4.5 que existe l > 0 tal que
l ≤ inf
kxk=1hLx, xi.
Seja T um operador auto-adjunto tal que kL − T k < min{1/kL−1k, l}. Ent˜ao, T ´e um isomorfismo (veja-se o Corol´ario 1.1.8) e, al´em disso, para x ∈ H com x 6= 0, temos
hLx, xi ≥ lhx, xi > kL − T khx, xi = hkL − T kx, xi ≥ h(L − T )x, xi, isto ´e,
0 < hLx, xi − h(L − T )x, xi = hT x, xi para todo x ∈ H com x 6= 0. Assim, T ´e um isomorfismo definido positivo, o que prova a proposi¸c˜ao.
Agora provaremos que, se H ´e um espa¸co de Hilbert real, de dimens˜ao infinita e separ´avel, o conjunto dos operadores de Fredholm fortemente indefinidos em L(H) ´e conexo por caminhos. Para este fim, vejamos primeiro os seguintes resultados.
Suponhamos que L ∈ ΦS(H) e S ∈ GL(H), onde H ´e um espa¸co de Hilbert real (de
dimens˜ao finita ou infinita) n˜ao necessariamente separ´avel. Observe que o operador e
L = S∗LS ´e um operador de Fredholm auto-adjunto. De fato, eL ´e de Fredholm, pois a composi¸c˜ao de operadores de Fredholm ´e um operador de Fredholm. Al´em disso,
e
L∗ = (S∗LS)∗ = S∗L∗S = S∗LS = eL, isto ´e, eL ´e auto-adjunto.
Defini¸c˜ao 3.4.10 (A¸c˜ao cogradiente). A a¸c˜ao cogradiente ´e a aplica¸c˜ao Υ : GL(H) × ΦS(H) → ΦS(H) definida por
Υ(S, L) = S∗LS.
No resto desta se¸c˜ao suporemos que H seja um espa¸co de Hilbert real de dimens˜ao infinita.
Proposi¸c˜ao 3.4.11. Os espa¸cos Φ+S(H), Φ−S(H) e ΦiS(H) s˜ao invariantes pela a¸c˜ao cogradiente, isto ´e, para qualquer S ∈ GL(H) fixado, temos que:
i. se L ∈ Φ+S(H), ent˜ao S∗LS ∈ Φ+S(H); ii. se L ∈ Φ−S(H), ent˜ao S∗LS ∈ Φ−S(H); iii. se L ∈ Φi S(H), ent˜ao S ∗LS ∈ Φi S(H).
Demonstra¸c˜ao. Sejam L ∈ ΦS(H) e S ∈ GL(H) fixados. Ponhamos eL = S∗LS.
Podemos expressar o espa¸co H como
H = H+(L) ⊕ H−(L) ⊕ Ker L e H = H+(eL) ⊕ H−(eL) ⊕ Ker eL.
Para provar o caso i. suponhamos que L ∈ Φ+S(H). O operador eL ´e positivo em S−1(H+(L)), pois, se x ∈ H+(L) com x 6= 0, ent˜ao
heLS−1x, S−1xi = hS∗LSS−1x, S−1xi = hS∗Lx, S−1xi = hLx, SS−1xi = hLx, xi > 0. Logo, a soma
S−1(H+(L)) ⊕ H−(eL) (3.4.6)
´
e de fato direta. Dado que S ´e um isomorfismo e a codimens˜ao de H+(L) ´e finita, pois
L ∈ Φ+S(H), ent˜ao a codimens˜ao de S−1(H+(L)) em H ´e finita. Portanto, sendo direta
a soma em (3.4.6), obtemos que dim H−(eL) < ∞. Da´ı, eL ∈ Φ+S(H), o que prova i.
Agora, para o caso ii. suponhamos que L ∈ Φ−S(H). Logo, −L ∈ Φ+S(H). Pelo fato anterior temos que S∗(−L)S ∈ Φ+S(H). Assim, S∗LS ∈ Φ−S(H).
Por ´ultimo, suponhamos que L ∈ Φi
S(H). J´a que eL ´e de Fredholm,
dim Ker eL < ∞. Dado que a soma
S−1(H+(L)) ⊕ H−(eL)
´
e direta e a dimens˜ao de S−1(H+(L)) ´e infinita, temos que a codimens˜ao de H−(eL) ´e
infinita. Portanto, como dim Ker eL < ∞, ent˜ao dim H+(eL) = ∞.
Analogamente,
dim H−(eL) = ∞.
Logo, eL ∈ Φi
S(H), o que prova o caso iii.
