Application

−ω²I−2iωv0 ∂

∂x1

+v02 ∂²

∂x12 −s∆

.

Il est alors facile de montrer que l'opérateur H⁺ est auto-adjoint et surjectif, sauf pour des valeurs excep-tionnelles du paramètre s. Nous déduisons de sa surjectivité que, pour toutgde L²(Ω), il existe un unique φ+ appartenant àH¹(Ω+)vériant :

H⁺φ+=g_|Ω+.

Nous utilisons ensuite cette solution pour poser le problème suivant sur le domaine Ω₋ au moyen de la condition de transmission [φ]Γ= 0contenue dans D:

ρ0 −ω²φ−s∆φ

=g_|Ω

− dansΩ₋, φ= 0sur∂Ω₋\Γ,

φ=φ+|Γ surΓ.

Ce dernier problème est bien posé dans H¹(Ω₋), ce qui nous permet de conclure de (3.19) que rotu =ψ dansΩ+∪Ω.

Démonstration du lemme 3.6. Nous raisonnons par l'absurde. Si l'énoncé du lemme était faux, il existerait une suite (ϕn)n∈NdeH¹(Ω), telle que :

kϕnkH¹(Ω)= 1et Z

Ω

|∇ϕn|²+n|ϕn|² dx−

Z

Γ|ϕn|² dσ≤ 1

n, ∀n∈N.

L'injection deH¹(Ω)dansL²(Ω)étant compacte, nous pouvons extraire de cette suite une sous-suite conver-gente, encore notée(ϕn)_n∈N, qui vérie :

Z

Ω

|∇ϕn|²+n|ϕn|²

dx≤ 1 n+

Z

Γ|ϕn|² dσ, ∀n∈N. (3.20) Ceci implique que(ϕn)n∈Nconverge fortement vers0dansL²(Ω)et faiblement vers une limiteϕdansH¹(Ω).

Par convergence forte de(ϕn)n∈N dansL²(Ω), ϕest nulle et doncϕn _n→+∞−→ 0dans L²(Γ)fortement. Nous déduisons alors de l'inégalité (3.20) que :

n→lim+∞

Z

Ω|∇ϕn|² dx= 0,

et que ϕn_n→+∞−→ 0dansH¹(Ω) fortement. Ceci est impossible, puisque l'on a par hypothèsekϕnkH¹(Ω)= 1 pour tout entier naturel n.

3.2.5 Application

Nous abordons à présent la mise en ÷uvre pratique de la méthode de régularisation proposée pour un écoulement uniforme par morceaux et étudiée dans ce chapitre. Celle-ci nous amène à formuler quelques remarques.

Notons tout d'abord que le calcul eectif de l'intégrale sur l'interfaceΓ, dans laquelle apparaissent les sauts de diverses quantités, pose plusieurs dicultés. D'une part, les intégrands considérés ont des dénitions sur le bord du domaine non intrinsèques, car elles font intervenir des dérivées de la composante du déplacement tangentielle à l'interface par rapport à la direction de l'écoulement, donnée ici par le vecteure1. Ceci conduit à des problèmes conceptuels pour leur implémentation dans le code mélina, principalement vis-à-vis de l'application de la condition de transmission (3.8). On remarque d'autre part que les diérents termes de cette intégrale ont des ordres de grandeur distincts, les expressions des fonctions intégrées faisant notamment apparaître des puissances des vitessesv₀₊etv0− de l'écoulement porteur. Sans même envisager un choix de valeur pour le paramètresΓ, ceci peut évidemment avoir des conséquences négatives sur le conditionnement de la matrice obtenue à l'issue de la discrétisation du problème par la méthode des éléments nis.

3.2. Écoulement cisaillé discontinu 69

Ces deux aspects pratiques semblent donc être, à première vue, autant de freins à l'élaboration d'un traitement à la fois général et robuste d'écoulements porteurs discontinus par une méthode de régularisation.

Nous avons par ailleurs observé a posteriori que, si la formulation variationnelle augmentée en volume (c'est-à-dire celle obtenue par ajout d'un terme intégral déni sur le domaine Ω+∪Ω₋) était bien indispensable pour le calcul de résultats corrects, l'apport du terme intégral surfacique n'avait pas d'eet appréciable.

Bien que des études numériques approfondies complémentaires restent nécessaires pour s'assurer de cette constatation, les résultats préliminaires qui suivent ont été obtenus sans ce terme de surface supplémentaire.

