Figure 4.16: Real part of the pressure eld;k= 9andM = 0.4,α=.14(1−i), andλ=−1−MkM2.
Figure 4.17: Real part of the pressure eld;k= 9 andM = 0.4,α=.14(1−i), andλ= 0.
optimal value of αfor convergence more conveniently.
To conclude, Figures4.16and4.17, respectively, show the solutions for the new and classical models, the value of |α| for this case corresponding to the minimum of the curves in Figure 4.14. Note that whatever the behavior of the solution in the layers, the solution in the physical domain remains almost the same.
4.6.3 Some practical remarks on the use of PMLs for time-harmonic problems
We would like to point out that the numerical analysis which has been carried out in this section was based on the knowledge of a reference solution. In practice, it would be useful to have a posteriori criteria which indicate whether the numerical solution is satisfactory or not. In transient applications, the quality of the PML model is ensured as soon as the reections produced at the interface between the physical and the absorbing layer can be neglected. In particular, if the excitation is a pulse localized in time, the exact solution should vanish after a large time, which gives a criterion for evaluating the eciency of the absorbing layer.
The situation is completely dierent in time-harmonic applications. For instance, we have the following:
The notion of reection is more dicult to exploit: as illustrated in the previous numerical results, it is not clear how to distinguish a reected wave from an incident wave.
The experiment of a pulse localized in time has no counterpart in time-harmonic applications.
A good choice of the absorbing layer parameters allows one to select the outgoing solution of the problem. A bad choice (Im(α)>0) would select the ingoing solution, which is dicult to detect when one does not know the exact solution.
However, one can note that when |α|is too small, spurious numerical errors are observed. They can be removed by rening the mesh in the layer.
4.7 Conclusion
In this paper, we have studied PMLs for the convected Helmholtz equation. In the presence of inverse upstream modes, the solution can have arbitrarily large values in the classical PMLs, thus causing the instabilities observed in time domain applications. We have investigated a new PML model which always leads to an exponentially decreasing solution in the layer, even in the presence of inverse upstream modes.
The error analysis surprisingly showed the convergence for both the classical and new models. Nevertheless, numerical results seem to indicate that the error is best controlled with the new model when inverse upstream modes are present. In order to understand the dierent numerical behaviors of the two models, there remains to analyze the convergence of the solution of the discretized PML models with respect to both the nite element mesh size and the layer parameters αandL.
This is a preliminary step in dealing with more complex time-harmonic problems. In particular, it would be interesting to extend the present method to nonuniform ows. This gives rise to several diculties.
First, even for a parallel ow, the problem can no longer be reduced to a simple scalar equation and has to be modeled with a vectorial model, for instance linearized Euler equations or Galbrun's equation [35].
Furthermore, a modal analysis cannot be done so easily, since the orthogonality of the modes is lost and their completeness is an open question. Finally, for some ows, there exist physical outgoing unstable modes which have to be adequately treated by the absorbing model.
Chapitre 5
Couches absorbantes parfaitement adaptées pour l'équation de Galbrun
Dans ce chapitre, nous montrons comment poser et résoudre numériquement l'équation de Galbrun en présence d'un écoulement porteur uniforme, dans un conduit inni et en régime harmonique établi.
Nous commençons par établir, au moyen d'un principe d'absorption limite, les conditions satisfaites à l'inni par le champ rayonné et démontrons ensuite que le problème peut être approché numériquement à l'aide du modèle de couches absorbantes parfaitement adaptées que nous avons précédemment étudié.
Pour l'analyse des couches absorbantes dans un guide et appliquées à l'équation de Galbrun régularisée, nous ne disposons pas d'opérateur de Dirichlet-Neumann comme cela était le cas dans le chapitre 4. En eet, à la diérence d'un problème scalaire, un couplage entre les composantes du déplacement, induit d'une part par l'opérateur mis en jeu dans l'équation et d'autre part par les conditions aux limites du problème régularisé, complique la diagonalisation de l'opérateur transverse intervenant dans la condition aux limites transparente. De plus, la non orthogonalité des bases de fonctions propres fait de l'étude de leur complétude et de la construction explicite d'un opérateur Dirichlet-Neumann des questions ardues et encore ouvertes1, même pour un écoulement porteur uniforme.
