Il reste à présent à calculer explicitement les modes guidés. Une solution de l'équation diérentielle (C.7) est :
w2(x2) = sinnπ l x2
, n∈N∗.
La première composante du vecteurw associé s'obtient alors en utilisant l'équation (C.3) : w1(x2) =−iβl
nπcosnπ l x2
, n∈N∗.
Remarquons que la valeur n = 0 peut être ajoutée aux valeurs non nulles de l'entier n déjà considérées, puisque nous avons bien(k−M β)2−β2= 0dans ce cas et que nous retrouvons le mode plan. On peut enn vérier que ces modes, en nombre discret, sont à rotationnel nul. Ils sont appelés les modes acoustiques, ou parfois encore les modes de pression.
Deuxième cas : les modes hydrodynamiques. Nous considérons cette fois que : (k−M β)2= 0d'où β= k
M. Il faut résoudre l'équation (C.3), qui s'écrit alors :
iβ w1=−dw2
dx2
. (C.11)
Pour toute fonction ϕappartenant àH01([0, l]), il existe une solution de (C.11) de la forme : w= iM
k dϕ dx2
e1+ϕe2.
Ces modes sont à divergence nulle et forment un continuum. Ils portent le nom de modes hydrodynamiques, par analogie avec les solutions obtenues dans les écoulements incompressibles.
C.2 Modes en écoulement uniforme par morceaux
Nous considérons un conduit bidimensionnel inni de hauteur constante, à parois rigides respectivement situées en x2=y− et x2=y+, représenté sur la gure C.2.
l Γ
v0−e1
v0+e1
x2=yΓ x2=y+
x2=y− Figure C.2 La nappe de vorticité .
Ce guide est occupé par un uide parfait et homogène en écoulement uniforme de vitesse v0−=M−c0
dirigée suivant le vecteur e1 dans sa partie inférieure, c'est-à-dire poury− < x2 < yΓ, et de vitesse v0+= M+c0 dans sa partie supérieure, c'est-à-dire pouryΓ < x2< y+.
Une couche de cisaillement d'épaisseur nulle, dite encore nappe de vorticité ou dioptre, notéeΓet située en x2=yΓ, sépare les deux écoulements, qui sont supposés subsoniques (i.e.,−1< M− <1 et−1< M+<1).
Le uide contenu dans le conduit étant par hypothèse homogène, la masse volumiqueρ0et la vitesse du son dans le uide non perturbéc0sont supposées uniformes et constantes dans l'écoulement. Cette conguration constitue par conséquent une simplication du problème traité théoriquement et numériquement dans le chapitre3.
Comme précédemment, le déplacement lagrangien ξ, solution de l'équation de Galbrun, est recherché sous la forme d'une fonction à variables séparées :
ξ(x, t) =w(x2)ei(βx1−ωt),
oùωdésigne la pulsation. Le champw, supposé appartenir àL2([y−, y+])2vérie alors l'équation suivante : D2w
Dt2 −∇(divw) =0, avec D
Dt = i(M−β−k)siy−< x2< yΓ et D
Dt = i(M+β−k)siyΓ< x2< y+.
Nous supposons de plus que le déplacement lagrangien est irrotationnel hors de la nappe de vorticité. Il dérive donc d'un potentiel de la forme :
φ(x1, x2, t) =ϕ(x2)ei(βx1−ωt), et par suite :
ξ(x, t) =∇φ(x, t) =
iβ ϕ(x2) ϕ0(x2)
ei(βx1−ωt).
Le problème posé est complété par des conditions aux limites de parois rigides, qui s'écrivent :
ϕ0(y+) = 0etϕ0(y−) = 0. (C.12) et des conditions de transmission sur l'interfaceΓ, qui sont d'une part la continuité du déplacement normal, ce qui se traduit par :
[ϕ0]Γ= 0, (C.13)
où [ϕ0]Γ désigne le saut de la fonction ϕ0 au travers de Γ, et d'autre part la continuité de la pression, c'est-à-dire de la divergence du déplacement, soit encore :
[∆φ]Γ = 0.
