∂t ρfa
e ρ
− ∂
∂aα
J ∂aα
∂xi vei
= 0, (1.25)
∂
∂t(ρfaevi) + ∂
∂aα
J ∂aα
∂xi ep
+ρfa
∂aα
∂xi
∂φe
∂aα
= 0, i= 1,2,3, (1.26)
∂es
∂t = 0, (1.27)
e
p=P(ρ,ees;a). (1.28)
oùρ,e ev= (ev1,ev2,ev3),peetesreprésentent respectivement la masse volumique, le champ de vitesse, la pression et l'entropie spécique en variables de Lagrange et où φe = φ◦χ, le symbole ◦ désignant la composition d'applications.
1.4 Perturbations des équations de conservation en représentation mixte
Dans le cadre de l'hypothèse de petites perturbations, nous linéarisons les équations de conservation de la mécaniques des uides parfaits, écrites en représentation lagrangienne, autour d'un écoulement porteur non perturbé. Les perturbations lagrangiennes des quantités sont ensuite exprimées en fonction des variables d'Euler dénies par l'écoulement porteur : c'est la représentation mixte des petites perturbations.
1.4.1 Perturbations des équations en variables de Lagrange
Considérons deux écoulements d'un même uide, dénis à partir d'une seule conguration de référence par la fonction de placement χ0 pour l'écoulement dit porteur (ou non perturbé), supposé connu, et par la fonction χpour l'écoulement dit perturbé. Chacun de ces mouvements dénit respectivement une relation entre variables de Lagrange et d'Euler :
x0=χ0(a, t) et x=χ(a, t).
Nous supposons que le uide est soumis au même champ de forces extérieures dans le mouvement perturbé et dans le mouvement non perturbé, déni en (1.13) et ne dépendant que du point en lequel se trouve la particule. L'écoulement perturbé est alors déni par les équations de conservation (1.25) à (1.27) et d'état (1.28). L'écoulement porteur est pour sa part caractérisé parρe0,fv0= (ve01,ve02,ve03),pe0 etse0, qui désignent respectivement la masse volumique, le champ de vitesse, la pression et l'entropie spécique en variables de
3. δαβ = 1siα=βetδαβ= 0siα6=β,αetβ∈ {1,2,3}.
1.4. Perturbations des équations de conservation en représentation mixte 25
Lagrange. Ces quantités sont solutions du système d'équations suivant :
∂
Dans le cadre de la théorie linéaire de l'acoustique, les perturbations (pour une particule donnée à un instant donné) des quantités caractérisant l'écoulement sont supposées susamment petites pour pouvoir limiter au premier ordre les développements (en puissances d'un paramètre caractéristiqueε, sans dimension, de l'ordre de grandeur de la perturbation et petit devant l'unité) de ces quantités autour de l'état non perturbé. Cette hypothèse consiste donc à envisager des mouvements de faible amplitude autour d'un état moyen. Nous écrivons : l'instant t, relatives à la particule situé en a dans la conguration de référence. Notons que la dénition des mouvements perturbé et non perturbé à partir d'une unique conguration de référence implique que ces perturbations lagrangiennes sont identiquement nulles au temps de référence.
Parallèlement, nous introduisons le déplacement lagrangien, qui est la grandeur dénie comme suit : eξ(a, t) =χ(a, t)−a.
De la dénition (1.1) du champ de vitesse, nous déduisons : e
v(a, t) =∂eξ
∂t(a, t). (1.38)
En variables eulériennes(x, t), ce champ a pour composantes : vi=∂ξi
∂t +vj
∂ξi
∂xj
, i= 1,2,3, soit encore, en notation tensorielle :
v= ∂ξ
∂t +∇ξ.v. (1.39)
Il découle par conséquent de l'égalité (1.35) le développement au premier ordre suivant pour le déplacement lagrangien :
eξ(a, t) =ξe0(a, t) +εfξL1(a, t) +O ε2
, (1.40)
avecξe0(a, t) =χ0(a, t)−a, d'où :
χ(a, t) =χ0(a, t) +εξfL1(a, t) +O ε2
. (1.41)
Physiquement, cette dernière relation traduit le fait qu'une particule de uide située au point x0 à un instant t dans l'écoulement porteur se trouve au même moment en x0+ξL, où ξL =εξL1 +O ε2, dans l'écoulement perturbé, ce que nous avons représenté sur la gure 1.1.
x(t1)
x0(t2) x0(t1)
trajectoire non perturbée trajectoire perturbée x(t2)
ξL(x0, t2) ξL(x0, t1)
Figure 1.1 Perturbation du déplacement lagrangien pour une particule uide à deux instantst1et t2. L'hypothèse de petites perturbations et l'égalité (1.40) impliquent également les développements asymp-totiques à l'ordre un suivants pour les matricesF,Get le jacobienJ :
F = F0+εFL1+O ε2
, (1.42)
G = G0+εGL1+O ε2
, (1.43)
J =J0+ε J1L+O ε2
. (1.44)
Linéarisation des équations
Le système d'équations linéaires au premier ordre vérié par les perturbations lagrangiennes est établi en reportant les égalités (1.34) à (1.37), (1.43) et (1.44) dans (1.23), (1.26) et (1.27), tout en tenant compte du système d'équations pour l'écoulement porteur et en négligeant les termes en εd'ordre supérieur à un.
