POD spectrale, temps/fr´equence

X

n=1

aⁿφⁿ_i(x, y, z, t) (3.66) En rempla¸cant u_i dans l’´equation (3.61) par son expression donn´ee par l’´equation (3.66) et en prenant en compte l’´equation (3.64), on obtient la relation suivante :

+∞ X n=1 ˆln(k_x) ˆϕⁿ_i(y, k_x) = Z ⁽+∞ X n=1 aⁿφⁿ_i(x, y, z, t) ) e^ikxxdx ou encore : +∞ X n=1 ˆ lⁿ(k_x) ˆϕⁿ_i(y, k_x) = +∞ X n=1 Z aⁿφⁿ_i(x, y, z, t)e^ikxxdx = +∞ X n=1 aⁿφ^ˆn_i(y, k_x) Cette ´equation ne garantit pas que chacun des modes ˆϕn

i obtenus via la POD effectu´ee sur ˆu (la transform´ee de Fourier de u) soit forc´ement ´egal `a la transform´ee de Fourier de son homologue T F [φⁿ_i], issu d’une POD effectu´ee sur u.

Il est toutefois possible de trouver une relation plus utile entre φⁿ_i(x, y, z, t) et λⁿ associ´es `a u d’un cˆot´e et ˆϕn

i(k_x, y, z, t) et ˆλn(k_x) issus de ˆu de l’autre cˆot´e. Pour cela il faut que la fonction u contienne des propri´et´es statistiques suppl´ementaires. On s’int´eresse plus particuli`erement `a “l’homog´en´eit´e”. Cette propri´et´e statistique est un type particulier de sym´etrie de groupe souvent utilis´e dans les hypoth`eses de la turbulence. Il s’agit de l’invariance des propri´et´es statistiques du champ par translation en espace. On peut montrer (voir par exemple Lumley [82]) que dans la direction de homog´en´eit´e (x par exemple), les modes de Fourier eikxx sont les modes POD. C’est pourquoi en pr´esence d’une direction homog`ene, la plupart des auteurs r´ealise une transform´ee de Fourier dans cette direction au lieu d’une d´ecomposition POD. Pour les autres directions inhomog`enes, c’est donc une POD (spectrale) qui est effectu´ee.

Dans de nombreux cas d’´etude, les ´ecoulements sont stationnaires (c’est-`a-dire “homog`ene” en temps). La POD spectrale temps/fr´equence est donc souvent mise `a l’œuvre.

3.4.2 POD spectrale, temps/fr´equence

Comme il souvent avantageux de travailler dans le domaine fr´equentiel au lieu de manipuler les informations temporelles, dans cette partie les liens entre la transform´ee de Fourier temporelle et la d´ecomposition POD sont pr´esent´es. On distingue deux cas :

– Soit on calcule la transform´ee de Fourier de la variable al´eatoire et on effectue la POD sur cette variable transform´ee (POD spectrale pr´esent´ee en3.4.1).

– Soit la POD est calcul´ee via la variable al´eatoire elle-mˆeme et, ensuite, la transform´ee de Fourier est appliqu´ee aux fonctions et valeurs propres.

Dans un premier temps on suit la mˆeme d´emarche que celle entreprise dans la section3.4.1 o`u la moyenne est calcul´ee via une moyenne d’ensemble. Ensuite, on regarde l’effet du remplacement de la moyenne d’ensemble par une moyenne temporelle (sous r´eserve d’ergodicit´e des signaux). Ainsi on consid`ere la fonction ˜u(x, ω), transform´ee de Fourier temporelle de u, et on cherche la base optimale, au sens ´energ´etique, pour exprimer ˜u `a chaque ω fix´e. Ce qui conduit `a l’´equation de Fredholm suivante : ∀ω : nc X j=1 Z ˜ R_u˜iu˜j(x, x^′, ω) ˜χⁿ_j(x^′, ω)dx^′ = ˜λⁿ(ω) ˜χⁿ_i(x, ω) (3.67) avec le noyau d’int´egration :