Conguration

Nous simulons numériquement la propagation de modes guidés à l'intérieur d'un conduit rigide bidimen-sionnel inni et en présence d'un écoulement uniforme par morceaux d'un uide homogène, l'interface étant située à mi-hauteur du guide. Comme pour les simulations du chapitre précédent, nous considérons une portion de longueur égale à 2 d'un conduit de hauteurl constante et égale à 1. Le maillage non structuré est composé de1968triangles et nous utilisons des éléments de LagrangeP2.

Les modes propagés sont irrotationnels dans le volumeΩ+∪Ω₋, la vorticité étant concentrée sur l'interface Γ, et de la forme :

où le nombre complexeβ désigne le nombre d'onde axial du mode choisi, le lecteur étant renvoyé à la section C.2 de l'annexeCpour l'expression analytique de la fonction ϕ. Il n'existe pas d'expression analytique des constantes de propagation β et les valeurs utilisées pour ces expériences ont été obtenues à l'aide d'une méthode de Newton-Raphson.

Figure 3.2 Nombres d'ondes axiaux dans le plan complexe, obtenus par une méthode de Newton-Raphson, pour le cas k= 4,M₋= 0,1et M+= 0,5.

La gure 3.2 représente les constantes déterminées par cette méthode pour une valeur de k égale à 4 et des nombres de Mach valant respectivement M₋ = 0,1 dans la couche de uide inférieure et M+ = 0,5 dans la couche supérieure. Les nombres d'onde situés sur l'axe réel correspondent à des modes propapatifs, tandis que les deux branches de constantes de parties imaginaires non nulles sont associées à des modes évanescents. Ces deux types de modes sont analogues à ceux existant lorsque l'écoulement porteur est globalement uniforme (voir par exemple la gure 4.3 pour ce cas de gure). Nous observons ici de plus deux valeurs du nombre d'onde axial correspondant à des modes dits hydrodynamiques. Une analyse du problème en régime transitoire montre que les solutions qui leur sont associées se propagent vers l'aval.

Figure 3.3 Lignes de niveau de la partie réelle des composantes du champ de déplacement u, calculé avec régularisation volumique (s= 1), pour la propagation d'un mode, β ≈ −6,9719, k= 4,M₋ = 0,1 et M+= 0,5(à gauche composanteu1, à droite composanteu2).

Figure 3.4 Lignes de niveau de la partie réelle des composantes du champ de déplacementu, calculé avec régularisation volumique (s= 1), pour la propagation d'un mode,β≈ −3,9163,k= 4,k= 4, M₋= 0,1 et M+= 0,5(à gauche composanteu1, à droite composanteu2).

Autrement dit, le mode hydrodynamique dont le nombre axialβa une partie imaginaire strictement positive est exponentiellement croissant dans la direction aval et est par conséquent qualié d'instable. Notons pour terminer cette description que ces deux modes sont connés au voisinage de l'interface.

Résultats numériques

Les gures 3.3 à 3.8 présentent la propagation des modes propagatifs et hydrodynamiques pour le cas k= 4,M₋= 0,1etM+= 0,5. Les modes imposés sont retrouvés numériquement avec moins d'un pour cent d'erreur, sauf dans le cas des deux modes hydrodynamiques (gures3.7et3.8) pour lesquels nous constatons, apparement, la présence de modes parasites. Nous observons, pour chacun des modes, la discontinuité et la continuité des composantes du déplacement respectivement tangentielle et normale à l'interfaceΓ.

Figure 3.5 Lignes de niveau de la partie réelle des composantes du champ de déplacement u, calculé avec régularisation volumique (s= 1), pour la propagation d'un mode, β ≈ 1,6153, k = 4, M₋ = 0,1 et M+= 0,5(à gauche composanteu1, à droite composanteu2).

3.2. Écoulement cisaillé discontinu 71

Figure 3.6 Lignes de niveau de la partie réelle des composantes du champ de déplacement u, calculé avec régularisation volumique (s= 1), pour la propagation d'un mode, β ≈ 3,0959, k = 4, M₋ = 0,1 et M+= 0,5(à gauche composanteu1, à droite composanteu2).

Figure 3.7 Lignes de niveau de la partie réelle des composantes du champ de déplacementu, calculé avec régularisation volumique (s= 1), pour la propagation d'un mode,β ≈9,4467 + 6,0596i, k= 4, M₋ = 0,1 et M+= 0,5 (à gauche composanteu1, à droite composanteu2).

Figure 3.8 Lignes de niveau de la partie réelle des composantes du champ de déplacementu, calculé avec régularisation volumique (s= 1), pour la propagation d'un mode,β ≈9,4467−6,0596i, k= 4, M₋ = 0,1 et M+= 0,5 (à gauche composanteu1, à droite composanteu2).