Fonction de Lyapunov quadratique et inégalités matricielles

Nous allons porter notre attention dans les paragraphes suivants sur une classe particulière de fonctions de Lyapunov : les fonctions de Lyapunov quadratiques. Dans un premier temps, les propriétés de ces fonctions seront mises en valeur pour des systèmes linéaires invariants dans le temps. Dans un deuxième temps, les systèmes linéaires à paramètres variants seront abordés.

Les systèmes linéaires considérés dans les sections suivantes possèdent un seul point d’équilibre : l’origine.

Nous ferons en même temps le lien entre la stabilité des systèmes linéaires et les inégalités ma-tricielles linéaires pour les fonctions quadratiques. De cette manière, nous aborderons la synthèse des lois de commande par retour d’état à travers des fonctions de Lyapunov et des problèmes d’optimisation LMI.

Considérons le système dynamique invariant décrit dans (3.3) dont l’intégralité du vecteur d’état est supposée accessible à la mesure :y=x :

½ x˙ =Ax+Buu+Bww

y=x, t∈R⁺, x∈Rⁿ, u∈R^m, w∈R^p. (3.65) Définition 3.4.1 (Fonction quadratique définie positive) La fonctionV :Rⁿ→Rest une fonction quadratique définie positive si :

V(x) =x^TP x et P ∈R^n×n, P =P^T, P ≻0. (3.66) Premièrement, puisque la matrice P est définie positive, nous remarquons que la fonction V(x) est définie positive et radialement non-bornée pour tout x ∈ Rⁿ. Elle est donc une très bonne candidate pour une fonction de Lyapunov. Les courbes de niveau de cette fonction sont décrites par des ellipsoïdes :

ε(1

αP) ={x∈Rⁿ: x^TP x≤α}. (3.67) Deuxièmement, nous considérerons la seconde condition pour obtenir une fonction de Lyapu-nov. La fonction V(x) de (3.66) doit satisfaire cette condition vis-à-vis du système (3.65). Plus précisément, elle doit avoir sa dérivée négative le long des trajectoires du système (3.65) :

V˙(x(t))≤0 ⇔ x˙^TP x+x^TPx˙ ≤0 ⇔

⇔ (Ax+Buu+Bww)^TP x+x^TP(Ax+Buu+Bww)≤0⇔

⇔x^T(A^TP +P A)x+u^TB^T_uP x+x^TP Buu+w^TB_w^TP x+x^TP Bww≤0.

(3.68)

3.4.1 Système dynamique linéaire invariant autonome Pour les systèmes linéaires invariants autonomes (u= 0,w= 0) :

½ x˙ =Ax

y=x, t∈R⁺, x∈Rⁿ. (3.69)

l’équation (3.68) se traduit par une inégalité matricielle linéaire :

x^T(A^TP+P A)x≤0, ∀x∈Rⁿ ⇔ A^TP +P A¹0. (3.70) Remarque 3.4.1 S’il existe une fonction V : Rⁿ → R, V(x) = x^TP x, P = P^T, P ≻ 0 et A^TP +P A¹0, le système x˙ =Axest alors globalement stable.

Pour les systèmes de type : x˙ =Ax, l’existence de la fonction de Lyapunov quadratique s’est avérée non seulement suffisante, mais aussi nécessaire pour prouver la stabilité.

Lemme 3.4.1 (Existence d’une fonction de Lyapunov quadratique) [Rug93]

Considérons le système dynamique linéaire invariant x˙ = Ax, x ∈ Rⁿ, A ∈ R^n×n. Si la matrice A a toutes ses valeurs propres à partie réelle négative, il existe une solution unique à l’équation de Lyapunov

A^TP+P A=−Q (3.71)

et cette solution et décrite par

P = Z ∞

0

e^ATτQe^Aτdτ. (3.72)

De plus, si la matrice Qest définie positive, la matrice P est définie positive.

