Fonction de Lyapunov composée

Nous avons présenté dans les sections précédentes des ensembles invariants ellipsoïdaux qui sont engendrés par des fonctions de Lyapunov quadratiques. Les ensembles ellipsoïdaux ne sont pas toujours appropriés pour étudier et approcher les ensembles atteignables des systèmes dy-namiques. Dans l’Exemple 3.4.1 l’ensemble des états initiaux est représenté par un polytope, χ⁰. Même si le polytope χ⁰ est invariant, donc identique à l’ensemble atteignable χ(t, t₀, χ⁰) dans ce cas (χ⁰ = χ(t, t, χ⁰)), l’ellipsoïde qui l’approchera restera toujours une approximation conservatrice.

En effet, pour mieux approcher l’ensemble χ(t, t₀, χ⁰), nous aurions besoin d’un ensemble invariant polyédrique, voir polytopique. Les méthodes pour développer des ensembles invariants polyédriques présentent des avantages théoriques, mais elles restent en pratique difficiles à im-plémenter, surtout pour les systèmes dynamiques continus [Bla08], [Bit95], [Vas89], [Cas93], [Mes04].

Dans ce cas, les ensembles invariants fournis par les fonctions de Lyapunov composées re-présentent un bon compromis. Introduites récemment par [Hu03], les fonctions de Lyapunov composées sont utilisées pour élargir l’estimation du domaine d’attraction d’un point d’équi-libre. Une des propriétés qui les rendent très intéressantes est l’invariance de l’enveloppe convexe de plusieurs ellipsoïdes invariants. Par la suite, nous allons exposer la définition et les propriétés les plus importantes des fonctions de Lyapunov composées, qui se trouvent dans [Hu03] et [Hu04].

Un théorème pour la synthèse d’une loi de commande via une fonction de Lyapunov composée sera proposé.

3.5.1 Propriétés de la fonction quadratique composée

Considérons des matrices symétriques et définies positivesP^j = (P^j)^T,P^j ≻0,P^j ∈R^n×n, j= 1, . . . , N. L’ensembleΓ contient des vecteurs γ tels que :

Γ,{γ ∈R^N :

N

X

j=1

γj = 1, γj ≥0, j= 1, . . . , N}. (3.118) Pour un vecteurγ∈R^N nous définissons les matrices suivantes :

Q(γ),

N

X

j=1

γjQ^j, P(γ),Q⁻¹(γ), (3.119) oùQ^j = (P^j)⁻¹,j= 1, . . . , N. Puisque les matricesQ^jsont symétriques et définies positives pour j = 1, . . . , N (comme étant l’inverse d’une matrice symétrique et définie positive), les matrices Q(γ) etP(γ)sont également symétriques et définies positives.

Remarque 3.5.1 Pour γ ∈Γ, Γ défini par l’équation (3.118), ε(1

αP(γ)),{x∈Rⁿ: x^TP(γ)x≤α} (3.120) est un ellipsoïde.

Définition 3.5.1 (Fonction quadratique composée) Une fonction Vc : Rⁿ → R qui satis-fait :

Vc(x),min

γ∈Γ x^TP(γ)x (3.121)

est une fonction quadratique composée.

Remarque 3.5.2 La fonction quadratique composée définie dans (3.121) est une fonction définie positive.

La courbe de niveau de la fonction Vc(x) est décrite par :

S^Vc(α) ={x∈Rⁿ: Vc(x)≤α}. (3.122) La courbe de niveau S^Vc(α) est l’enveloppe convexe des ellipsoïdes composants : ε(_α¹P^j), j= 1, . . . , N (voir Figure 3.9).

Fig. 3.9 – Courbe de niveau d’une fonction quadratique composée pourα= 1.

Théorème 3.5.1 (Courbe de niveau de la fonction quadratique composée) [Hu03]

S^Vc(α) =co{ε(1

αP^j), j= 1, . . . , N}= [

γ∈Γ

ε(1

αP(γ)). (3.123)

Nous remarquons qu’en créant l’enveloppe convexe de plusieurs ellipsoïdes de volumes dif-férents et avec des orientations différentes par rapport aux axes, nous obtenons une forme géo-métrique semblable à un polytope (voir Figure 3.9). Dans le cas extrême, quand les ellipsoïdes composants sont dégénérés et réduits à un seul axe, la forme obtenue représente rigoureusement un polytope.

Une propriété importante de la courbe de niveau S^Vc(α) est que chaque point situé sur cette enveloppe convexe peut s’écrire comme une combinaison linéaire des points appartenant aux ellipsoïdes couverts. De plus, le vecteur de la combinaison linéaire est fourni par la solution du problème de minimisation calculé pour la fonction quadratique composée.

