Positionnement du véhicule sur la voie

Les deux sections précédentes ont permis d’obtenir des modèles simplifiés du mouvement plan du véhicule, supposé sur une surface infinie et du mécanisme de direction qui transforme l’effort du conducteur sur le volant en un angle de braquage des roues.

Cette section est dédiée à la formulation mathématique de la position du véhicule par rapport à la voie de circulation. Dans un premier temps, le modèle « bicyclette » permettra de déterminer la position du centre de gravité du véhicule par rapport au centre de la voie ainsi que l’angle de cap de l’axe de symétrie du véhicule vis-à-vis de la tangente à la voie. Dans un deuxième temps, le véhicule sera considéré comme étant un corps dans le plan, avec une longueur et une largeur non-négligeables. Ceci permettra de calculer la position de l’avant du véhicule par rapport aux bords de la voie.

4.3.1 Écart latéral, angle de cap relatif et courbure de la voie

Le conducteur contrôle la direction du véhicule pour suivre la voie de circulation en se ré-férant constamment à celle-ci et en réduisant les erreurs vis-à-vis de la trajectoire qu’il désire suivre. De même, dans le cas du contrôle de la trajectoire par un automate, deux variables sont

Fig. 4.19 – Position du modèle « bicyclette » du véhicule par rapport au repère tangent à la voie.

particulièrement essentielles : l’écart latéral entre le centre de gravité du véhicule et le centre de la voie et l’angle de cap relatif. Ces variables seront définies par la suite.

La position du centre de gravité s’obtient comme étant la distance minimale instantanée entre le point CG et la ligne médiane de la voie dans le plan OaXaYa (voir Figure 4.19). À chaque instant, on obtient cette distance par l’intersection entre la droite qui relie le centre instantané de rotation de la voie avec le point CGet la ligne médiane de la voie.

Notons ce point d’intersectionOtet définissons le repère mobileR^t: OtXtYtZt, tangent à la médiane de la voie (voir Figure 4.19). Le planOtXtYtest confondu avec le planOaXaYa et l’axe OtXt est tangent à la médiane de la voie. Le repère R^t est caractérisé par un angle de rotation ψd par rapport au repère R^a. La matrice de passage du repère absolu R^a au repère R^t, pour Oa≡Ot, est donnée par :

Rψ_d =





cosψd sinψd 0

−sinψd cosψd 0

0 0 1



. (4.70)

Le passage du repère véhicule au repère tangent à la trace du centre de la voie s’effectue par l’angle ψL = ψ−ψd, appelé angle de cap relatif. La dynamique de l’angle de cap relatif est décrite par :

ψ˙L= ˙ψ−ψ˙d=r−vρref, (4.71) oùρ_ref est la courbure de la route,ρ_ref = _R¹ avec Rson rayon de courbure. L’égalitéψ˙_d=vρ_ref a été utilisée dans l’équation (4.71). Cette formulation ne représente qu’une approximation, car la vitesse du point Ot le long de l’axeOtXt,(v_O^x_t)^t, est la même que la vitesse(v_CG^x )^v le long de l’axeOvXv, àcosψLprêt :(v_O^x_t)^t= (v^x_CG)^vcosψL. Si l’angle ψL est faible, son cosinus peut être assimilé à 1 et donc (v_O^x_t)^t∼= (v_CG^x )^v =v.

Pour calculer maintenant la vitesse relative du centre de gravité du véhicule par rapport à l’origine du repère R^t, exprimée dans le repère R^t, la courbure de la route sera supposée

constante :ρref.