Le potentiel φvériant dans l'écoulement l'équation : D2φ
Dt2 −∆φ= 0, (C.14)
nous avons [∆φ]Γ = D2φ
Dt2
Γ
= 0et nalement :
(M β−k)2ϕ
Γ= 0. (C.15)
Posant ensuiteν+(respectivementν−) comme étant la racine carrée de la quantité complexe(M+β−k)2−β2 (resp.(M−β−k)2−β2) selon la détermination (C.10), nous nous servons des conditions (C.12) pour résoudre l'équation (C.14). Nous trouvons :
ϕ±(x2) =A±cos(ν±(x2−y±)),
où A+ et A− sont des coecients complexes constants, déterminés au moyen des relations de dispersion tirées des conditions de transmissions (C.13) et (C.15) :
A+ν+sin(ν+(yΓ−y+)) =A−ν−sin(ν−(yΓ−y−)) A+(β2+ν+2) cos(ν+(yΓ−y+)) =A−(β2+ν−2) cos(ν−(yΓ−y−))
Les valeurs de β correspondant à des modes sont ensuite obtenues en trouvant dans le plan complexe les zéros du déterminant de ce système d'équations, via la méthode de Newton-Raphson par exemple.
Annexe D
Étude de solutions particulières d'une équation de transport
Cette annexe est consacrée à l'étude de solutions de l'équation de transport du second ordre vériée par le rotationnel du déplacement lagrangien dans un écoulement porteur uniforme subsonique, établie notamment dans les chapitres2 et5. Le domaine considéré, désigné parΩ, est un guide droit dirigé selon le vecteure1, bi- ou tridimensionnel et de section bornée notée Ω. Nous traiterons deux cas distincts, l'un pour lequel lee domaine est borné dans la direction x1, ce qui correspond aux problèmes étudiés en dimension trois dans le chapitre2et en dimension deux dans l'annexeE, l'autre en domaine non borné, cas traité dans le chapitre5et pour lequel le principe d'absorption limite est utilisé. Nous souhaitons en particulier obtenir des estimations de la norme de ces solutions en fonction de celles des données du problème.
Rappelons qu'en dimension deux, le rotationnel du champ de déplacement est un scalaire noté ψ et l'équation de transport s'écrit :
−k2ψ−2ikM ∂ψ
∂x1
+M2 ∂2ψ
∂x12 =g, ∀x2∈Ω,e (D.1)
aveckle nombre d'onde (k >0),M est le nombre de Mach (0< M <1) et oùg, la source de perturbation hydrodynamique1, est une fonction de l'espaceL2(Ω)à support compact. En dimension trois, le rotationnel du déplacement est un vecteur notéψ vériant l'équation vectorielle :
−k2ψ−2ikM ∂ψ
∂x1
+M2 ∂2ψ
∂x12 =g, ∀(x2, x3)∈Ω,e
oùg(=rotf)est à support compact et appartient àL2(Ω)3. Nous ne traiterons ici que le problème bidimen-sionnel, l'extension au cas tridimensionnel des résultats établis ne présentant aucune diculté supplémentaire mais davantage de calculs. Par conséquent, dans la suite de l'annexe, nous avonsΩ = [0, l], oùe lest la hauteur du guide.
D.1 Quelques préliminaires
D.1.1 Solution de l'équation homogène
Nous déterminons tout d'abord la solution générale de l'équation diérentielle homogène :
−k2ψ−2ikM ∂ψ
∂x1
+M2 ∂2ψ
∂x12 = 0dansΩ.
Cette dernière a la forme suivante :
ψh(x1, x2) = (a(x2) +b(x2)x1)eiMkx1, (D.2)
1. Le terme source de l'équation (D.1) est ainsi qualié car il provient de la partie rotationnelle, i.e.,g= rotf, de la source de perturbationf dans l'équation de Galbrun.
143
les fonctionsa etb de la variable x2 étant déterminées au moyen de conditions supplémentaires2 imposées au champ ψpour fermer le problème.
D.1.2 Fonctions de Green
L'obtention d'une solution particulière de (D.1) passe par le calcul d'une fonction de Green de l'équation.
Nous renvoyons à Stakgold [143] pour un exposé du formalisme de résolution. Nous déterminons ci-dessous deux fonctions de Green, correspondant chacune à un jeu de conditions aux limites envisagé pour l'équation.
Fonction de Green causale
Cette fonction, notéeG, dépend uniquement de la variablex1 et vérie :
−k2G−2ikM ∂G
∂x1
+M2 ∂2G
∂x12 =δdansΩ, avecδla masse de Dirac, ainsi que, en vertu de la causalité3 :
G(x1) = 0six1<0.
