O fluxo espectral ser´a definido para caminhos de operadores de Fredholm auto-adjuntos. Nesta se¸c˜ao lembraremos o conceito de operador adjunto para operadores em espa¸cos com produto interno. Al´em disso, veremos algumas propriedades que ele possui e que servir˜ao de ferramenta ´util nas pr´oximas se¸c˜oes.
Defini¸c˜ao 3.2.1 (Operador adjunto em espa¸cos de Hilbert). Seja T : H1 → H2 um
operador limitado, onde H1 e H2 s˜ao espa¸cos de Hilbert. Ent˜ao, o operador adjunto
T∗ de T ´e o operador T∗ : H2 → H1 tal que, para cada x ∈ H1 e y ∈ H2,
hT x, yi = hx, T∗yi.
O seguinte teorema mostra que esta defini¸c˜ao faz sentido e que, al´em disso, kT k = kT∗k. Podemos ver uma prova deste fato em [16], p´ag. 196, Teorema 3.9-2.
Teorema 3.2.2. O operador adjunto T∗ de T na defini¸c˜ao anterior existe, ´e ´unico e ´
e um operador linear limitado com norma
kT k = kT∗k.
Apresentaremos no seguinte teorema algumas propriedades do operador adjunto que v˜ao se usar neste trabalho. Uma prova se pode ver, por exemplo, em [16], p´ag. 198, Teorema 3.9-4.
Teorema 3.2.3. Sejam H1, H2 espa¸cos de Hilbert, L : H1 → H2 e T : H1 → H2
operadores limitados e λ ∈ K. Ent˜ao, 1) (L + T )∗ = L∗+ T∗.
2) (λL)∗ = λL∗. 3) (L∗)∗ = L.
4) kL∗Lk = kLL∗k = kLk2.
Vejamos uma propriedade que satisfaz o adjunto do produto direto de dois opera- dores limitados definidos em espa¸cos de Hilbert. De fato, suponhamos que H1 e H2
sejam dois espa¸cos de Hilbert reais ou complexos (H1× H2´e um espa¸co de Hilbert com
o produto interno definido em (3.1.1)) e que L1 ∈ L(H1) e L2 ∈ L(H2). Mostremos
que (L1, L2)∗ = (L∗1, L ∗ 2). (3.2.1) Se (x1, x2) ∈ H1× H2 e (y1, y2) ∈ H1× H2, se segue de (3.1.1) que h(L1, L2)(x1, x2), (y1, y2)i = h(L1x1, L2x2), (y1, y2)i = hL1x1, y1i1+ hL2x2, y2i2 = hx1, L∗1y1i1+ hx2, L∗2y2i2 = h(x1, x2), (L∗1y1, L∗2y2)i = h(x1, x2), (L∗1, L ∗ 2)(y1, y2)i.
A unicidade do operador adjunto implica que (L1, L2)∗ = (L∗1, L
∗ 2).
Por outro lado, se H = H1 ⊕ H2, onde H1 e H2 s˜ao dois subespa¸cos fechados e
ortogonais de H, invariantes por um operador L ∈ L(H), L = L1⊕ L2, onde L1 e L2
s˜ao as restri¸c˜oes de L a H1 e H2, respectivamente (veja-se (1.2.1)). De forma an´aloga
ao fato anterior podemos provar que
L∗ = (L1⊕ L2)∗ = L∗1⊕ L ∗
2. (3.2.2)
Defini¸c˜ao 3.2.4. Suponhamos que H1 H2 sejam espa¸cos de Hilbert. Diremos que
L ∈ L(H1, H2) ´e ortogonal se L∗L = IH1 e LL
∗ = I
H2, onde IH1 e IH2 s˜ao as identidades
de H1 e H2, respectivamente.
Se H = H1 = H2, L ∈ L(H) e L = L∗, diremos que L ´e auto-adjunto.
Observa¸c˜ao 3.2.5. As propriedades 1 e 2 do Teorema 3.2.3 implicam que, se H ´e um espa¸co de Hilbert real, ent˜ao o conjunto dos operadores auto-adjuntos em L(H), que denotaremos por LS(H), ´e um subespa¸co de L(H). Provemos que LS(H) ´e fechado. De
fato, seja (Ln)∞n=1uma sequˆencia de operadores auto-adjuntos convergente a L ∈ L(H).
Da´ı,
kL∗− Lnk = kL∗− L∗nk = k(L − Ln)∗k = kL − Lnk.