(OaCG)˙ ^t= (Oa˙Ot)^t+ (OtCG)˙ ^t, (4.72) L’équation (4.72) équivaut à :

(v_CG)^t=





v vsin(β+ψ_L)

0





t

=



 v 0 0





t

+





(OtCG)˙ x

(OtCG)˙ y

(OtCG)˙ z





t

⇔ (4.73)

((OtCG)˙ y)^t=vsin(β+ψ_L). (4.74) Les quantités (OtCG)y et (OtCG)˙ y seront notées par la suite respectivement y_L^CG et y˙_L^CG. Dans ce cas, la vitesse de déplacement du centre de gravité du véhicule par rapport à la tangente au centre de la voie s’exprime sous la forme :

˙

y^CG_L =vsin(β+ψL). (4.75)

Pour un angleβ+ψL faible, l’approximationy˙_L^CG∼=v(β+ψL)est par ailleurs toujours valable.

Fig. 4.20 – Position du modèle « bicyclette » du véhicule par rapport au repère tangent à la voie en avant du véhicule.

Remarque 4.3.1 (Convention de signe pour l’écart latéral et pour l’angle de cap relatif) L’écart latéraly_L^CG est considéré comme étant positif si le centre de gravité du véhicule se trouve sur la gauche de l’axe OtXt, et négatif sinon. L’angle de cap relatif ψL est positif si ψ > ψd

et négatif sinon. Nous considérons donc l’angle ψL positif pour une rotation trigonométrique de l’axe CG Xv autour de point CG, rotation partant d’une position parallèle à l’axe OtXt.

Les dispositifs de mesure de la position du véhicule par rapport au centre ou aux bords de la voie ne fournissent pas toujours l’écart latéral au niveau du centre de gravité, mais le plus souvent à l’avant du véhicule et ce à une distance de visée lS (voir Figure 4.20). La projection de l’écart latéral en avant du véhicule peut se faire selon plusieurs approches [Tse05]. Il est par exemple possible de considérer la direction du vecteur vitesse comme la direction d’avancement du véhicule, et de calculer l’écart de celle-ci, en avant du véhicule, par rapport au centre de la voie .

Pour une distance de visée faible, ou pour des rayons de courbure faibles ou modérés, nous pouvons approcher l’écart latéralyL en avant du véhicule par (voir Figure 4.20) :

y_L=y_L^CG+l_Ssin(ψ−ψ_d) =y_L^CG+l_Ssinψ_L. (4.76) Si l’angle de cap relatif est faible, l’écart latéral en avant du véhicule devient [Pen90] :

yL∼=y_L^CG+lSψL. (4.77)

La dérivation de l’équation précédente permet d’obtenir la variation de l’écart latéral en avant du véhicule :

˙

yL=v(β+ψL) +lSr. (4.78)

4.3.2 Modèle « bicyclette » du véhicule lié à la voie

Dans la section précédente nous avons établi le comportement dynamique du modèle « bicy-clette » dans un repère lié au véhicule. Pour obtenir la dynamique transversale par rapport à la voie de circulation, on ajoute à l’équation (4.63), les équations différentielles de l’écart latéral en avant du véhicule (4.78) et de l’angle de cap relatif (4.71) :

 4.3.3 Modèle « bicyclette » équivalent du véhicule sur la voie

Le modèle « bicyclette » de l’équation (4.79) admet pour les deux premières variables d’état l’angle de dérive et la vitesse de rotation en lacet. Dans la littérature traitant du contrôle latéral des véhicules, un modèle « bicyclette » du véhicule ayant le vecteur d’étatx˜= ( ˙y^CG_L ,ψ˙_L, y_L^CG, ψ_L)^T

est plus généralement utilisé [Pen90], [Pen91], [Swi06]. Ce modèle qui sera utilisé dans le Chapitre 8, Partie III de cette thèse, s’obtient facilement du modèle « bicyclette » de l’équation (4.79).

Pour cela, rappelons que le vecteur des vitesses de translation du centre de gravité du véhicule est ν₁ = (v, u, 0)^T et que la vitesse longitudinale v est constante. Ce vecteur simplifié est le résultat des hypothèses faites pour arriver à la réduction des équations au modèle « lacet-dérive » (Hypothèse 4.1.1, Hypothèse 4.1.2, Hypothèse 4.1.3 et Hypothèse 4.1.4).