Le Lemme 3.4.1 garantit la faisabilité du problème LMIA^TP+P A¹0 pour une matriceA ayant des valeurs propres à partie réelle négative.

3.4.2 Système dynamique linéaire invariant commandé par retour d’état Considérons dans ce paragraphe un système dynamique linéaire invariant avec des entrées de commande, mais sans entrée de perturbation :

½ x˙ =Ax+Buu

y=x, t∈R⁺, x∈Rⁿ, u∈R^m. (3.73) L’objectif fondamental de la synthèse d’une loi de commande u(x) est de rendre le système (3.73) stable, ou bien, si le système est déjà stable, de ne pas altérer sa stabilité. Pour une loi de commande par retour d’état constant u(x) =Kx, K ∈R^m×n, cet objectif peut être atteint en cherchant simultanément une fonction de Lyapunov quadratique et le vecteur de retour d’état K en résolvant un problème de faisabilité LMI.

Pour u=Kx etw= 0, l’équation (3.68) s’écrit sous la forme :

x^T(A^TP +P A+K^TB_u^TP+P BuK)x≤0 ∀x∈Rⁿ ⇔ A^TP+P A+K^TB_u^TP+P BuK ¹0.

(3.74) Nous avons montré dans l’Exemple 3.1.2 qu’en faisant le changement de variable Q =P⁻¹ etY =KP⁻¹ dans (3.74) nous obtenions pour la synthèse de la loi de commande le problème de faisabilité LMI suivant :

½ Q≻0

AQ+QA^T +Y^TB^T +BY ¹0. (3.75)

Afin d’étendre la synthèse de la loi de commande à d’autres objectifs que la stabilité, le pro-blème de faisabilité LMI (3.75) peut être adjoint de contraintes ou transformé en un propro-blème d’optimisation LMI en ajoutant une fonction de coût. Nous allons exposer quelques exemples de problèmes de faisabilité LMI et d’optimisation LMI prenant en compte des exigences supplémen-taires par rapport à la stabilité lors de la synthèse de la loi de commande. Les exemples présentés ci-dessous reposent sur la propriété d’invariance positive des courbes de niveau de la fonction de Lyapunov et également sur leur convexité.

Pour les exemples suivants nous utiliserons un ensemble d’états initiaux χ⁰ ∈ Rⁿ qui est décrit par le polytope :

Enoncé exemple 3.4.1 (Minimiser l’ensemble atteignable) [Boy94] L’objectif de cet ex-emple est de trouver des contraintes LMI et, si nécessaire, une fonction de coût, pour synthétiser par un problème d’optimisation LMI la loi de commandeu=Kx, telle que :

1. le système (3.73) soit stable,

2. l’ensemble atteignable χ(∞, t0, χ⁰) soit réduit au minimum quand χ⁰ est décrit par (3.76).

Développement exemple 3.4.1 (Minimiser l’ensemble atteignable)

1. La stabilité du système (3.73) est assurée par les contraintes LMI (3.75), V(x) = x^TP x étant une fonction de Lyapunov. Par conséquent, ε(P) représente un ensemble invariant du système (3.73) avec la commande u(x) =Kx.

2. Nous rappelons dans un premier temps la remarque faite dans la Section 3.2.3 : si un ensemble des états initiaux est inclus dans un ensemble invariant, l’ensemble atteignable afférent est également inclus dans l’ensemble invariant. Ainsi, nous étudierons d’abord l’in-clusion de l’ensemble χ⁰ dans ε(P) (voir Figure 3.7).

3. Un polytope est inclus dans un ensemble convexe si tous ses sommets y sont inclus. En conséquence, χ⁰ est inclus dans ε(P) si vi ∈ ε(P), i = 1, . . . , g. Cela revient, selon la définition d’un ellipsoïde, à :

v_i^TP v_i ≤1, i= 1, . . . , g ⇔ 1−v_i^TP v_i ≤0, i= 1, . . . , g. (3.77) En appliquant le Lemme de Schur dans l’équation (3.77), nous obtenons :

µ 1 v^T_i

4. Pour minimiser la taille de l’ellipsoïde ε(P) nous pouvons soit minimiser la trace tr(Q), soit minimiser le déterminantdet(Q) ou la valeur propre maximale de Q, λ_max(Q).

