Modèle du véhicule pour le suivi de voie et instrumentation
4.2 Modèle de la colonne de direction assistée électrique
Comme nous le verrons dans les prochains chapitres, les commandes développées seront im-plantées sur un véhicule équipé d’une colonne de direction classique mais mue par un moteur électrique. La colonne de direction est donc au final le système qui transforme un angle de bra-quage du volant ou du moteur, dans le mode assistance active, en un angle de brabra-quage des roues. Nous supposerons donc l’existence d’un lien mécanique entre le volant et les roues avant directrices. Dans cette section, quelques éléments et principes de fonctionnement et de modé-lisation de la colonne de direction assistée électrique seront fournis. Un modèle simplifié de la colonne sera présenté.
Le conducteur se sert de la colonne de direction pour imposer un cap à son véhicule, no-tamment pour suivre la voie de circulation. Cependant, la relation entre l’angle de braquage au volant et le changement de cap du véhicule n’est pas linéaire. La succession d’actions et de réactions, qui aboutit à un rebouclage sur l’action de conducteur, est la suivante [Rei01] :
Fig. 4.11 – Modèle « bicyclette » du véhicule.
– le conducteur braque le volant et son mouvement est transmis à la crémaillère par la colonne,
– l’angle des roues directrices change,
– des forces latérales de contact pneumatique-chaussée se créent et créent un couple d’au-toalignement,
– l’orientation du véhicule est modifiée et le conducteur perçoit grâce au couple d’autoali-gnement, un couple résistant sur le volant.
Ce processus d’action-réaction nécessite donc de la part du conducteur une adaptation perma-nente de l’angle de braquage, en fonction non seulement de la position perçue visuellement, mais aussi en fonction des retours haptiques sur le volant et sur l’ensemble du corps, notamment causés par le devers de la route et l’accélération latérale.
La réalisation technique des directions des véhicules a une longue histoire qui a commencé au XIXème siècle [Bro06]. Repris des chariots, le système à un essieu directeur à l’avant et des roues fixes, solidaires de celui-ci, s’est avéré difficilement contrôlable sous l’effet des perturbations sur la voie. Pour pallier ce problème, Ackermann a proposé et a breveté en 1817 un système de braquage trapézoïdal qui assure le même angle de braquage aux deux roues directrices. Par contre, ce système ne convenait pas en virage car, pour une bonne conduite, les roues avant évoluant sur des cercles de rayons différents doivent avoir des angles de braquage différents. Quelques années plus tard, Jeantaud a éliminé ce problème ; il a conçu une technique de braquage, qui réalise, en plus de l’invention de Ackermann, une intersection au même point, le centre de rotation, des axes orthogonaux aux roues avant braquées et des axes orthogonaux aux roues arrières (voir Figure 4.12). Ce système est encore utilisé dans toutes les colonnes de direction des véhicules actuels.
Aujourd’hui, le mouvement de rotation du volant est transmis à la crémaillère via des arbres.
Ensuite, un pignon transforme le mouvement de rotation en un mouvement de translation de la crémaillère.
La direction assistée est montée sur la plupart des véhicules sur le marché. Ce système est ajouté à la colonne de direction manuelle. Cela présente l’avantage, qu’en cas de défaillance de
Fig.4.12 – Modèle du mécanisme de la direction de Jeantaud.
l’assistance, le véhicule reste manœuvrable. Pour son fonctionnement, le couple exercé par le conducteur sur le volant est mesuré. Ensuite, une force ou un couple est ajouté sur la colonne de direction pour soutenir les efforts du conducteur. L’assistance est réalisée soit par un système hydraulique, soit par un moteur électrique. La combinaison des deux est également possible. Les systèmes hydrauliques ont l’avantage d’offrir un grand couple d’assistance, mais ils doivent rester en permanence sous pression, même quand le conducteur n’a pas besoin d’être aidé. Cependant, les assistances réalisées par les moteurs électriques ne consomment de l’énergie que lorsque cela est nécessaire. Elles ne peuvent pas par contre soutenir des charges importantes et sont soumises au risque d’échauffement. Le véhicule prototype utilisé pour la partie expérimentale de cette thèse est équipé d’une direction à assistance électrique.
Fig. 4.13 – Modèle de la colonne de direction.