Lemme 3.5.1 [Hu04] Pour un x∈Rⁿ fixé, soit γ^∗∈Γ une solution optimale telle que : x^TP(γ^∗)x= min

γ∈Γ x^TP(γ)x=Vc(x). (3.124) Notonsx^j =Q^jP(γ^∗)x. Avec ces notations,x est une combinaison linéaire dex^j,j= 1, . . . , N :

x=

N

X

j=1

γ_j^∗x^j. (3.125)

Notonsh=P(γ^∗)x etα=Vc(x). Si γ_j^∗>0, alors x^j ∈∂ε(1

αP^j) où ∂ε(1

αP^j),{x∈Rⁿ: x^TP^jx=α}. (3.126) Pour calculer la valeur instantanée de la fonction quadratique composée, [Hu03] proposent une méthode basée sur l’optimisation LMI. Une représentation équivalente de la valeur de la fonction quadratique composée est donnée par :

Vc(x) = min

γ∈Γ

ω>0

{ω : ω ≥x^TP(γ)x}. (3.127)

La représentation (3.127) peut être tranformée par le Lemme de Schur en un problème d’opti-misation LMI :

Bien évidemment, le problème d’optimisation LMI (3.128) est toujours faisable et a une solution. Cependant, la solution n’est pas toujours unique. Le lemme suivant offre des conditions dont la vérification garantit une solution unique au problème (3.128). De plus, si la solutionγ^∗ est unique pour unx∈Rⁿfixé, la continuité de la fonctionγ^∗ :Rⁿ →R^N est garantie, propriété

Une propriété analytique très importante de la fonction Vc(x) est la différentiabilité. La fonction quadratique composée est une fonction continument différentiable par rapport à la variablex.

Théorème 3.5.2 (Dérivabilité de la fonction quadratique composée) [Hu03] La fonction Vc(x) est dérivable par rapport à x. Considérons γ^∗(x) un γ optimal tel que x^TP(γ^∗(x))x = minγ∈Γ x^TP(γ)x. La dérivée de Vc(x) par rapport à x est décrite par :

∂Vc

∂x = 2P(γ^∗(x))x. (3.130)

Nous avons décrit quelques propriétés très pertinentes de la fonction quadratique composée : c’est une fonction définie positive, avec des courbes de niveau qui enveloppent des ellipsoïdes, en approchant la forme d’un polytope. Cette fonction est notamment différentiable, avec une dérivée continue par rapport àx.

Afin de rendre invariant ses courbes de niveau, la fonction V_c devrait satisfaire également la deuxième condition des fonctions de Lyapunov : avoir les dérivées négatives le long des trajectoires du système dynamique considéré. Nous proposons dans la section suivante un théorème pour la synthèse d’une loi de commande qui stabilise un système linéaire et permet à la fonction quadratique composée de vérifier les propriétés d’une fonction de Lyapunov.

3.5.2 Fonction de Lyapunov composée : stabilité et ensemble invariant Considérons un système dynamique linéaire sans perturbation et à une seule entrée de com-mande :

½ x˙ =Ax+Buu

y =x, t∈R⁺, x∈Rⁿ, u∈R. (3.131) Nous proposons pour ce système (3.131) une loi de commande qui repose sur des retours d’état linéaire K^j associés à des fonctions de Lyapunov quadratiques x^TP^jx,j = 1, . . . , N. Ce théorème exige une valeur temporelle maximale pour la grandeur de commande :|u| ≤Umax. Le théorème ci-dessous est inspiré d’un théorème proposé par [Hu03] pour la synthèse d’une loi de commande saturée. Néanmoins, il a été formulé et prouvé dans le cadre de cette thèse.

Théorème 3.5.3 (Fonction de Lyapunov composée) Considérons le système dynamique li-néaire décrit par (3.131). Les matrices P^j = (P^j)^T ∈R^n×n, P^j ≻0 et les vecteurs K^j ∈R^1×n, j= 1, . . . , N, sont tels que :

(A+BuK^j)^TP^j+P^j(A+BuK^j)≺0, ∀x∈Rⁿ (3.132) et

|K^jx| ≤Umax ∀x∈ε(P^j), (3.133) oùUmax est une constante réelle positive. NotonsQ^j = (P^j)⁻¹ etY^j =K^jQ^j pourj = 1, . . . , N.

Pour γ ∈Γ défini par (3.118), nous définissons :

K(γ),Y(γ)P(γ) (3.134)

où

Y(γ) =

N

X

j=1

γjY^j, Q(γ) =

N

X

j=1

γjQ^j, P(γ) =Q⁻¹(γ). (3.135) Considéronsγ^∗(x) tel que

V_c(x) = min

γ∈Γ x^TP(γ)x=x^TP(γ^∗(x))x.