5. Le problème d’optimisation LMI, dont la solution fournit la loi de commande u(x) =Kx, s’écrit donc de la manière suivante :

minimiser tr(Q) ou det(Q) ou λmax(Q)

contraint par Q≻0,

AQ+QA^T +Y^TB^T +BY ¹0, µ 1 v_i^T

v_i Q

¶

º0, i= 1, . . . , g.

(3.79)

Les variables matricielles sont Q=P⁻¹ et Y =KP⁻¹.

6. Nous remarquons que l’ensemble ε(P) ne reste qu’une approximation extérieure de l’en-semble atteignable χ pour u(x) = Kx. Cette méthode représente également un bon moyen de prendre en compte l’ensemble atteignable lors de la synthèse de la loi de commande.

Fig. 3.7 – Minimisation de l’ensemble atteignable.

Enoncé exemple 3.4.2 (Borner la valeur de l’entrée de commande) [Boy94] L’objectif de cet exemple est de trouver des contraintes LMI et, si nécessaire, une fonction de coût, pour syn-thétiser par un problème d’optimisation LMI la loi de commande u(x) =Kx, telle que

1. le système (3.73) ayant une seule entrée (m= 1) soit stable,

2. la loi de commande u(x) = Kx reste bornée à U_max en valeur absolue pour tout x₀ ∈ χ⁰ décrit par (3.76) et pour t₀ = 0.

Développement exemple 3.4.2 (Borner la valeur de l’entrée de commande)

1. La stabilité est assurée par les contraintes LMI (3.75), V(x) = x^TP x étant une fonction de Lyapunov. Par conséquent,ε(P) représente un ensemble invariant du système (3.73) en boucle fermée (u(x) =Kx).

2. La condition |u(x)| = |Kx| ≤ Umax pour x ∈ Rⁿ s’écrit comme étant un ensemble

maxK)les trajectoires du système (3.73) ne vont pas dépasser l’ensemble invariantε(P) et resteront en plus à l’intérieur de l’ensembleL(_U¹

maxK)pour tout x₀ ∈χ⁰ et t≥0. Dans ce cas, l’entrée de commande restera donc bornée àUmax pour toutx0 ∈χ⁰ et t≥0.

4. La relation d’inclusion χ⁰ ⊆ε(P) est décrite dans l’équation (3.78).

5. La relation d’inclusion ε(P) ⊆ L(_U¹

maxK) est équivalente à la contrainte suivante (voir Définition 3.1.9, Distance d’un ellipsoïde à un hyperplan) :

(_U¹ En appliquant le Lemme de Schur dans l’équation (3.81) nous obtenons la contrainte ma-tricielle suivante : 6. En conséquence, la recherche de la loi de commande bornée s’écrit comme un problème de

faisabilité LMI :

7. Nous remarquons que l’inclusion de l’ellipsoïde ε(P) dans le polyèdre L(_U¹

maxK) peut en-gendrer une contrainte forte sur la synthèse de la loi de commande. De plus, l’ellipsoïde ne représente qu’une approximation de l’ensemble atteignable χ(∞, t₀, χ⁰).

3.4.3 Système dynamique linéaire invariant commandé par retour d’état avec perturbations

Nous prendrons en compte dans cette section un système dynamique linéaire avec entrées de commandeu et de perturbationw:

½ x˙ =Ax+Buu+Bww

y=x, t∈R⁺, x∈Rⁿ, u∈R¹, w∈R^p. (3.84)

Fig. 3.8 – Limitation de la commande du système dynamique.