∀ω : ˜R_u˜i˜uj(x, x^′, ω) = E[˜u_i(x, ω)˜u^∗_j(x^′, ω)] (3.68) On rappelle que E[ ] repr´esente l’esp´erance math´ematique et, ici, elle est calcul´ee `a partir d’une moyenne d’ensemble. Comme on l’a vu dans la section 3.2.1, la r´esolution de cette ´equation de Fredholm conduit `a une infinit´e de solutions pour lesquelles toutes les propri´et´es introduites en section 3.2.2 sont valables. Elles v´erifient donc la propri´et´e d’orthonormalit´e :

∀ω : nc X i=1 Z ˜ χ^p_i(x, ω) ˜χ^∗q_i (x, ω)dx = δ_pq (3.69) Elles forment ´egalement une base compl`ete et permet d’´ecrire la fonction ˜u(x, ω) d’une fa¸con exacte. Chaque composante de vitesse peut donc ˆetre ´ecrite :

∀ω : ˜ui(x, ω) = +∞ X n=1 ˜ cⁿ(ω) ˜χⁿ_i(x, ω) (3.70) avec : ˜ cⁿ(ω) = +∞ X i=1 Z ˜ u_i(x, ω) ˜χⁿ_i(x, ω)dx et les coefficients de la d´ecomposition v´erifient :

∀ω : E[˜cⁿ(ω)˜c^m(ω)] = δnm˜_λn(ω) (3.71) Jusqu’ici aucune propri´et´e statistique n’est associ´ee `a la fonction al´eatoire ˜u(x, ω). Maintenant on consid`ere qu’elle est stationnaire en temps. Dans ce cas le th´eor`eme de Wiener-Khinchin peut ˆetre appliqu´e et le noyau d’int´egration, le tenseur de corr´elation ˜R_u˜iu˜j(x, ω), peut ˆetre calcul´e via la relation suivante :

∀ω : ˜Ru˜iu˜j(x, x^′, ω) = E[˜ui(x, ω)˜u^∗_j(x^′, ω)] = Z

R_uiuj(x, x^′, τ )e^iωτdτ = Z

E[u_i(x, t)u^∗_j(x^′, t + τ )]e^iωτdτ (3.72) L’utilisation de l’hypoth`ese d’ergodicit´e permet de remplacer la moyenne d’ensemble par une moyenne temporelle. Ainsi le noyau de l’´equation (3.67), le tenseur de corr´elation fr´equentiel, s’´ecrit sous la forme suivante :

˜ R_u˜i˜uj(x, x^′, ω) = ¹ T T →+∞^lim Z Z T 0 u_i(x, t)u^∗_j(x^′, t + τ )e^iωτdtdτ (3.73)

3.4. POD SPECTRALE 55 La formulation pr´esent´ee jusqu’ici est souvent appel´ee “Spectral Proper Transformation” (SPT). En effet la d´emarche suivie dans le cas de SPT, c’est-`a-dire la d´ecomposition orthogonale de la transform´ee de Fourier de la variable u, n’est pas ´equivalente `a la transform´ee de Fourier de la d´ecomposition orthogonale de u. En fait la d´ecomposition orthogonale de u(x, t) ´etant bas´ee sur le calcul de la covariance est souvent appel´ee “Covariance Proper Transformation” (CPT) et contrairement `a la SPT elle ne prend en compte qu’un seul temps de retard, τ = 0. Grˆace `a la CPT, on rappelle que u(x, t) peut s’´ecrire sous la forme :

ui(x, t) =^X

n

aⁿ(t)φⁿ_i(x)

En r´ealisant la transform´ee de Fourier temps/fr´equence de cette expression on obtient donc une autre expression de ˜u(x, ω) :

˜

u_i(x, ω) =^X

n

˜

aⁿ(ω)φⁿ_i(x)

Il faut cependant bien noter que les modes et les coefficients de la SPT et de la transform´ee de Fourier de la CPT ne sont pas ´egaux deux `a deux : ˜aⁿ(ω) 6= ˜cⁿ(ω) et φⁿ_i(x) 6= ˜χⁿ_i(x, ω).