Néanmoins, le fait que l'écoulement soit uniforme permet de contourner cette diculté en ramenant le problème vectoriel à deux problèmes scalaires découplés via un passage en potentiels. Nous obtenons ainsi indirectement des estimations théoriques sur la convergence de la méthode, en utilisant les résultats du chapitre précédent.
La dernière partie du chapitre est consacrée à la présentation de simulations numériques de propagation de modes et de rayonnement de sources à supports compacts en présence d'un écoulement porteur uniforme et dans un conduit rigide.
5.1 Position du problème dans un guide inni
Nous considérons le problème de propagation en écoulement uniforme, de vitesse subsoniquev0, dans un conduit inni à parois rigides. Une dépendance harmonique implicite des inconnues ene−iωt, avecω >0la pulsation, est supposée. Le problème est alors modélisé par les équations suivantes :
−k2u−2ikM ∂u
∂x1
+M2 ∂2u
∂x12 −∇(divu) =f dansΩ, (5.1)
u·n= 0sur∂Ω, (5.2)
oùΩet∂Ωdésignent respectivement le conduit inni de hauteurlet ses parois rigides,k=cω0 est le nombre d'onde et M = vc00 le nombre de Mach (0 < M <1). Une hypothèse supplémentaire est faite sur le second
1. Ces dicultés sont également présentes dans d'autres problèmes faisant intervenir des équations d'ondes vectorielles similaires à l'équation de Galbrun régularisée, comme l'équation de Navier en élasticité linéaire ou l'équation aux dérivées partielles d'ordre deux (sous une forme régularisée) issue des équations de Maxwell en électromagnétisme.
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membre à support compact f, qui est supposé admettre une décomposition de type Helmholtz de la forme :
f =∇ga+rotgh, (5.3)
où ga etgh sont également à supports compacts. D'un point de vue physique, ceci signie que la sourcef contient une partie acoustique ga, donnant naissance à des perturbations irrotationnelles (c'est-à-dire des uctuations de pression), et une partie rotationnelle gh, à l'origine de perturbations hydrodynamiques (ou uctuations de vitesse). Nous supposons comme auparavant que la sourcef appartient à l'espace :
H(rot; Ω) =
v∈L2(Ω)2|rotv∈L2(Ω) .
Cette hypothèse implique de manière évidente une certaine régularité sur les potentielsga etgh de la source f. Pour le problème bidimensionnel que nous souhaitons traiter, des conditions susantes de régularité sont :
ga ∈H1(Ω) etgh∈H2(Ω).
An d'obtenir un problème bien posé, il est nécessaire de dénir la condition vériée à l'inni par la solution. S'il est peu aisé de l'obtenir en raisonnant directement sur la variable déplacement, nous pouvons tirer parti du fait que l'écoulement est uniforme et exploiter la séparation entre perturbations acoustiques et hydrodynamiques. L'étude du problème dans un cas dissipatif et l'emploi du principe d'absorption limite vont alors nous permettre de déterminer une telle condition, cette étape utilisant de manière essentielle les résultats connus pour des problèmes scalaires [33].
Mais relevons dès à présent une diculté majeure, provenant de la régularisation de l'équation (5.1), dans l'utilisation de couches absorbantes. Rappelons-nous que la démarche suivie dans les chapitres 2 et 3 conduisait, entre autres, à l'ajout d'un terme source de la forme rotψ à l'équation de Galbrun, le champψ vériant une équation diérentielle ordinaire d'ordre deux à coecients constants. Nous constatons ici que la fonctionψn'est pas à support compact, ce qui amène une interrogation quant à la possibilité de ramener le problème de rayonnement en domaine borné. L'établissement d'une formulation avec couches absorbantes du problème non régularisé constitué des équations (5.1) et (5.2) va cependant fournir une réponse très simple à cette question. Nous verrons en eet lors de la régularisation de ce nouveau problème que le champ ψα,λ, dépendant des paramètres introduits par le modèle de couches, est à présent exponentiellement décroissant avec la distance dans les couches. Nous pouvons de ce fait espérer procéder à une troncature de celles-ci en créant une erreur pouvant, comme nous l'avons vu dans dans le chapitre 4, être rendue aussi petite que voulu, pour peu que la longueur des couches soit assez grande.