A continua¸c˜ao apresentaremos alguns outros resultados que tamb´em ser˜ao muito ´
uteis para a constru¸c˜ao do fluxo espectral. Proposi¸c˜ao 3.4.12. Se L ∈ Φi
S(H) e K ´e um operador auto-adjunto com imagem de
dimens˜ao finita, ent˜ao L + K ∈ Φi S(H).
Demonstra¸c˜ao. O operador L+K ´e de Fredholm, pois L ´e de Fredholm e K ´e compacto. Logo, como L e K s˜ao auto-adjuntos, L + K ∈ ΦS(H).
Dado que Im K ´e fechada (sendo finito-dimensional) e K ´e auto-adjunto, de (3.2.5) temos que
H = Im K ⊕ Ker K.
Da´ı, Ker K tem codimens˜ao finita. Consequentemente, o Lema 1.2.11 implica que Ker K ∩ H+(L) e Ker K ∩ H−(L) tˆem dimens˜ao infinita, pois H+(L) e H−(L) tˆem
dimens˜ao infinita. Assim, j´a que L e L + K coincidem em Ker K, se segue que L + K ´
e positivo em Ker K ∩ H+(L) e negativo em Ker K ∩ H−(L). Este fato implica que
H+(L + K) e H−(L + K) tˆem codimens˜ao infinita. Portanto,
dim H+(L + K) = ∞ e dim H−(L + K) = ∞.
Em conclus˜ao, L + K ∈ Φi S(H).
Defini¸c˜ao 3.4.13 (Espa¸cos contr´ateis). Um espa¸co topol´ogico Λ ´e contr´atil se existe uma homotopia
h : Λ × [0, 1] → Λ, tal que
h(λ, 0) = λ e h(λ, 1) = λ0 para todo λ ∈ Λ,
onde λ0 ∈ Λ ´e fixado.
O teorema seguinte ´e consequˆencia de um resultado devido a Kuiper (veja-se [17], Teorema 2) que diz que, se H ´e separ´avel, o conjunto GL(H) ´e contr´atil.
Teorema 3.4.14. Se H ´e separ´avel, GL(H) ´e conexo por caminhos. Demonstra¸c˜ao. Consideremos uma homotopia
h : H × [0, 1] → H, tal que
h(x, 0) = x e h(x, 1) = x0 para todo x ∈ H,
onde x0 ∈ H ´e fixado. Para x ∈ H, tomamos a aplica¸c˜ao f (t) = h(x, t) para t ∈
[0, 1]. ´E claro que f ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua que liga ao ponto x com o ponto x0.
Consequentemente, H ´e conexo por caminhos.
Agora podemos anunciar e provar a conexidade do conjunto Φi S(H).
Teorema 3.4.15. Se H ´e um espa¸co de Hilbert real, de dimens˜ao infinita e separ´avel, o conjunto Φi
Demonstra¸c˜ao. Sejam H+ e H− dois subespa¸cos fechados de H, ortogonais, de di-
mens˜ao infinita e tais que H = H+⊕ H−. Fixemos o operador J ∈ L(H) que tem
como matriz de operadores
J = I|H+ 0
0 −I|H−
,
onde I|H+ e I|H− denotam a identidade de H+ e H−, respectivamente. ´E claro que J
´
e um isomorfismo auto-adjunto. Al´em disso,
H+(J ) = H+ e H−(J ) = H−,
isto ´e, J ∈ Φi S(H).
Se provarmos que qualquer operador L ∈ ΦiS(H) pode ser ligado com J por um caminho cont´ınuo, ent˜ao teremos provado o teorema. De fato, seja L ∈ Φi
S(H) fixado.
Vejamos que, para todo t ∈ [0 , 1], o operador It: H → H definido por
It= (1 − t)PH+(L)LPH+(L)+ tPH+(L)IPH+(L)+ (1 − t)PH−(L)LPH−(L)− tPH−(L)IPH−(L)
pertence a Φi
S(H), onde PH+(L) e PH−(L) denotam as proje¸c˜oes ortogonais sobre os
espa¸cos H+(L) e H−(L), respectivamente. Dado que as restri¸c˜oes dos operadores L e
I ao espa¸co H+(L) s˜ao isomorfismos definidos positivos e o conjunto dos isomorfismos
definidos positivos ´e convexo (Corol´ario 3.4.8), temos que a restri¸c˜ao
It|H+(L)= (1 − t)PH+(L)LPH+(L)+ tPH+(L)IPH+(L): H+(L) → H+(L) (3.4.7)
´
e um isomorfismo definido positivo para todo t ∈ [0 , 1]. Analogamente,
It|H−(L)= (1 − t)PH−(L)LPH−(L)+ tPH−(L)(−I)PH−(L): H−(L) → H−(L) (3.4.8)
´
e um isomorfismo definido negativo para todo t ∈ [0 , 1]. Observe que, para t ∈ [0 , 1], o operador It ´e auto-adjunto, pois L, PH+(L), PH−(L) e I s˜ao auto-adjuntos. Al´em
disso, Ker It = Ker L para todo t ∈ [0 , 1]. Assim, para t ∈ [0 , 1], It ´e um operador
de Fredholm fortemente indefinido. Al´em disso, pelas f´ormulas (3.4.7) e (3.4.8) e as propriedades acima de It, temos que
H+(It) = H+(L), H−(It) = H−(L) e Ker It = Ker L.
