Ensemble atteignable et ensemble invariant

3.2.1 Ensemble atteignable

Deux questions fondamentales apparaissent dans l’analyse des systèmes dynamiques et dans la synthèse des lois de commande. La première question est « Où les trajectoires d’un système dynamique arriveront en partant d’un état initial connu, ou en partant d’un ensemble d’états initiaux connus, sous l’influence des entrées ? ». Dans ce cas, on étudie par exemple le pire ef-fet qu’une perturbation bornée peut avoir sur les performances d’un système dynamique. Pour

répondre à cette question, l’ensemble atteignable du système est à rechercher pour l’entrée consi-dérée.

La deuxième question est de savoir si les trajectoires d’un système dynamique resteront dans l’ensemble souhaité. Sinon, comment faire pour les garder dans cet ensemble via des entrées de commande ? Par exemple, on peut étudier si les trajectoires resteront dans les limites souhaitées.

Une réponse à cette question est fournie par la théorie des ensembles invariants. Les définitions d’un ensemble atteignable et d’un ensemble invariant seront introduites par la suite.

Définition 3.2.1 (Ensemble atteignable [Kur97]) L’ensemble atteignable χ(t, t0, χ⁰) d’un système dynamique décrit dans l’équation (3.1) est défini par

χ(t, t0, χ⁰),∪{x(t, t0, x⁰) : x⁰ ∈χ⁰, v(t)∈Υ(t), t∈T ⊂R⁺}, (3.52) où x(t, t0, x⁰) est une trajectoire du système (3.1), χ⁰ est un ensemble convexe et compact des états initiaux dansRⁿetΥ(t) est un ensemble convexe et compact des contraintesΥ(t) :T →R^r. L’ensemble atteignable d’un système dynamique pourrait être calculé à partir de la totalité de ces trajectoires. Pour étudier cette alternative, regardons d’abord plus en détail une trajectoire isolée d’un système dynamique.

Le comportement d’un système dynamique est décrit d’une manière analytique exacte par la solution de l’équation différentielle (3.1) pour un état initial x(t0) = x⁰ et pour une entrée v(t)∈R^r. Cette solution est représentée pour les systèmes dynamiques linéaires par :

x(t, t₀, x⁰) =e^(t−t0)Ax⁰+ Z t

t0

e^{τ A}Bv(τ)dτ, (3.53)

où B= [Bu, Bw],v= [u^T, w^T]^T.

Dans la plupart des cas pratiques l’état initial du système x⁰ n’est pas connu. En revanche, nous pouvons presque toujours supposer qu’il appartient à un ensembleχ⁰ convexe et compact.

De plus, si l’entrée de commande u est normalement prédéterminée dans les applications de contrôle, les entrées de perturbations ou le bruit wne sont généralement pas connus de manière analytique. La connaissance des perturbations peut se limiter à des propriétés les caractérisant, notamment l’énergie, le domaine fréquentiel, ou des limites des valeurs temporelles. De plus, en supposant qu’on connaît la valeur x⁰ et les fonctions u(t) et w(t) d’une manière analytique, la résolution de l’équation (3.53) s’avère difficile, spécialement pour des systèmes d’ordre élevé.

Celle-ci est fournie par des calculs numériques.

En effet, l’ensemble atteignable est difficilement calculable à partir des trajectoires isolées.

L’ensemble atteignable est estimé dans la littérature à travers des ensembles intérieurs ou ex-térieurs à l’ensemble atteignable recherché. Pour les systèmes discrets dans le temps, plusieurs algorithmes ont été établis, comme ceux de [Mot53], [Kva04]. Pour la théorie des systèmes conti-nus dans le temps les résultats sont récents, comme par exemple l’approximation par des polyèdres orthogonaux [Dan00] ou des ellipsoïdes [Kur97], [Kur06]. Dans les paragraphes suivants, l’une des solutions pour estimer les ensembles atteignables, en l’occurrence par des ensembles invariants, est décrite.

3.2.2 Ensemble invariant

Dans ce paragraphe, plusieurs définitions de l’invariance des ensembles seront introduites.

Considérons d’abord le système (3.1) sans aucune entrée (r = 0) avecT =R⁺ :

˙

x(t) =f(x(t)), t≥0. (3.54)

Pour ce type de système, l’ensemble positivement invariant est défini comme suit :

Définition 3.2.2 (Ensemble positivement invariant [Bla08]) Un ensemble S ⊂χ⁰ est dit positivement invariant, ou invariant, par rapport aux dynamiques du système (3.54) si toutes les trajectoires de (3.54) ayant des états initiauxx⁰∈ S sont telles quex(t, t0, x⁰)∈ S pour t > t0.