Portanto, (Ln)∞n=1 converge a L
∗ ∈ L(H). Assim, L = L∗ e L ∈ L S(H).
No caso complexo podemos ter T 6= 0 auto-adjunto, por´em, da segunda propriedade do Teorema 3.2.3, iT n˜ao ´e auto-adjunto.
Na seguinte proposi¸c˜ao mostraremos uma condi¸c˜ao suficiente e necess´aria para que um operador seja ortogonal.
Proposi¸c˜ao 3.2.6. Um operador L ∈ L(H1, H2) ´e ortogonal se, e somente se, ´e so-
brejetor e
hLx, Lyi = hx, yi para todo x, y ∈ H1. (3.2.3)
Demonstra¸c˜ao. De fato, se L ´e ortogonal, ent˜ao L∗L = IH1 e LL
∗ = I
H2. Este fato
prova que L ´e invers´ıvel e que verifica (3.2.3).
Reciprocamente, suponhamos que L seja sobrejetor e que verifique (3.2.3). A igual- dade (3.2.3) e a unicidade do operador adjunto implicam que L ´e injetor e que L∗L = I. Como L ´e sobrejetor, ent˜ao ´e um isomorfismo. Da´ı, L−1 = L∗, como quer´ıamos pro- var.
A identidade ´e um cl´assico exemplo de operador auto-adjunto e ortogonal. No seguinte exemplo apresentaremos um outro operador que ´e auto-adjunto e ortogonal. Exemplo 3.2.7. O operador L : `2 → `2 definido por
L(x1, x2, x3, x4, ...) = (−x1, x2, −x3, x4, ...), onde (x1, x2, x3, x4, ...) ∈ `2,
´
e auto-adjunto e ortogonal. De fato, sejam (x1, x2, x3, x4, ...) e (y1, y2, y3, y4, ...) em `2.
Assim, hL(x1, x2, x3, x4, ...), (y1, y2, y3, y4, ...)i = h(−x1, x2, −x3, x4, ...), (y1, y2, y3, y4, ...)i = ∞ X n=1 (−1)nxnyn
= h(x1, x2, x3, x4, ...), (−y1, y2, −y3, y4, ...)i
= h(x1, x2, x3, x4, ...), L(y1, y2, y3, y4, ...)i.
Consequentemente, L = L∗ e assim, L ´e auto-adjunto. E f´´ acil ver que LL = I. Portanto, L−1 = L = L∗, isto ´e, L ´e ortogonal.
O Corol´ario 1.1.5 prova que, se L ∈ L(H1, H2), onde H1 e H2dois subespa¸cos de um
espa¸co de Hilbert H, ent˜ao existe um ´unico operador L em L(H1, H2) tal que Lx = Lx
para todo x ∈ H1 e kLk = kLk. Lembremos que o operador L ´e definido como
Lx = lim
n→∞Lxn, (3.2.4)
onde (xn)∞n=1 ´e uma sequˆencia em H1 convergente a x ∈ H1. A seguinte proprosi¸c˜ao
mostra algumas propriedades que possui o operador L que ser˜ao usadas para achar a decomposi¸c˜ao polar de um operador limitado.
Proposi¸c˜ao 3.2.8. Sejam L ∈ L(H1, H2) e L como acima. Se L ´e ortogonal (auto-
Demonstra¸c˜ao. Provemos que, se L ´e ortogonal, ent˜ao L ´e ortogonal. Sejam x, y em H1
e (xn)∞n=1, (yn)∞n=1 duas sequˆencias em H1 convergentes a x, y, respectivamente. Pela
defini¸c˜ao de L, temos que LL∗xn → L L ∗
x. Da´ı, a continuidade do produto interno (Lema 3.1.1) implica que
hLL∗xn, yni → hL L ∗
x, xi e hxn, yni → hx, yi.
Dado que LL∗xn = xn para todo n, ent˜ao
hL L∗x, yi = hx, yi.
Logo, L L∗ = I. Analogamente, L∗L = I. Em conclus˜ao, o operador L ´e ortogonal. A prova de que, se L ´e auto-adjunto, ent˜ao L ´e auto-adjunto ´e an´aloga e portanto ´
e omitida.
Uma propriedade muito conhecida da an´alise funcional e que tamb´em ser´a de grande importˆancia neste trabalho ´e dada na seguinte proposi¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao 3.2.9. Se L ∈ L(H), ent˜ao Ker L = (Im L∗)⊥.