Da´ı, para t ∈ [0 , 1], It define um caminho em ΦiS(H) tal que
I0 = L e I1 = I, (3.4.9)
onde I ´e o operador em Φi
S(H) definido como
onde 0|Ker L ´e o operador nulo no n´ucleo de L.
Agora, da Proposi¸c˜ao 3.4.12 se segue que α(t) = I + tPKer L ∈ ΦiS(H) para todo
t ∈ [0, 1], onde PKer L ´e a proje¸c˜ao ortogonal sobre Ker L. Logo, α : [0, 1] → ΦiS(H) ´e
um caminho tal que
α(0) = I e α(1) = I + PKer L. (3.4.10)
Por outro lado, do Teorema 1.1.18 se segue que H+(L) ⊕ Ker L ´e isom´etrico a H+
e H−(L) ´e isom´etrico a H−, isto ´e, existem dois operadores ortogonais
M+: H+(L) ⊕ Ker L → H+ e M− : H−(L) → H−.
Tomemos o operador M : H → H dado por
M |H+(L)⊕Ker L = M+ e M |H−(L)= M−.
Observe que M∗J M = I + PKer L. De fato, se x ∈ H+(L) ⊕ Ker L, ent˜ao M x =
M+x ∈ H+. Assim, J M+x = M+x e
M∗J M x = M+∗J M+x = M+∗M+x = x = (I + PKer L)x. (3.4.11)
Agora, se x ∈ H−(L), ent˜ao J M x = −M−x ∈ H−. Logo,
M∗J M x = −M−∗M−x = −x = Ix = (I + PKer L)x. (3.4.12)
De (3.4.11) e (3.4.12) obtemos
M∗J M = I + PKer L.
O Teorema 3.4.14 prova que existe um caminho M : [0, 1] → GL(H) tal que M (0) = M e M (1) = I. Se segue da Proposi¸c˜ao 3.4.11 que
Jt= M (t)∗J M (t) ∈ ΦiS(H) para todo t ∈ [0, 1].
Logo, para t ∈ [0 , 1], Jt define um caminho em ΦiS(H) tal que
J0 = M∗J M = I + PKer L e J1 = J . (3.4.13)
De (3.4.9), (3.4.10) e (3.4.13) se segue que, para qualquer L ∈ Φi
S(H), existe um
caminho β : [0, 1] → Φi
S(H) tal que β(0) = L e β(1) = J . Em conclus˜ao, ΦiS(H) ´e
conexo por caminhos.
Como falamos na introdu¸c˜ao desta se¸c˜ao, mostraremos que Φ+S(H), Φ−S(H) e Φi S(H)
s˜ao as trˆes componentes conexas de ΦS(H). Para este fim, dado que
ΦS(H) = Φ+S(H) ∪ Φ−S(H) ∪ ΦiS(H)
e os espa¸cos Φ+S(H), Φ−S(H) e Φi
S(H) s˜ao conexos dois a dois disjuntos, pelos Teoremas
3.4.7 e 3.4.15, ´e suficiente provar que Φ+S(H), Φ−S(H) e ΦiS(H) s˜ao abertos em ΦS(H).
Teorema 3.4.16. Os espa¸cos Φ+S(H), Φ−S(H) e Φi
S(H) s˜ao subconjuntos abertos de
ΦS(H).
Demonstra¸c˜ao. Provemos primeiro que Φ+S(H) ´e aberto em ΦS(H). De fato, dado
que o conjunto dos operadores de Fredholm ´e um subconjunto aberto de L(H), temos que o conjunto dos operadores de Fredholm auto-adjuntos ´e um subconjunto aberto de LS(H), isto ´e, ΦS(H) ´e aberto em LS(H). Tomemos L ∈ Φ+S(H) fixado. Como a
restri¸c˜ao L+ = L|H+ : H+(L) → H+(L) de L ´e um isomorfismo, se segue do Lema 3.4.5
que existe l > 0 tal que
l ≤ inf
kxk=1 x∈H+(L)
hLx, xi.
