Position mathématique du problème

ρ0

D²u Dt² ∧nΓ

Γ

≡

ρ0

D²u1

Dt²

Γ

= 0surΓ. (3.11)

Par utilisation du principe de superposition déjà invoqué dans le chapitre2, nous ramenons les conditions aux limites (3.6) et (3.7) à l'unique condition homogèneu·n= 0sur∂Ω. Nous pouvons alors introduire le problèmes régularisé suivant :

ρ0

D²u Dt² −c02

∇(divu) +srot(rotu−ψ)

=f dansΩ+∪Ω₋, (3.12)

u·n= 0sur∂Ω, (3.13)

rotu=ψsur∂Ω+∪∂Ω₋, (3.14)

dans lequel le coecient de régularisation s est maintenant une fonction, qui peut a priori prendre des valeurs diérentes dans les sous-domainesΩ+ etΩ₋.

3.2.4 Position mathématique du problème

Nous nous consacrons dans cette section à l'établissement d'une formulation variationnelle du problème (3.12) à (3.14). Si les équations de ce problème conservent une forme familière, nous allons constater que la régularisation de l'équation de Galbrun, telle qu'elle a été appliquée dans le cas d'un écoulement porteur uniforme, nécessite ici quelques aménagements, notamment au niveau du cadre fonctionnel. An de mieux comprendre la démarche adoptée et les choix qui seront faits par la suite, nous allons tenter d'expliciter en quelques mots les dicultés qui se présentent.

Tout d'abord, une position naïve du problème faible dans l'espace fonctionnel naturel⁴ V =n

u∈H(div,Ω) ; u_|Ω± ∈H¹(Ω_±)² |u·n= 0 sur∂Ωo

ne rend pas possible la décomposition en une partie coercive⁵et une partie associée à un opérateur compact de la forme sesquilinéaire intervenant dans la formulation variationnelle. En eet, nous remarquons qu'à l'issue des intégrations par parties, des termes de bord non nuls sont obtenus en raison du saut de la composante tangentielle du champusur l'interfaceΓ. Cependant, la contrainte (3.14), tirée de l'équation de Galbrun et vériée par la solution du problème, nous fournit une propriété de régularité supplémentaire pour la trace deusurΓqui, incluse dans l'espace d'approximation et alliée à une formulation faible de (3.14), permet de retrouver un cadre propice à l'application de l'alternative de Fredholm.

4. Remarquons que la condition de transmission (3.8) est bien incluse dans cet espace.

5. Le défaut de coercivité ici observé est similaire à celui apparaissant lors de l'application de conditions aux limites naturelles pour les problèmes régularisés évoqués dans la section2.7.2du chapitre2.

3.2. Écoulement cisaillé discontinu 63

Vers une formulation variationnelle du problème

Nous laissons pour l'instant délibérément ou le cadre variationnel. En multipliant l'équation (3.12) par une fonction test v régulière et en intégrant par parties surΩ, nous obtenons :

Z

L'utilisation des conditions aux limites (3.13) et (3.14), ainsi que de la condition de transmission (3.9), mène à : Z

Si cette première formulation variationnelle du problème est similaire à celle obtenue pour un écoulement porteur uniforme, nous ne sommes pas en mesure, avec le choix d'espace fonctionnelV précédemment fait, de vérier les hypothèses requises par l'alternative de Fredholm. Plus précisément, il est possible de prouver que la forme sesquilinéaire b(·,·)dénie par :

n'est pas coercive surV, même pour de grandes valeurs du paramètres. Nous avons cependant plutôt choisi d'illustrer la diculté qui apparaît en montrant comment la formule d'intégration par parties qui fait le lien entre(∇u,∇v)L²(Ω) d'une part et(divu,divv)L²(Ω) et (rotu,rotv)L²(Ω) d'autre part, établie dans [48] et utilisée dans la démonstration du théorème 2.1, est ici mise en défaut. Il nous sut pour cela de réaliser des intégrations par parties du termeR

Ω+roturotvdx(et également du termeR

Ω−roturotvdx) pour tout élément ude l'espaceV. Nous trouvons :

Z

Par ailleurs, nous déduisons, en utilisant la condition de transmission (3.8) sur l'interfaceΓ, que : Z et nalement, après intégration par parties de ce dernier terme d'interface et utilisation des conditions aux limites (3.13), nous obtenons :

Z

La dénition de l'espace fonctionnelV ne permet donc pas de prouver la compacité de l'opérateur associé à la forme sesquilinéaire dénie par l'intégrale sur l'interface Γ dans (3.15) et, par suite, de retrouver un cadre autorisant l'application de l'alternative de Fredholm. Il faut néanmoins se rappeler que les solutions du problème, si elles existent, vérient des relations supplémentaires, déduites des équations, qui vont en quelque sorte nous indiquer le bon cadre fonctionnel pour la régularisation.

Un espace d'approximation

Développons la condition de saut (3.11). Il vient :

∂²

∂x1[ρ0v0u1]_Γsont respectivement des éléments des espaces de Sobolev d'ordre fractionnaire⁶notésH₀₀^1/2(Γ) et H^−1/2(Γ).