Demonstra¸c˜ao. Seja x ∈ Ker L fixado. Se y ∈ Im L∗, ent˜ao y = L∗z para algum z ∈ H. Assim,
hx, yi = hx, L∗zi = hLx, zi = 0. Logo, x ∈ (Im L∗)⊥ e portanto
Ker L ⊆ (Im L∗)⊥.
Agora, suponhamos que x ∈ (Im L∗)⊥. Ent˜ao, hx, yi = 0 para todo y ∈ Im L∗. Da´ı, hx, L∗zi = 0 para todo z ∈ H. Consequentemente, hLx, zi = 0 para todo z ∈ H. Este
fato prova que Lx = 0, isto ´e, x ∈ Ker L. Portanto, (Im L∗)⊥⊆ Ker L. Os dois fatos acima mostram que Ker L = (Im L∗)⊥.
Das Proposi¸c˜oes 3.1.5 e 3.2.9 segue-se (Ker L)⊥= Im L∗. Assim,
H = Im L∗⊕ Ker L. (3.2.5)
O seguinte corol´ario ´e uma consequˆencia imediata da proposi¸cao anterior.
Corol´ario 3.2.10. Se L ´e um operador auto-adjunto, ent˜ao L ´e o operador zero no complementar ortogonal de Im L.
Demonstra¸c˜ao. Da proposi¸c˜ao anterior temos
(Im L)⊥= (Im L∗)⊥= Ker L.
Consequentemente, L ´e o operador zero no complementar ortogonal de Im L.
Defini¸c˜ao 3.2.11. Uma proje¸c˜ao ortogonal ´e um operador P ∈ L(H) tal que P2x =
P x para todo x ∈ H e Im P = (Ker P )⊥.
Como veremos no p´roximo exemplo, existem operadores P ∈ L(H) tais que P2 = P que n˜ao s˜ao proje¸c˜oes ortogonais.
Exemplo 3.2.12. Seja P : R2 → R2 definido por P (x, y) = (x, x) para (x, y) ∈ R2. ´E
f´acil ver que P2 = P . Al´em disso,
Im P = {(x, x) : x ∈ R} e Ker P = {(0, y) : y ∈ R}.
Portanto, Im P e Ker L n˜ao s˜ao ortogonais, isto ´e, P n˜ao ´e uma proje¸c˜ao ortogonal. Observe que, se P ∈ L(H) ´e um operador tal que P2 = P e x ∈ Im P , ent˜ao
P x = x. De fato, se x ∈ Im P , ent˜ao x = P z para algum z ∈ H. Logo, P x = P2z = P z = x.
A seguinte ´e uma caracteriza¸c˜ao das proje¸c˜oes ortogonais.
Proposi¸c˜ao 3.2.13. Seja P ∈ L(H) fixado. Ent˜ao, P ´e uma proje¸c˜ao ortogonal se, e somente se, ´e auto-adjunto e P2 = P .
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que P seja uma proje¸c˜ao ortogonal. Por defini¸c˜ao temos P2 = P. Tamb´em, Im P = (Ker P )⊥. Este fato prova que Im P ´e fechado, pois (Ker P )⊥ ´
e fechado. Como P ´e cont´ınua, ent˜ao Ker P ´e fechado. Da´ı, o Teorema 3.1.4 implica que
H = Im P ⊕ Ker P.
Assim, se x, y ∈ H, ent˜ao x = x1 + x2 e y = y1 + y2 onde x1, y1 ∈ Im P e
x2, y2 ∈ Ker P. Portanto, P x1 = x1, P y1 = y1 e
hP x, yi = hP (x1+ x2), y1+ y2i = hP x1, y1i + hP x1, y2i = hP x1, P y1i,
pois P x1 ∈ Im P e y2 ∈ Ker P. Por outro lado,
hx, P yi = hx1 + x2, P (y1+ y2)i = hx1, P y1i + hx2, P y2i = hP x1, P y1i.
Reciprocamente, suponhamos que P seja auto-adjunto e que P2 = P . Como P ´e
auto-adjunto, de (3.2.5) temos
H = Im P ⊕ Ker P, (3.2.6)
onde Im P e (Ker P )⊥ s˜ao ortogonais. Portanto, Im P e (Ker P )⊥ s˜ao ortogonais. Por outro lado, se x ∈ H, ent˜ao x = P x + x − P x. Dado que P x ∈ Im P e x − P x ∈ Ker P , se segue
H = Im P ⊕ Ker P.