De même, les forces latérales de contact pneumatique-chaussée peuvent être écrites en partant des équations (4.48) et (4.57) :

F_f = 2c_f(δ_f −u+r·lf vitesseν1, l’équation (4.60) s’écrit :

½ mu˙+mvr = (F_f)y+ (Fr)y,

Izr˙ = (Ff)y·lf −(Fr)y ·lr, (4.82) expression qui devient, après introduction des expressions des forces de l’équation (4.81) :

½ u˙ = _mv¹ (−CF −CR)u+_mv¹ (−CFlf+CRlr−mv²)r+CFδf,

˙ r = _vI¹

z(−CFlf +CRlr)u+_vI¹

z(−CFl²_f −CRl²_r)r+CFlfδf. (4.83) D’autre part, si on remplace l’angle de dériveβ par la vitesse latérale u, les équations de l’écart latéral au centre de gravité (4.75) et de l’angle de cap relatif (4.71) sont équivalentes à :

½ y˙^CG_L =u+v·ψL,

ψ˙_L =r−v·ρ_ref. (4.84)

En dérivant les équations (4.84), puis en utilisant les expressions des dérivées de u˙ et de r˙ données par les équations (4.83), on obtient les équations linéaires de la dynamique transversale en fonction dey˙^CG_L ,ψ˙L,y^CG_L etψL :

Ces équations prennent alors la forme de la représentation d’état suivante :



En définissant les matrices et vecteurs : 4.3.4 Coordonnées sur la voie des roues avant du véhicule

Le véhicule sera considéré dans cette section comme un rectangle de longueur lr +lf et de largeur égale à la longueur des essieux a. Nous exprimerons des conditions mathématiques, portant sur l’écart latéral et l’angle de cap relatif, permettant de garder l’avant du véhicule dans les limites de la voie. Ces conditions seront d’abord établies pour une route à faible courbure puis pour une route à virages significatifs.

Route à faible courbure

Dans les paragraphes suivants, les positions latérales des roues avant du véhicule gauche et droite, yg etyd, seront calculées par rapport au centre de la voie, sous l’hypothèse queρref ∼= 0 (voir Figure 4.21).y_g ety_d sont aussi les coordonnées des roues avant du véhicule sur deux axes orthogonaux à la médiane de la voie. Ces deux axes sont positifs à gauche du centre de la voie.

Dans un premier temps, nous considérons le véhicule avec un angle de cap relatifψ_L^CGet un écart latéraly_L^CGau centre de gravité (voir Figure 4.21). Sous l’hypothèse que ψ_L^CGest faible,yg

etyd s’écrivent :

yg =y^CG_L +l_fψ^CG_L + ^a₂, y_d=y^CG_L +l_fψ^CG_L − ^a₂. (4.89) Nous considérerons maintenant une bande de largeur 2d, centrée sur la voie de circulation, notée (±d). Les deux roues avant du véhicule se trouvent simultanément à l’intérieur de cette zone, si la condition suivante est satisfaite (voir Figure 4.21) :

½ yg≤d,

yd≥ −d. ⇔ (4.90)

−2d−a

2 ≤y_L^CG+l_fψ_L^CG≤ 2d−a

2 . (4.91)

Considérons maintenant que la mesure de l’écart latéral yL est prise à l’avant du véhicule, à une distance de visélS>0(voir Figure 4.22). Pour les voies à faible courbure, l’angle de cap relatif en avant du véhicule coïncide avec la mesure au centre de gravité du véhicule (ψ_L=ψ^CG_L ). Avec la

Fig.4.21 – Position des roues avant du véhicule par rapport au centre de la voie (route à faible courbure).