En poursuivant la série d’exemples d’utilisation de l’optimisation LMI lors de la synthèse de la loi de commande, nous montrerons comment calculer un retour d’état linéaire u = Kx qui tient compte des perturbationsw. Dans une première approche, la perturbationwsera considérée non-mesurable. Dans un deuxième temps, nous aborderons la synthèse d’une loi de commande pour des perturbations mesurables.

Dans l’Exemple 3.4.3, la perturbation w est supposée non-mesurable. En revanche, elle est supposée avoir une amplitude bornée w^Tw ≤ 1. Ce problème a été étudié parmi d’autres par [Boy94], [Nag94], [Naz07], [Pol06]. Il est connu comme étant l’approximation des ensembles attei-gnables des systèmes dynamiques linéaires ayant des entrées d’amplitudes crête à crête unitaires.

Enoncé exemple 3.4.3 (Minimiser l’ensemble atteignable malgré des perturbations) [Boy94]

L’objectif de cet exemple est de trouver des contraintes LMI et, si nécessaire, une fonction de coût, pour synthétiser par un problème d’optimisation LMI la loi de commande u(x) =Kx, telle que :

1. le système (3.84) soit stable,

2. l’ensemble atteignable χ(∞, t₀, χ⁰)soit réduit au minimum quandw^Tw <1 etχ⁰ est décrit par (3.76).

3. la loi de commande u(x) =Kx reste bornée à Umax en valeur absolue pour tout x₀∈χ⁰ et pour t₀ = 0.

Développement exemple 3.4.3 ( Minimiser l’ensemble atteignable malgré des

perturbations )

1. D’après les constats de la Section 3.2.3, l’inclusion de l’ensemble des états initiaux χ⁰ dans un ensemble invariant équivaut à l’inclusion de l’ensemble atteignable χ(∞, t₀, χ⁰) dans l’ensemble invariant. Nous cherchons un ensemble invariant ellipsoïdal ε(P), avec P ≻0, P =P^T qui provient d’une fonction quadratique V(x) =x^TP x.

2. Les contraintes LMI pour l’inclusion χ⁰ ⊆ε(P) sont décrites par : µ 1 v^T_i

vi Q

¶

º0, i= 1, . . . , g, Q=P⁻¹. (3.85) Cela engendre χ(∞, t₀, χ⁰)⊆ε(P).

3. L’ensemble ε(P) est invariant vis-à-vis des dynamiques du système (3.84) si

En appliquant la S-procédure, la condition de l’équation (3.87) est vraie s’il existe α >0 et β >0 tels que : En supposant sans perte de généralité que α=β, l’équation matricielle (8.37) s’écrit alors comme :

Par la suite les notationsQ=P⁻¹ etY =KP⁻¹ seront utilisées. En multipliant l’équation (8.38) à droite et à gauche par une matrice diagonale par blocs et définie positive, l’inégalité (8.38) reste valable :

maxK). Ceci est vrai, si la contrainte LMI suivante est satisfaite (voir Exemple 3.4.2) :

µ 1 _U¹

5. Pour minimiser l’ensemble atteignable χ(∞, t0, χ⁰) une minimisation de l’ensemble exté-rieur ε(P) est à effectuer. Ceci peut être atteint par la minimisation de la trace tr(Q), du déterminant det(Q) ou de la valeur propre maximale de Q,λmax(Q).

6. Si α > 0, une constante réelle, est supposée connue, la recherche de la loi de commande u = Kx qui minimise l’ensemble atteignable χ(t, t₀, χ⁰) pour w ∈ R^p, w^Tw ≤ 1 s’écrit comme un problème d’optimisation LMI :

minimiser tr(Q) oudet(Q) ou λmax(Q)

contraint par Q≻0

7. Nous remarquons qu’en l’absence de perturbation (w= 0), le système dynamique (3.84) est asymptotiquement stable. Les équations (3.95) assurent queV(x) =x^TP xest une fonction de Lyapunov car :