Assim, dado que Im P ⊆ Im P , de (3.2.6) temos Im P = Im P e Im P = (Ker P )⊥. Em conclus˜ao, P ´e uma proje¸c˜ao ortogonal.
O seguinte corol´ario ´e uma consequˆencia da proposi¸c˜ao anterior.
Corol´ario 3.2.14. Se P e Q s˜ao proje¸c˜oes ortogonais que comutam, ent˜ao P Q ´e a proje¸c˜ao ortogonal sobre Im P ∩ Im Q.
Demonstra¸c˜ao. Dado que
(P Q)2 = P QP Q = P2Q2 = P Q e (P Q)∗ = Q∗P∗ = QP = P Q, ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 3.2.13, P Q ´e uma proje¸c˜ao ortogonal.
Se x ∈ Im P ∩ Im Q, temos P x = x = Qx. Da´ı, P Qx = P x = x, isto ´e, P Q ´e a identidade em Im P ∩ Im Q. Portanto,
Im P ∩ Im Q ⊆ Im P Q.
Por outro lado, suponhamos que x ∈ H. Assim, P Qx ∈ Im P e QP x ∈ Im Q. Logo, P Qx = QP x ∈ Im P ∩ Im Q. Ent˜ao,
Im P Q ⊆ Im P ∩ Im Q.
Consequentemente, Im P Q = Im P ∩Im Q. Os fatos acima provam que P Q ´e a proje¸c˜ao sobre Im P ∩ Im Q.
Finalizaremos esta se¸c˜ao com uma propriedade importante dos operadores auto- adjuntos.
Teorema 3.2.15. Se L ∈ L(H) ´e um operador auto-adjunto, ent˜ao kLk = sup
kxk=1
Demonstra¸c˜ao. Da desigualdade de Cauchy-Schwarz temos sup kxk=1 |hLx, xi| ≤ sup kxk=1 kLxkkxk = kLk.
Provemos agora que kLk ≤ supkxk=1|hLx, xi|. De fato, se Lz = 0 para todo z ∈ H
com kzk = 1, ent˜ao L = 0. Assim,
0 = kLk = sup
kxk=1
|hLx, xi|.
No caso contrario, para qualquer z ∈ H de norma 1 tal que Lz 6= 0, tomemos v = kLzk1/2z e w = kLzk−1/2Lz.
Ent˜ao,
kvk2 = kLzkkzk2 = kLzk = kLzk−1kLzk2 = kwk2. (3.2.7) Tomemos agora y1 = v + w e y2 = v − w. Logo,
hLy1, y1i − hLy2, y2i = hL(v + w), v + wi − hL(v − w), v − wi = hLv, vi + hLv, wi + hLw, vi + hLw, wi − hLv, vi + hLv, wi + hLw, vi − hLw, wi = 2(hLv, wi + hLw, vi) = 2(hL(kLzk1/2z), kLzk−1/2Lzi + hL(kLzk−1/2Lz), kLzk1/2zi) = 2(hLz, Lzi + hLLz, zi) = 2(hLz, Lzi + hLz, L∗zi) = 2(hLz, Lzi + hLz, Lzi) = 4kLzk2, isto ´e, hLy1, y1i − hLy2, y2i = 4kLzk2. (3.2.8)
Agora, para todo y 6= 0 e u = kyk−1y, temos y = kyku e |hLy, yi| = |hL(kyku), kykui| = kyk2|hLu, ui| ≤ kyk2 sup
kxk=1
|hLx, xi|. Portanto, da desigualdade triangular e de (3.2.7) obtemos
|hLy1, y1i − hLy2, y2i| ≤ |hLy1, y1i| + |hLy2, y2i|
≤ sup kxk=1 |hLx, xi|(ky1k2+ ky2k2) ≤ sup kxk=1 |hLx, xi|(hv + w, v + wi + hv − w, v − wi) = 2 sup kxk=1 |hLx, xi|(kvk2+ kwk2) = 4 sup kxk=1 |hLx, xi|kLzk.
Consequentemente, (3.2.8) implica que 4kLzk2 ≤ 4 sup
kxk=1
|hLx, xi|kLzk. Da´ı, kLzk ≤ supkxk=1|hLx, xi|. Este fato prova que
sup
kxk=1
kLzk ≤ sup
kxk=1
|hLx, xi|. Em conclus˜ao, supkxk=1kLzk = supkxk=1|hLx, xi|.