même hypothèse des petits angles que précédemment, nous pouvons écrire quey_L^CG∼=yL−ψL·lS. En introduisant cette relation dans l’équation (4.89), il résulte :

yg =yL+ (lf −lS)ψL+^a₂, yd=yL+ (lf −lS)ψL−^a₂. (4.92) Les roues avant du véhicule se trouvent donc à l’intérieur de la zone±d, si la condition suivante est vérifiée :

−2d−a

2 ≤y_L+ (l_f −l_S)ψ_L≤ 2d−a

2 . (4.93)

Fig.4.22 – Position des roues avant du véhicule par rapport au centre de la voie (route à faible courbure), écart latéral à l’avant du véhicule.

Route à courbure significative

Nous considérons maintenant le cas d’une route de courbure non-négligeable|ρ_ref|>0. Par convention, ρref est positive pour un virage à gauche (ρref > 0) et négative pour un virage à droite (ρref <0). Sur les Figures 4.23 et 4.24, la route est supposée avoir un rayon de courbure constant et toujours positif :R=|1/ρ_ref|.

Sur cette figure, xx et yy sont les positions transversales des roues avant gauche et droite par rapport aux bords gauche respectivement droit de la voie. Elles se trouvent sur deux axes reliant la roue gauche, respectivement la roue droite, au centre instantané de rotation de la voie (voir Figures 4.23 et 4.24). Les deux axes ont leurs origines sur les bords de la voie. xx et yy sont positifs si les roues sont à l’intérieur de la voie et négatifs sinon.

Sur les Figures 4.23 et 4.24, b est une constante du véhicule, facilement calculable par b = ql_f²+ (^a₂)². L’angleα est également constant et vautα= arctan(_2l^a

f).

Fig. 4.23 – Coordonnées des roues avant du véhicule, pour un virage à gauche de courbure significative.

Par la suite, les positions transversales des roues avant du véhicule seront calculées pour les virages de courbure positive et négative.

1. Virage à courbure positive (ρref ≥0, voir Figure 4.23) : Pour calculerxx, on applique le théorème de Pythagore généralisé au △AO(CG). L’angle θ vaut²³ θ= ^π₂ −α−ψ_L^CG. On obtient :

(R+xx)²=b²+ (R+L

2 −y_L^CG)²−2b(R+L

2 −y^CG_L ) cosθ⇒ (4.94) xx=

r

b²+ (R+ L

2 −y^CG_L )²−2b(R+L

2 −y_L^CG) cos(π

2 −α−ψ_L^CG)−R. (4.95) Pour calculeryy le théorème de Pythagore généralisé est appliqué au△BO(CG). L’angle ϕvaut ϕ=α−ψ_L^CG. On obtient de même :

(R+L−yy)²=b²+ (R+L

2 −y_L^CG)²−2b(R+L

2 −y^CG_L ) cos(π

2 +ϕ)⇒ (4.96)

23L’angleψ_L^CGpeut être positif ou négatif, la formule restera valable indépendamment du signe.

Fig. 4.24 – Coordonnées des roues avant du véhicule, pour un virage à droite de courbure significative.

yy=− r

b²+ (R+L

2 −y_L^CG)²−2b(R+ L

2 −y^CG_L ) cos(π

2 +α−ψ^CG_L ) +R+L. (4.97) 2. Virage à courbure négative (ρref <0, voir Figure 4.24) :

Pour calculer xx, le théorème de Pythagore est appliqué cette fois ci au △AO(CG). Les angles ϕ etθ ont pour valeurs : ϕ=α−ψ_L^CG etθ= ^π₂ −ϕ= ^π₂ −α+ψ_L^CG. On obtient :

(R+L−xx)²=b²+ (R+L

2 +y_L^CG)²−2b(R+L

2 +y^CG_L ) cos(θ+ 2α)⇒ (4.98) xx=−

r

b²+ (R+L

2 +y^CG_L )²−2b(R+L

2 +y_L^CG) cos(π

2 +α+ψ^CG_L ) +R+L. (4.99) Pour calculer yyon procède de même avec le △BO(CG) :