J´a que ΦS(H) ´e aberto em LS(H), existe ε > 0, com ε < l, tal que
B(L, ε) ∩ LS(H) ⊆ ΦS(H),
onde B(L, ε) ´e a bola em L(H) com centro em L e raio ε. Vejamos que B(L, ε) ∩ LS(H) ⊆ Φ+S(H). De fato, se T ∈ B(L, ε) ∩ LS(H), ent˜ao, para x ∈ H+(L) com
kxk = 1,
h(L − T )x, xi ≤ kL − T k < ε. Da´ı,
l ≤ hLx, xi < ε + hT x, xi para todo x ∈ H+(L) com kxk = 1. (3.4.14)
Este fato prova que 0 < l − ε < hT x, xi para todo x ∈ H+(L) com kxk = 1. Conse-
quentemente, T ´e positivo em um espa¸co de codimens˜ao finita. Logo, a dimens˜ao de H−(T ) ´e finita, isto ´e, T ∈ Φ+S(H), como quer´ıamos provar.
Por outro lado, dado que L ∈ Φ−S(H) se, e somente se, −L ∈ Φ+S(H), da prova acima temos que existe uma bola B(−L, ε) com centro em −L e raio ε > 0 tal que B(−L, ε) ∩ LS(H) ⊆ Φ+S(H). Portanto, dado que
−B(−L, ε) = {−T : T ∈ B(−L, ε)} = B(L, ε), temos
B(L, ε) ∩ LS(H) = [−B(−L, ε)] ∩ LS(H) ⊆ Φ−S(H).
Este fato prova que Φ−S(H) ´e aberto em ΦS(H).
Por ´ultimo, vejamos que Φi
S(H) ´e aberto em ΦS(H). De fato, sejam L ∈ ΦiS(H) e
l1 e l2 tais que 0 < l1 ≤ inf kxk=1 x∈H+(L) hLx, xi e 0 < l2 ≤ inf kxk=1 x∈H−(L) h−Lx, xi.
Como acima, existe ε > 0, com ε < min{l1, l2}, tal que
B(L, ε) ∩ LS(H) ⊆ ΦS(H).
Tomemos T ∈ B(L, ε) ∩ LS(H) fixado. De forma an´aloga ao fato obtido em (3.4.14),
obtemos que T ´e positivo em H+(L) e −T ´e positivo em H−(L). Logo, T ´e positivo
em H+(L) e ´e negativo em H−(L). Consequentemente, H+(T ) e H−(T ) tˆem dimens˜ao
infinita. Portanto, T ∈ ΦiS(H) e assim B(L, ε) ∩ LS(H) ⊆ ΦiS(H). Em conclus˜ao,
Φi
Cap´ıtulo 4
A assinatura generalizada e o ´ındice
de Morse relativo
Em dimens˜ao finita, os operadores auto-adjuntos permitem a representa¸c˜ao de um espa¸co de Hilbert H como soma direta ortogonal dos subespa¸cos espectrais positivo e negativo e do n´ucleo do operador (Teorema espectral em dimens˜ao finita). Neste caso a assinatura de um isomorfismo auto-adjunto ´e definida como a diferen¸ca en- tre a dimens˜ao do seu subespa¸co espectral positivo e a dimens˜ao do seu subespa¸co espectral negativo. Neste cap´ıtulo generalizaremos esta definic˜ao de assinatura para perturba¸c˜oes compactas auto-adjuntas de um particular operador de Fredholm auto- adjunto fortemente indefinido, cujo quadrado ´e a identidade e que chamaremos de simetria. A continuidade da aplica¸c˜ao assinatura, quando considerada no conjunto dos isomorfismos auto-adjuntos em um espa¸co de Hilbert de dimens˜ao finita, que pro- varemos na seguinte se¸c˜ao, ´e crucial para a existˆencia da assinatura generalizada, ou seja, em dimens˜ao infinita. O fluxo espectral ser´a definido fazendo uso da assinatura generalizada e da a¸c˜ao cogradiente, definida no cap´ıtulo anterior.
Na pr´oxima se¸c˜ao veremos outras propriedades que possui a assinatura em dimens˜ao finita. Uma destas propriedades ´e a invariˆancia pela a¸c˜ao cogradiente. Al´em disso, mostraremos que, dado um isomorfismo auto-adjunto L ∈ L(H), se expressarmos H como a soma de dos subespa¸cos ortogonais H1e H2invariantes por L, ent˜ao a assinatura
de L ´e igual `a soma das assinaturas das restri¸c˜oes do operador L a H1 e H2.