½ Q≻0,

QA^T +Y^TB_u^T +AQ+B_uY ¹ −αQ. (3.96) 8. Si la constante positive α est supposée inconnue (elle est donc une variable de décision), le problème d’optimisation LMI (3.95) se transforme en un problème d’optimisation BMI :

minimiser tr(Q) oudet(Q) ou λmax(Q)

contraint par α≻0,

Dans le second Exemple 3.4.4, nous prendrons en compte une perturbation mesurable. La perturbation w est considérée avoir également une valeur maximale bornée, w^Tw ≤ 1. Une approche connue pour ce cas consiste à atténuer l’effet de la perturbation via un terme de préfiltrage : u(x) =Kx+Ffw, où Ff ∈R^1×p.

Le terme Ff est généralement calculé de manière analytique, en appliquant le Théorème de la Valeur Finale à l’arrivée du système dans l’état stationnaire [Kwa72]. L’expression analytique

de l’état stationnaire du système dynamique est annulée. Ensuite, le termeFf est calculé comme une fonction de la perturbation :F_f =F_f(w) en supposant que la perturbation reste constante.

Cette approche n’est pas toujours possible, car le système d’équations résultant n’est pas systé-matiquement compatible. Nous proposerons dans l’exemple suivant une alternative pour calculer le termeF_f par un problème d’optimisation BMI.

Enoncé exemple 3.4.4 ( Minimiser l’ensemble atteignable

malgré des perturbations via un terme de préfiltrage ) L’objectif de cet exemple est de trouver des contraintes LMI et, si nécessaire, une fonction de coût, pour synthétiser via un problème d’optimisation LMI la loi de commandeu =Kx+Ffw, telle que :

1. le système (3.84) soit stable en l’absence de perturbation (w= 0) ,

2. l’ensemble atteignable χ(∞, t₀, χ⁰) soit aussi petit que possible pour w^Tw < 1 et pour χ⁰ décrit par (3.76),

3. la loi de commande u(x) = Kx+Ffw reste bornée à Umax en valeur absolue pour tout x₀∈χ⁰, pour tout w∈R^p tel que w^Tw≤1 et pour t≥0.

Développement exemple 3.4.4 ( Minimiser l’ensemble atteignable malgré

des perturbations via un terme de préfiltrage ) 1. Nous reformulons d’abord le système dynamique (3.84) pour u=Kx+F_fw :

½ x˙ =Ax+B_uKx+B_uF_fw+B_ww

y=x, t∈R⁺, x∈Rⁿ, w∈R^p, ⇔ (3.98)

½ x˙ =Ax+BuKx+ ¯Bww

y=x, t∈R⁺, x∈Rⁿ, w∈R^p, ⇔ (3.99)

½ x˙ =Ax+Buu¯+ ¯Bww

y=x, t∈R⁺, x∈Rⁿ, w∈R^p, (3.100) où u¯=Kx etB¯w =BuFf +Bw.

2. Nous remarquons que le système (3.100) est équivalent au système (3.84) les notations de

¯

u et B¯w mises à part. Par conséquent, le problème exposé ici équivaut au problème exposé dans l’Exemple 3.4.3. Évidemment, la solution de la recherche de u¯ = Kx satisfaisant les conditions de stabilité et de minimisation de l’ensemble atteignable est décrite par le problème d’optimisation BMI suivant :

minimiser tr(Q) ou det(Q) ou λmax(Q)

contraint par Q≻0,

µ QA^T +Y^TB_u^T +AQ+BuY +αQ B¯w

B¯_w^T −αI

¶

¹0, µ 1 v_i^T

v_i Q

¶

º0, i= 1, . . . , g.