Par utilisation de l'égalité ci-dessus, nous avons directement que le terme _∂x^∂2₁2

ρ0v02u1

Γ appartient à H^−1/2(Γ). Une mise sous forme variationnelle de l'équation (3.11), après multiplication par une fonction test ρ0v02v1

Par conséquent, siuest solution du problème,

ρ0v02u∧nΓ

Γ est de régularitéH¹surΓ. Ceci nous conduit à choisir un nouvel espace pour l'approximation du problème. Désormais, V sera l'espace vectoriel déni par : sur lequel nous optons naturellement pour la norme :

kuk^V =

Proposition 3.2 L'espace vectorielV, muni du produit scalaire associé à la norme (3.16), est un espace de Hilbert surC.

Démonstration. Soit (up)p∈N une suite de Cauchy dans V. Il existe une fonction u, appartenant à H¹(Ω_±)², telle que :

Γ dansH¹(Γ), par unicité de la limite. Par conséquent,u appartient à l'espaceV et la suite(up)_p∈N converge versu dansV.

Remarque 3.3 Il nous sera utile pour pouvoir traiter la conguration dans laquelle la vitesse de l'écoulement porteur s'annule d'un côté de l'interface, par exemple dans le domaine Ω₋, de remarquer que la norme :

kuk²L²(Ω−)²+krotuk²L²(Ω−)+kdivuk²L²(Ω−)+kuk²H¹(Ω+)²+ρ₀v02u∧nΓ

Γ

²

H¹(Γ)

1/2

dénit dans ce cas une norme équivalente à celle précédemment introduite sur l'espace V. En eet, nous avons :

kuk²H¹(Ω−)² ≤C

kdivuk²L²(Ω−)+krotuk²L²(Ω−)+ku_|Ω− ·nΓk²H^1/2(Γ)

, par utilisation de la condition de transmission (3.8).

6. Par dénition, l'espaceH₀₀^1/2(Γ)est l'espace d'interpolation situé à mi-chemin entreH₀¹(Γ)etL²(Γ). L'espaceH^−1/2(Γ) n'est autre que son dual.

3.2. Écoulement cisaillé discontinu 65

La dénition de la norme sur V nous conduit à modier la formulation variationnelle a priori natu-relle du problème, en tenant compte de la contrainte (3.11) de manière faible. Nous introduisons alors un second paramètre de régularisation, à savoir une constante réelle positive notéesΓ, et formulons le problème variationnel régularisé suivant : trouver u∈V tel que, pour tout v∈V,

Z

Nous introduisons ensuite la constanteν, dénie comme étant : ν = min

et nous nous servons de la relation (3.15) pour écrire ce problème variationnel sous la forme : trouveru∈V tel que, pour tout v∈V,

Nous nous intéressons à présent au caractère bien posé du problème variationnel (3.17) et énonçons le Théorème 3.4 Si s≥νv02, le problème variationnel (3.17) relève de l'alternative de Fredholm.

Démonstration. Nous commençons par montrer que la forme sesquilinéaire b(·,·), clairement continue sur V, est coercive sur cet espace. Pour toute fonctionudeV, nous avons :

b(u,u) =

Sis≥νv02, les quantités(s−νv02),(c02

−νv02)et(ν−1)v02sont toutes trois positives, puisque le coecientν est, par dénition, toujours strictement supérieur à un. Le coecientsΓétant par ailleurs strictement positif, nous déduisons ensuite facilement que :

b(u,u)≥Ckuk²V,

avecC= min ρ0, ρ0v02(ν−1), sΓsiv0±6= 0et C= min ρ0, ρ0c02, sΓsinon.

Il faut maintenant prouver que la forme sesquilinéaire c(·,·) dénit, en vertu des injections compactes deH¹(Ω)dansL²(Ω) et deH¹(Γ)dansL²(Γ), un opérateur compact deV dansV. Nous ne démontrerons cette armation que pour la forme sesquilinéaire suivante :

k(u,v) =

les autres termes apparaissant dans la forme c(·,·)ayant déjà été traités dans le chapitre précédent. Ainsi, par le théorème de représentation de Riesz, il existe un opérateurK deV dansV tel que :

(Ku,v)_V =k(u,v).

Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, nous avons :

kKuk²V = (Ku, Ku)_V =k(u, Ku)≤ ku1k^H1(Γ)2kKukL²(Γ)². (3.18) Soit(un)_n∈Nune suite de Cauchy surV ; la suite(Kun)_n∈Nest alors bornée dans ce même espace. Par consé-quent, la suite (Kun)_|Γ

n∈N est bornée dansH^1/2(Γ)² et nous utilisons l'injection compacte deH^1/2(Γ)² dansL²(Γ)²pour en extraire une sous-suite convergeant dansL²(Γ)². Il vient nalement de l'inégalité (3.18) qu'il existe une suite extraite de (Kun)_n∈N qui converge dans V et donc que K est un opérateur compact deV dans lui-même.