(R+yy)²=b²+ (R+L

2 +y_L^CG)²−2b(R+L

2 +y^CG_L ) cosθ⇒ (4.100) yy=

r

b²+ (R+L

2 +y_L^CG)²−2b(R+L

2 +y^CG_L ) cos(π

2 −α+ψ_L^CG)−R. (4.101) Ensuite, nous garderons les deux axes définis pour xx et pour yy, mais nous changerons les origines vers le centre de la voie, avec des orientations similaires au cas de la voie sans courbure (ρ_ref = 0) (voir Figure 4.21). Par conséquent, pour des virages à rayon de courbure non nulle, les coordonnées des roues avant du véhicule, par rapport au centre de la voie, s’écrivent :

yg = L

2 −xx et y_d=−L

2 +yy, (4.102)

où xx est donné par les équations (4.95) et (4.99) et yy est donné par les équations (4.97) et (4.101). Ces quatre équations sont résumées dans le Tableau 4.1.

Tab.4.1 – Formules dexxet de yy.

Dans le cas où l’écart latéral et l’angle de cap relatif ne sont pas mesurés au centre de gravité du véhicule, mais à l’avant, à une distancelS, des transformations peuvent être effectuées pour calculer y_L^CG et ψ_L^CG en fonction de yL et ψL. Sur la Figure 4.25 (a) sont représentées les constructions géométriques nécessaires aux transformations pour un virage à gauche. En appliquant le théorème de Pythagore généralisé dans le triangle△OD(CG), on obtient :

( (R+ ^L₂ −y_L^CG)² =l_S² + (R+^L₂ −y_L)²−2l_S(R+^L₂ −y_L) cos(^π₂ +ψ_L), De même la Figure 4.25 (b) pour un virage à droite et le théorème de Pythagore généralisé appliqué au triangle △OD(CG), permet d’établir :

( (R+ ^L₂ +y_L^CG)² =l_S² + (R+^L₂ +yL)²−2lS(R+^L₂ +yL)cos(^π₂ −ψL),

Des différences significatives apparaissent dans les formules des coordonnées des roues avant, entre le cas d’une route à faible courbure et le cas d’une route avec des virages prononcés. Ces différences sont d’une part la non linéarité du second cas par rapport à ψ^CG_L ety_L^CG et d’autre part la dépendance avec le rayonRdu virage, qui doit alors être accessible à la mesure. Ces deux aspects sont limitant pour la synthèse de l’assistance, mais, l’approximation d’une route avec des virages par les équations d’une route à faible courbure se révèle en pratique suffisamment précise.

(a) (b)

Fig.4.25 – (a) Transformation de l’écart latéral et de l’angle de cap relatif au centre de gravité (virage à gauche). (b) Transformation de l’écart latéral et de l’angle de cap relatif au centre de gravité (virage à droite).

Sur la Figure 4.26 (a) sont représentées les erreurs absolues entre les coordonnées des roues avant calculées à partir des équations (4.92) (route à faibles courbures) et des équations (4.102) (route sinueuse), lors d’un trajet test effectué avec le véhicule prototype. La courbure de la voie a été mesurée par traitement d’images utilisant une caméra montée en vision frontale (voir Figure 4.26 (b)). L’erreur maximale est de l’ordre de10⁻³m et l’erreur moyenne de d’ordre 10⁻⁴m. À la vue de ces résultats, il a été décidé de négliger la courbure dans le calcul des coordonnées des roues avant et de toujours utiliser les formules linéaires des équations (4.92).

(a) (b)

Fig.4.26 – Conduite en slalom (a) Erreur entre les coordonnées des roues avant calculées d’une façon exacte et approchée ; (b) La courbure de la voie.

4.4 Modèle « bicyclette » intégrant la colonne de direction et le

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