Nous présenterons dans ce qui suit les équations dynamiques qui décrivent la transformation de l’angle de braquage du volant en un déplacement de la crémaillère. La colonne de direction qui équipe le véhicule prototype est composée de trois arbres reliés par des joints de cardan (voir Figure 4.13) : l’arbre supérieur AC solidaire du volant, l’arbre médian CD et l’arbre inférieur DE lié par un pignon à la crémaillère. Les joints de cardan ont les rendements ξ1 etξ2. L’arbre AC forme un angle π1 avec l’arbre CD et l’arbreCD forme un angle π2 avec l’arbre DE (voir Figure 4.16). Le moteur électrique est positionné dans le prolongement du volant, au niveau du
pointB sur la Figure 4.13. Il est relié par un engrenage à roues dentées à l’arbreAC.
Un repère fixe par rapport au repère caisse Rc sera associé à chacun des trois arbres et à la crémaillère. Ils sont notés OsXsYsZs, OmXmYmZm, OinXinYinZin et OcrXcrYcrZcr. Ces repères sont représentés sur les Figures 4.14 et 4.15. Les repèresOs1Xs1Ys1Zs1,Om1Xm1Ym1Zm1, Oin1Xin1Yin1Zin1 etOcr1Xcr1Ycr1Zcr1 sont des repères mobiles qui ont un axe confondu avec les repères fixes, comme indiqué sur les Figures 4.14 et 4.15.
(a) (b)
Fig. 4.14 – (a) Modèle de la colonne supérieure. (b) Modèle de la colonne médiane.
(a) (b)
Fig.4.15 – (a) Modèle de la colonne inférieure. (b) Modèle de la crémaillère.
Nous écrivons maintenant les équations dynamiques qui relient le couple exercé par le conduc-teur sur le volant au déplacement de la crémaillère, en passant par chaque élément composant la colonne de direction [Ram07] :
1. Colonne supérieure :
Icsδ¨v+Bcsδ˙v =Cc+Ca−CR1. (4.64) 2. Colonne médiane :
Im¨δCM +Bmδ˙CM =ξ1CR1 −CR2,
δCM = arctan(cosπ1 tanδv). (4.65) 3. Colonne inférieure :
Iin¨δCI +Binδ˙CI =ξ2CR2 −CR3,
δCI = arctan(cosπ2 tanδCM). (4.66)
4. Crémaillère :
OcrOcr1=−RcrδCI, FR= CRR3cr,
mcr(Ocr¨Ocr1) +Bcr(OcrO˙ cr1) =FR−FD−FG.
(4.67)
Dans les équations (4.64), (4.65), (4.66) et (4.67) l’angle δv représente l’angle de braquage du volant par rapport au repère fixe OSXSYSZS. Les paramètres Ics, Im et Iin sont les moments d’inertie des trois arbres autour des axesOX. Les paramètresBcs,BmetBinsont les coefficients d’amortissement.Rcr est le rayon primitif du pignon de la crémaillère.
(a) (b)
Fig. 4.16 – (a) Angle formé par la colonne supérieure et la colonne médiane. (b) Angle formé par la colonne médiane et la colonne inférieure.
Les équations (4.64), (4.65), (4.66) et (4.67) montrent le caractère fortement non-linéaire de la relation entre l’effort exercé sur la colonne de direction et le déplacement de la crémaillère et par conséquent l’angle de braquage des roues avant. De plus, les inerties et les amortissements des trois arbres sont des paramètres inconnus et difficiles à estimer.
Le modèle utilisé pour la synthèse de la loi de commande peut être plus simple. À titre d’exemple, nous pouvons considérer, comme sur la Figure 4.17, que la colonne de direction est composée d’un arbre unique. Cette hypothèse permet de formuler la dynamique de la colonne comme un système linéaire du second ordre schématisé sur la Figure 4.18.
Fig. 4.17 – Modèle réduit de la colonne de direction.
La représentation d’état de ce modèle est la suivante :
Les entrées de ce modèle sont le couple conducteur Cc, le couple d’assistance Ca et le couple d’auto-alignementCat. Le couple d’auto-alignement peut être modélisé comme le produit de la chasse géométrique ηt et de la force latérale sur les roues avant Ff = 2cf(δf −β− r lvf) (voir équations (4.55) et (4.58)). L’expression obtenue au niveau du volant est :
Cat=−TSββ−TSrr+2cRfηt
S δf, où TSβ = 2cRfηt
S , TSr = 2cRflfηt
Sv . (4.69)
Dans les équations (4.69), le paramètre RS est le rapport de réduction de la direction et IS
représente le moment d’inertie de la colonne de direction.
Fig. 4.18 – Modèle de la colonne de direction pour la synthèse des lois de commande.