1. Si la fonction γ^∗(x) est continue, u(x),K(γ^∗(x))x est une loi de commande continue.

2. S^Vc(1) = {x ∈ Rⁿ : Vc(x) ≤ 1} est contractif et invariant pour la loi de commande u(x) =K(γ^∗(x))x.

3. De plus, |K(γ^∗(x))x| ≤Umax ∀x∈ S^Vc(1).

Preuve 3.5.1 (Fonction de Lyapunov composée) 1. La loi de commande est définie par :

u(x) =K(γ^∗(x))x=Y(γ^∗(x))Q⁻¹(γ^∗(x))x, (3.136) où

Y(γ^∗(x)) =PN

j=1γ_j^∗(x)Y^j, Q(γ^∗(x)) =PN

j=1γ^∗_j(x)Q^j. (3.137)

Cette loi est donc équivalente à :

u(x) = (

N

X

j=1

γ_j^∗(x)Y^j)(

N

X

j=1

γ_j^∗(x)Q^j)⁻¹x. (3.138) Puisque la matriceQ(γ^∗(x))est une somme de matrices symétriques définies positives, elle est également une matrice symétrique définie positive. En conséquence, la matrice inversée Q(γ^∗(x))⁻¹ existe ∀x∈Rⁿ. Ce fait engendre l’existence de la loi de commande u(x) ∀x∈ Rⁿ.

De plus, u(x) est exprimé en fonction de γ^∗(x) et de x(t). Puisque x(t) est une fonction continue, la continuité de la loi de commande u(x) est déterminée par la continuité de γ^∗(x).

2. Considérons x quelconque. γ^∗(x) est la solution de min

γ∈Γ x^TP(γ)x = x^TP(γ^∗(x))x, où PN

j=1γ_j^∗(x) = 1, etγ_j^∗(x)≥0 pour j= 1, . . . , N.

Les inégalités matricielles suivantes proviennent des hypothèses du Théorème 3.5.3 : (A+BuK^j)^T(Q^j)⁻¹+ (Q^j)⁻¹(A+BuK^j)≺0, j= 1, . . . , N ⇔

Q^jA^T +Q^j(K^j)^TB^T_u +AQ^j+B_uK^jQ^j ≺0, j= 1, . . . , N. (3.139) En posant Y^j =K^jQ^j, nous obtenons :

Q^jA^T + (Y^j)^TB_u^T +AQ^j+BuY^j ≺0, j = 1, . . . , N. (3.140) En multipliant chaque inégalité de (3.140) par γ_j^∗(x) et en les additionnant pour j = 1, . . . , N, il résulte :

Q(γ^∗(x))A^T +Y^T(γ^∗(x))B_u^T +AQ(γ^∗(x)) +B_uY(γ^∗(x))≺0. (3.141) Sous la condition d’une matrice non-singulière Q(γ^∗(x)), nous multiplions à droite et à gauche l’équation (3.141) par Q⁻¹(γ^∗(x)). Nous obtenons de cette façon :

A^TQ(γ^∗)⁻¹+Q(γ^∗)⁻¹Y^T(γ^∗)B_u^TQ(γ^∗)⁻¹+

+Q(γ^∗)⁻¹A+Q(γ^∗)⁻¹BuY(γ^∗)Q(γ^∗)⁻¹ ≺0. (3.142) Sachant que P(γ^∗) = Q⁻¹(γ^∗) et que K(γ^∗) = Y(γ^∗)Q⁻¹(γ^∗), l’équation (3.142) est ré-écrite comme suit :

(A+BuK(γ^∗))^TP(γ^∗) +P(γ^∗)(A+BuK(γ^∗))≺0. (3.143)

Nous construisons alors une fonction quadratique avec la variable x∈Rⁿ :

D’après le Théorème 3.5.2, la fonction Vc(x) est différentiable d’une manière continue par rapport àx, avec la dérivée :

∂Vc(x)

∂x = 2P(γ^∗(x))x. (3.145)

Sa dérivée temporelle est décrite par conséquent par :

∂Vc(x)

∂t = (∂Vc(x)

∂x )^T ·∂x

∂t. (3.146)

Selon les résultats (3.144), (3.145) et (3.146) nous obtenons d’une part que la dérivée temporelle de la fonction Vc(x) est négative pour la loi de commandeu(x) =K(γ^∗(x))x :

∂Vc(x)

∂t <0. (3.147)

et d’autre part, que la fonctionVc(x) = min

γ∈Γ x^TP(γ)x=x^TP(γ^∗)xest définie positive grâce à la matrice symétrique définie positive P(γ^∗).

En utilisant le Théorème de Lyapunov, nous concluons que Vc(x) est une fonction de Lya-punov et par conséquent la courbe de niveauS^Vc(1) est invariante et contractive.

3. Considérons x ∈ S^Vc(1) et Vc(x) = min

Par la suite nous considérerons l’hypothèse faite dans l’énoncé du Théorème 3.5.3 :|K^jx| ≤ U_max, ∀x ∈ ε(P^j). Ceci implique |K^jx^j| ≤ U_max pour tout x^j = Q^jP(γ^∗)x et γ_j^∗ > 0,

En considérant que γ_j^∗ ≥0 l’équation (3.150) est équivalente à :

car si γ_j^∗ n’est pas strictement positif, alors il est nul.

En utilisant l’inégalité nous obtenons à partir des équations (3.151) et (3.152) :

|

N

X

j=1

γ_j^∗Y^jP(γ^∗)x| ≤Umax. (3.153) Selon la définition de la loi de commande, nous remarquons que PN

j=1γ_j^∗Y^j = Y(γ^∗) et

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