Elle est aussi continue en0 et sa dérivée présente un saut en ce point : M2 [G0(0)] = 1.
Nous obtenons alors aisément que :
G(x1) = x1
M2H(x1)eiMkx1, (D.3)
oùH désigne la fonction de Heaviside4.
Fonction de Green pour le problème de Dirichlet
Pour le traitement d'un problème posé dans un domaine bornéΩ = [x−, x+]×[0, l], nous pouvons calculer la fonction de Green vériant des conditions aux limites de Dirichlet homogènes sur les frontières articielles du domaine. Notons que la fonction n'est alors plus dénie intrinsèquement, mais relativement au domaine considéré, d'où une forme analytique plus compliquée.
Soitz appartenant à [x−, x+]. Pour tout pointx1 de cet intervalle, nous notonsG(x1, z)la fonction de Green vériant l'équation :
−k2G(x1, z)−2ikM ∂G
∂x1
(x1, z) +M2 ∂2G
∂x12(x1, z) =δ(x1−z),
oùδ(x1−z)désigne la masse de Dirac au pointz, avec les conditions aux limites homogènes suivantes : G(x−, z) = 0etG(x+, z) = 0. (D.4) De plus, cette fonction est continue en x1=z:
[G(z, z)] = 0, ∀z∈[x−, x+], (D.5) et sa dérivée ∂G
∂x1
(x1, z)est discontinue enx1=z :
M2 ∂G
∂x1
(z, z)
= 1, ∀z∈[x−, x+]. (D.6)
2. C'est-à-dire des conditions aux limites si le domaineΩest borné, des conditions à l'inni sinon.
3. La causalité est ici exprimée par rapport à la variable d'espacex1. Le problème étant posé en régime harmonique, il est naturel de la relier à la causalité en temps du problème transitoire.
4. Nous rappelons que la fonction de Heaviside est la fonction indicatrice des réels positifs.
D.1. Quelques préliminaires 145
Comme précédemment, la fonction Gest cherchée sous la forme :
G(x1, z) =
a−+b−(x1−z)
eiMk(x1−z) six1≤z, a++b+(x1−z)
eiMk(x1−z) six1> z,
où a−, a+, b− et b+ sont des constantes à déterminer. En utilisant la condition de saut (D.5), nous avons a− =a+=a. La condition (D.6) donne quant à elle :
b+=b−+ 1 M2. Posonsb−=b,b+=b+M−2, la fonction de Green s'écrit :
G(x1, z) =
(a+b(x1−z))eiMk(x1−z) six1≤z, a+ b+M−2
(x1−z)
eiMk(x1−z) six1> z.
Nous utilisons à présent les conditions aux limites (D.4) : En x1=x− : nous avonsG(x−, z) = 0 avecz≥x−, soit :
(a+b(x−−z))eiMk(x−−z)= 0, d'où a=−b(x−−z).
En x1=x+ : nous avonsG(x+, z) = 0avecz≤x+, soit : a+ b+M−2
(x+−z)
eiMk(x+−z)= 0, d'où b(x2) =− (x+−z)
M2(x+−x−). Nous trouvons nalement :
G(x1, z) =
(x+−z)
M2(x+−x−)(x−−x1)eiMk(x1−z) six1≤z, (x+−x1)
M2(x+−x−)(x−−z)eiMk(x1−z) six1> z.
(D.7)
D.1.3 Solution générale de l'équation diérentielle
La solution générale de l'équation diérentielle (D.1) est donnée par la somme d'une solution particulière de l'équation, obtenue par convolution de la fonction de Green causaleG, obtenue en (D.3), avec la fonction z7→g(z, x2)issue du second membre, i.e.,
G∗g(·, x2)(x1) = Z
R
G(x1−z)g(z, x2) dz,
et de la solution générale de l'équation homogène. Notons que le produit de convolution ci-dessus est déni presque partout. La solution générale de (D.1) s'écrit alors :
ψ(x1, x2) = Z x1
−∞
x1−z
M2 e−iMkzg(z, x2) dz+a(x2) +b(x2)x1
eiMkx1,∀(x1, x2)∈Ω. (D.8)