Relation traduisant la conservation de la masse. La linéarisation de l'équation de continuité en variables de Lagrange (1.25) étant compliquée, nous utilisons celle de la relation algébrique (1.23). Nous avons alors :
fρL1 =−ρe0
J1L J0
+O(ε). (1.45)
Équation de conservation de la quantité de mouvement. Après linéarisation au premier ordre enε de l'équation (1.26), nous obtenons :
∂
∂t
fρafv1Li + ∂
∂aα
J0G0iαpfL1+J1LG0iαpe0+J0GL1iαpe0
+fρafξL1jG0jβ
∂
∂aβ
G0iα
∂fφ0
∂aα
!
=O(ε), (1.46) pour i= 1,2,3.
Équation de bilan pour l'entropie et loi d'état. La linéarisation au premier ordre de l'équation de bilan (1.27) donne :
∂fsL1
∂t =O(ε). (1.47)
1.4. Perturbations des équations de conservation en représentation mixte 27
La perturbation lagrangienne d'entropie reste donc constante le long des trajectoires des particules de uide, d'où :
sfL1 =O(ε). (1.48)
Les lois d'état (1.28) et (1.32) sont à présent utilisées. Pour une particule de uide, considérée successi-vement dans l'écoulement porteur et dans l'écoulement perturbé, nous avons alors :
e
p(a, t)−pe0(a, t) =P(ρ,ees;a)−P(ρe0,se0;a).
Un développement de Taylor au premier ordre en εautour de l'état non perturbé donne : e En portant (1.36) et (1.48) dans cette dernière relation, nous trouvons :
fpL1(a, t) =∂P
∂eρ (ρe0,se0;a)fρL1(a, t) +O(ε).
Finalement, nous obtenons une relation liant les perturbations lagrangiennes de pression et de masse volumique au premier ordre :
fpL1(a, t) =ce02
(a, t)ρfL1(a, t) +O(ε). (1.49) oùce02
(a, t) = ∂P
∂ρe(ρe0,se0;a),c0 désignant la célérité du son adiabatique dans l'écoulement porteur.
1.4.2 Passage en représentation mixte
Un choix usuel de variables indépendantes pour la formulation d'un problème de propagation d'ondes est celui des coordonnées eulériennes relatives à l'écoulement non perturbé, ici notées(x0, t). En représentation mixte Lagrange-Euler, les perturbations lagrangiennes sont exprimées dans la représentation d'Euler liée à l'écoulement porteur. Nous eectuons dans les équations linéarisées le changement de variables déni par :
x0=χ0(a, t0), a=χ0−1(x0, t), t=t0. (1.50) Pour toute fonction f régulière, nous avons les relations suivantes :
∂fe
Dans le cas particulier d'un uide au repos, nous constatons que la représentation mixte Lagrange-Euler et la représentation de Lagrange sont strictement identiques.
Équations de l'acoustique linéaire en représentation mixte
Une fois le changement de variables Lagrange-Euler (1.50) eectué dans l'équation (1.46), il reste à calculer explicitement les perturbations lagrangiennes d'ordre un du jacobien J et de la matriceG. Comme indiqué dans [132], il y a avantage à utiliser la représentation mixte et à introduire le déplacement lagrangien dans les calculs.
Perturbation lagrangienne du jacobien. Utilisant la relation
et portant le développement (1.41) dans la dénition du jacobienJ, nous obtenons, en variables indépendan-tes eulériennes(x0, t):
En développant le déterminant, nous trouvons : J=J0+ε J0
∂ξ1Lk
∂x0k
+O ε2 , d'où, après identication au premier ordre avec (1.44) :
J1L =J0
∂ξ1Lk
∂x0k
+O(ε). (1.55)
Perturbation lagrangienne de la matriceG. La matriceGétant l'inverse de la matriceF, les dévelop-pements (1.42) et (1.43) donnent respectivement à l'ordre zéro et à l'ordre un enε:
G0= F0−1+O(ε)
Par conséquent, nous avons : GL1iα=−∂aβ Relation traduisant la conservation de la masse. En introduisant (1.55) dans (1.45), nous obtenons :
ρL1 =−ρ0
∂ξL1k
∂x0k
+O(ε). (1.57)
Équation de conservation de la quantité de mouvement. L'utilisation des relations (1.53) à (1.56) dans (1.46) conduit, après division parJ0, à l'équation :
∂