Si la propriété ci-dessus n’est pas vérifiée pour toutes les trajectoires commençant dans l’en-sembleS, nous parlons d’un ensemble positivement invariant faible.

Définition 3.2.3 (Ensemble positivement invariant faible [Bla08]) Un ensemble S ⊆χ⁰ est dit positivement invariant faible par rapport aux dynamiques du système (3.54) si parmi toutes les trajectoires de (3.54) ayant des états initiaux x⁰ ∈ S, il en existe au moins une, telle que x(t, t₀, x⁰)∈ S pour t > t₀.

Pour des systèmes caractérisés par des entrées v = [u^T, w^T]^T, nous parlons d’un ensemble positivement invariant robuste vis-à-vis de l’entrée de perturbationw :

˙

x(t) =f(x(t), w(t)), t≥0, (3.55) et d’un ensemble positivement invariant contrôlé d’une manière robuste vis-à-vis de l’entrée de commandeu pour les systèmes suivants :

˙

x(t) =f(x(t), u(t), w(t)), t≥0. (3.56) Définition 3.2.4 (Ensemble positivement invariant robuste [Bla08]) L’ensembleS ⊆χ⁰ est positivement invariant robuste par rapport aux dynamiques du système (3.55), si pour tout x⁰ ∈ S et pour toutw(t)∈ W, la condition x(t, t0, x⁰)∈ S est vérifiée pour t > t0.

L’ensembleW est un ensemble convexe et compact qui contient toutes les variations possibles du signal inconnu mais borné, w(t). Celui-ci peut être une perturbation, du bruit ou un signal de référence.

Définition 3.2.5 (Ensemble positivement invariant contrôlé robuste [Bla08]) L’ensem-ble S ⊆ χ⁰ est positivement invariant contrôlé robuste par rapport aux dynamiques du système (3.56), s’il existe une loi de commande de classeC (assurant l’existence et l’unicité des solutions de l’équation (3.56) en boucle fermée) telle que pour tout x⁰ ∈ S et pour tout w(t) ∈ W, la condition x(t, t0, x⁰)∈ S est vérifiée pour t > t0.

3.2.3 Approximation des ensembles atteignables par des ensembles invariants Les ensembles atteignables sont utiles, par exemple, pour décrire les effets d’une perturbation bornée ou l’efficacité d’une loi de commande bornée sur un système dynamique continu. Mal-heureusement, leur résolution reste difficile. Si une connaissance exacte de l’ensemble atteignable n’est pas nécessaire, et si une approximation suffit, celle-ci peut être fournie par un ensemble invariant.

Considérons le système dynamique (3.55), l’ensemble des états initiauxς⁰ ⊂χ⁰et une entrée de perturbation bornée w(t) ∈ W. Nous remarquons qu’un ensemble positivement invariant robusteS incluant ς⁰ contient également l’ensemble atteignableχ(t, t₀, ς⁰) (voir Figure 3.5).

En effet, quelle que soit la trajectoire x(t, t0, x⁰) commençant à l’intérieur de l’ensemble ς⁰, celle-ci, par définition, ne dépassera pas l’ensemble positivement invariant robuste S, quelle que soit l’entréew(t) ∈ W. Cette affirmation reste valable indépendamment de l’instant t, car

Fig. 3.5 – Ensemble des états initiauxς⁰, ensemble atteignableχ(t, t₀, ς⁰) et ensemble positive-ment invariant robusteS.

l’ensemble S est positivement invariant robuste pour tous t > t₀. En même temps, x(t, t₀, x⁰) appartient à l’ensemble atteignableχ(t, t₀, ς⁰). Puisque l’ensemble atteignable χ(t, t₀, ς⁰)est dé-fini par la réunion de toutes les trajectoiresx(t, t₀, x⁰)(voir l’équation (3.52)) et puisque chaque trajectoirex(t, t₀, x⁰) est incluse dansS, l’ensemble atteignableχ(t, t₀, ς⁰) est inclus dans S.

Par conséquent, une approximation intérieure de l’ensemble atteignableχ(t, t₀, ς⁰)est assurée par l’ensemble des états initiaux ς⁰ et une approximation extérieure est fournie par l’ensemble invariant S. En cherchant un ensemble invariant S contenant ς⁰ et proche de celui-ci, il est possible de trouver une approximation raisonnable de l’ensemble atteignableχ(t, t₀, ς⁰).

Dans la prochaine section, nous introduirons des notions de stabilité des systèmes dyna-miques au sens de Lyapunov et des ensembles invariants d’une forme particulière : les ensembles invariants ellipsoïdaux.