⇔ (3.101)

minimiser tr(Q) oudet(Q) ou λmax(Q)

3. La commande peut être bornée à Umax assurant l’inclusion de l’ellipsoïde ε(P) dans l’en-semble L(_U¹

max(K, Ff)), où : ε(P)⊂ L( 1

U_max(K, F_f)) ={x∈Rⁿ, w∈R^p : |Kx+F_fw| ≤Umax,∀ w^Tw≤1}. (3.103) (K, Ff)∈R^1×(n+p) dénote le vecteur formé par la concaténation des vecteurs K et Ff. Cette inclusion peut être formulée de la façon suivante :

½ −Kx−F_fw+Umax≥0

En utilisant la S-procédure, la condition décrite précédemment est vraie s’il existeτ₁, τ₂,τ₃ et τ₄, quatre scalaires positifs, tels que les contraintes suivantes soient satisfaites :



En multipliant à droite et à gauche par la matrice



et avec la notation Y =KQ, nous obtenons :



4. Le problème BMI, dont la résolution fournit le vecteur de retour d’état K ainsi que le facteur de préfiltrage F_f satisfaisant les trois conditions de l’énoncé de l’exemple, s’écrit donc de la manière suivante :

minimiser tr(Q) ou det(Q) ou λmax(Q)

contraint par Q≻0

(3.112) 5. La recherche de F_f par le problème (3.111) offre plusieurs avantages par rapport au calcul

de Ff via le Théorème de la Valeur Finale :

(a) Ce calcul ne suppose pas une convergence vers l’état stationnaire à l’infini.

(b) Le terme Ff peut contribuer lors de la synthèse de la loi de commande à la minimi-sation de l’ensemble atteignable dans le cas d’une perturbation bornée.

(c) Nous obtenons des garanties sur l’évolution des trajectoires et notamment sur la valeur maximale de la loi de commande grâce à l’ensemble invariant ε(P), garanties qui ne sont pas fournies par le Théorème de la Valeur Finale.

3.4.4 Système dynamique linéaire à paramètres variants

Dans cette section nous nous focaliserons sur les systèmes dynamiques linéaires à paramètres variant dans le temps. Nous présenterons des résultats pour prouver leur stabilité, résultats qui reposent sur le Théorème de Lyapunov.

Dans ce but, considérons un système dynamique linéaire autonome, avec une matrice du systèmeA qui dépend du vecteur de paramètresδ(t) : R⁺→R^g :

½ x˙ =A(δ(t))x

y=x, t∈R⁺, x∈Rⁿ. (3.113)

Nous présenterons un cas particulier des systèmes dynamiques à paramètres variants : le cas des paramètres satisfaisant des contraintes polytopiques. Sans perte de généralité, nous suppose-rons par la suite que la matrice Ase trouve dans un polytope dont les sommets sont déterminés parAⁱ ∈R^n×n,i= 1, . . . , g :

A∈ Ω,{A∈R^n×n: A(δ(t)) =

g

X

i=1

Aⁱδi(t), Aⁱ ∈R^n×n,0≤δi(t)≤1,

g

X

i=1

δi(t) = 1}. (3.114) Une condition suffisante pour la stabilité asymptotique du système (3.113) est l’existence d’une fonction de Lyapunov quadratiqueV(x) =x^TP x,P ≻0,P =P^T décroissante le long des trajectoires du système (3.113). Car la dérivée de la fonction de Lyapunov quadratiqueV(x)est décrite par :

V˙(x) =x^T(A(t)^TP+P A(t))x, (3.115) les conditions nécéssaires et suffisantes pour la stabilité du système (3.113) sont :

P ≻0 et A^TP +P A≺0 ∀A∈Ω. (3.116)

Lemme 3.4.2 (Stabilité quadratique des systèmes linéaires polytopiques) [Boy94]

Les contraintes (3.116) sont équivalentes à

P ≻0 et (Aⁱ)^TP +P Aⁱ ≺0 ∀i= 1, . . . , g. (3.117) Par conséquent, l’étude de la stabilité quadratique du système dynamique (3.113) équivaut au problème de faisabilité LMI (3.117) constitué de(g+ 1) inégalités.

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