Unicité

Comme pour le problème en écoulement uniforme traité dans le chapitre2, il y a unicité de la solution du problème (3.17), sauf pour une innité dénombrable de valeurs de la pulsationω, valeurs qui dépendent du domaine Ω, des vitessesv0±, du paramètre de régularisation s et de sΓ. Pour des raisons de clarté de l'exposé, nous n'entrerons pas dans les détails de la détermination des nombres d'onde k pour lesquels le problème est mal posé, celle-ci s'avérant relativement fastidieuse et par ailleurs sans intérêt majeur, compte tenu de la nature du problème posé. Les fréquences associées à ces nombres d'onde n'ont en eet pas de signication physique, puisqu'elles proviennent du fait que le problème a été articiellement ramené sur un domaine borné sans faire usage de conditions aux limites transparentes.

Équivalence

Nous concluons l'analyse mathématique du problème en démontrant l'équivalence entre la formulation variationnelle (3.17) du problème régularisé et le problème constitué des équations (3.5) et (3.10), ainsi que de la condition aux limites (3.13). Nous avons le

Théorème 3.5 Toute solution udu problème (3.17) vérierotu=ψ dansΩ+∪Ω₋. Démonstration. Soit φ ∈ n

ϕ_|Ω± ∈H³(Ω_±)|[ϕ]Γ= 0 ; h Po-sonsv=rotφ; le vecteurv appartient bien à l'espaceV. En remplaçant dans la formulation variationnelle, nous obtenons :

3.2. Écoulement cisaillé discontinu 67

Nous réalisons ensuite des intégrations par parties et utilisons l'équation (3.4) pour aboutir à : Z

Par un résultat de densité que nous admettrons, cette égalité reste vraie pour toute fonctionφappartenant à l'espace

La suite de la démonstration est alors relativement diérente selon que la vitesse de l'écoulement porteur est nulle d'un côté ou de l'autre de l'interfaceΓou non.

Supposons pour l'instant que celle-ci est non nulle surΩ+ et surΩ₋. Nous considérons alors l'opérateur H=ρ0v02

de domaine D. Nous montrons tout d'abord que Hest symétrique. Pour tousφet ϕappartenant àD, nous avons :

Nous montrons ensuite qu'il existe une constante positivec telle que l'opérateurH+c I est surjectif. Pour tout φdeD, nous avons :

En utilisant ensuite le lemme de Lax-Milgram, la surjectivité est une conséquence directe du lemme suivant.

Lemme 3.6 Il existe une constanteCtelle que la forme sesquilinéaire dénie par((H+c I)·,·)est coercive sur H¹(Ω).

Considérons à présent le cas pour lequel la vitesse s'annule sur le sous-domaineΩ₋. Nous procédons en deux temps. Nous introduisons tout d'abord l'opérateurH⁺, déni sur l'espace

V+=

par :

H⁺=ρ0

−ω²I−2iωv0 ∂

∂x1

+v02 ∂²

∂x12 −s∆

.

Il est alors facile de montrer que l'opérateur H⁺ est auto-adjoint et surjectif, sauf pour des valeurs excep-tionnelles du paramètre s. Nous déduisons de sa surjectivité que, pour toutgde L²(Ω), il existe un unique φ+ appartenant àH¹(Ω+)vériant :

H⁺φ+=g_|Ω+.

Nous utilisons ensuite cette solution pour poser le problème suivant sur le domaine Ω₋ au moyen de la condition de transmission [φ]Γ= 0contenue dans D:

ρ0 −ω²φ−s∆φ

=g_|Ω

− dansΩ₋, φ= 0sur∂Ω₋\Γ,

φ=φ+|Γ surΓ.

Ce dernier problème est bien posé dans H¹(Ω₋), ce qui nous permet de conclure de (3.19) que rotu =ψ dansΩ+∪Ω.

Démonstration du lemme 3.6. Nous raisonnons par l'absurde. Si l'énoncé du lemme était faux, il existerait une suite (ϕn)n∈NdeH¹(Ω), telle que :

kϕnkH¹(Ω)= 1et Z

Ω

|∇ϕn|²+n|ϕn|² dx−

Z

Γ|ϕn|² dσ≤ 1

n, ∀n∈N.

L'injection deH¹(Ω)dansL²(Ω)étant compacte, nous pouvons extraire de cette suite une sous-suite conver-gente, encore notée(ϕn)_n∈N, qui vérie :

Z

Ω

|∇ϕn|²+n|ϕn|²

dx≤ 1 n+

Z

Γ|ϕn|² dσ, ∀n∈N. (3.20) Ceci implique que(ϕn)n∈Nconverge fortement vers0dansL²(Ω)et faiblement vers une limiteϕdansH¹(Ω).

Par convergence forte de(ϕn)n∈N dansL²(Ω), ϕest nulle et doncϕn _n→+∞−→ 0dans L²(Γ)fortement. Nous déduisons alors de l'inégalité (3.20) que :

n→lim+∞

Z

Ω|∇ϕn|² dx= 0,

et que ϕn_n→+∞−→ 0dansH¹(Ω) fortement. Ceci est impossible, puisque l'on a par hypothèsekϕnkH¹(Ω)= 1 pour tout entier naturel n.

Dans le document Thèse de doctorat de l'université Pierre et Marie Curie (Page 68-74)