Na segunda se¸c˜ao apresentaremos a definic˜ao da assinatura generalizada. Veremos que esta defini¸c˜ao n˜ao ´e invariante pela a¸c˜ao cogradiente. Por´em, o fluxo espectral, que ser´a definido no pr´oximo cap´ıtulo fazendo uso da assinatura generalizada, ´e invariante por esta a¸c˜ao.
O prop´osito da terceira se¸c˜ao ´e provar que aplica¸c˜ao que associa a um operador auto-adjunto L a proje¸c˜ao ortogonal PH−(L) sobre seu subespa¸co espectral negativo
(positivo) ´e cont´ınua. Para este fim, com base no Teorema integral de Cauchy para aplica¸c˜oes complexas, veremos primeiro que, se E ´e um espa¸co de Banach complexo,
L ∈ L(E) e f : ∆ → C ´e uma aplica¸c˜ao regular, onde ∆ ´e um subconjunto aberto de C que cont´em o espectro de L, f (L) ´e bem definido como um operador em L(E). Fazendo uso do fato anterior, provaremos que, se H ´e um espa¸co de Hilbert complexo e L ∈ L(H) ´e auto-adjunto e 0 n˜ao ´e ponto de acumula¸c˜ao de σ(L), a proje¸c˜ao ortogonal sobre o subespa¸co espectral negativo de L pode ser expressada como um operador χ(L), onde χ : ∆ → C ´e uma oportuna aplica¸c˜ao regular tal que σ(L) ⊆ ∆. De forma an´aloga podemos representar a proje¸c˜ao ortogonal sobre o subespa¸co espectral positivo de L. Esta nova express˜ao para tais proje¸c˜oes permitir´a mostrar que elas dependem continuamente do operador, fato que ser´a fundamental no resto do trabalho.
Na quarta se¸c˜ao definiremos o ´ındice de Morse relativo para pares de isomorfismos auto-adjuntos em espa¸cos de Hilbert. No ´ultimo cap´ıtulo provaremos que o fluxo espectral de um caminho de perturba¸c˜oes compactas auto-adjuntas de um operador de Fredholm fixado ´e igual ao ´ındice de Morse relativo do par formado pelos extremos do caminho.
4.1
A assinatura em espa¸cos de Hilbert de dimen-
s˜ao finita
Como foi dito na introdu¸c˜ao deste cap´ıtulo, nesta se¸c˜ao veremos a defini¸c˜ao e algu- mas das propriedades que possui a aplica¸c˜ao assinatura sign : GLS(H) → R, onde
GLS(H) denota o conjunto dos isomorfismos auto-adjuntos em um espa¸co de Hilbert
de dimens˜ao finita H. Uma destas propriedades ´e a continuidade, que ser´a provada no final desta se¸c˜ao.
A assinatura generalizada, que ser´a definida na pr´oxima se¸c˜ao, n˜ao ´e invariante pela a¸c˜ao cogradiente. Por´em, mostraremos que a assinatura de um operador invers´ıvel auto-adjunto em um espa¸co de Hilbert de dimens˜ao finita ´e invariante por esta a¸c˜ao. As propriedades da assinatura, que apresentaremos nesta se¸c˜ao, ser˜ao fundamentais na defini¸c˜ao da assinatura generalizada.
Nesta se¸c˜ao vamos supor que H seja um espa¸co de Hilbert real de dimens˜ao finita. Para um operador auto-adjunto L ∈ L(H), denotaremos por µ(L) a dimens˜ao do subespa¸co espectral negativo de L. Este n´umero ´e tamb´em conhecido como ´ındice de Morse do operador.
Defini¸c˜ao 4.1.1. A assinatura de um isomorfismo auto-adjunto L ∈ L(H) ´e definida por
sign L = µ(−L) − µ(L).
A defini¸c˜ao acima quer dizer que a assinatura de um isomorfismo auto-adjunto em um espa¸co de Hilbert de dimens˜ao finita ´e igual `a diferen¸ca entre as dimens˜oes dos seus subespa¸cos espectrais positivo e negativo, isto ´e,
Lembremos que, se L ∈ L(H) ´e auto-adjunto, ent˜ao H+(L) coincide com o au-
toespa¸co gerado pelos autovetores de L relativos aos autovalores positivos e H−(L)
coincide com o autoespa¸co gerado pelos autovetores relativos aos autovalores negati- vos.
Observa¸c˜ao 4.1.2. Seja L ∈ L(H) auto-adjunto. Observe que, como