Chapitre 4

M´ethodologie POD/EPOD pour

l’analyse des sources a´eroacoustiques

Ce chapitre vise `a proposer et `a appliquer une m´ethodologie d’analyse statistique bas´ee sur les techniques POD/EPOD afin d’identifier les ´ev`enements a´erodynamiques impliqu´es dans la g´en´eration des ondes acoustiques. La connaissance a priori du champ a´erodynamique et du champ acoustique associ´e est alors indispensable. Plus pr´ecis´ement, seules les configurations pour les-quelles les fluctuations de pression acoustique pures sont disponibles, peuvent ˆetre consid´er´ees. Le cas plus probl´ematique dans lequel le signal acoustique doit ˆetre pr´ealablement extrait d’un si-gnal total a´erodynamique / acoustique (cas des pressions pari´etales sur les vitrages) est consid´er´e dans le chapitre 5. Dans un premier temps, l’approche POD/EPOD est mise au point dans une application concernant un a´erateur simplifi´e de voiture. En suivant la vision conventionnelle de la POD, le champ de vitesse dans la zone source est d´ecompos´ee en une s´erie des vecteurs propres. La contribution de chaque vecteur propre (d´ecrivant ´eventuellement un mode de l’´ecoulement turbulent) au champ acoustique est ensuite ´evalu´ee par le mode ´etendu associ´e. Les pr´ecautions `

a prendre quant `a la manipulation des signaux finis pour l’application de l’EPOD sont alors mises en ´evidence. Ces pr´ecautions concernent essentiellement la convergence des op´erateurs sta-tistiques. Ce probl`eme de convergence est ensuite ´etudi´e pour l’´evaluation des vecteurs propres POD eux-mˆemes.

Le choix de la variable dans le domaine source de l’´ecoulement est ensuite consid´er´e. Le tenseur de Lighthill est calcul´e dans la zone source de l’´ecoulement et compar´e avec la pression fluctuante. Enfin, la simulation num´erique d’´ecoulement autour d’un v´ehicule est pr´esent´ee et le rayonnement acoustique du r´etroviseur est ´etudi´e.

4.1 Bruit du syst`eme de ventilation : A´erateur

Le bruit g´en´er´e par le syst`eme de ventilation peut ˆetre une composante non n´egligeable de bruit `a l’int´erieur des habitacles automobiles. Plusieurs parties contribuent `a la g´en´eration de bruit a´erodynamique dans une unit´e de ventilation de v´ehicule, mais celui caus´e par les conduits et les a´erateurs sont d’une importance particuli`ere. Un a´erateur est typiquement ´equip´e d’un clapet situ´e en amont de l’ouverture, et une cascade d’ailettes horizontales et verticales (voir la figure4.3). Ces dispositifs g´en`erent des niveaux ´elev´es de bruit large-bande quand ils obstruent le passage de l’´ecoulement d’air, par exemple, quand le clapet est partiellement ferm´e pour ajuster le d´ebit de l’´ecoulement ou quand les ailettes sont inclin´ees pour changer la direction du jet de sortie. Les autres sources de bruit dans une unit´e de ventilation sont le ventilateur et les autres discontinuit´es dans les conduits comme les coudes, les changements de section ou les jonctions entre les tuyaux.

Plusieurs travaux pr´ec´edents visant `a ´etudier le bruit g´en´er´e par un a´erateur et `a proposer des mod`eles simplifi´es existent dans la litt´erature. Iudin [66] a propos´e une premi`ere loi de pr´ediction d´eduite de l’analyse dimensionnelle et des mesures effectu´ees sur plusieurs ´el´ements d’a´erateur. Selon la formule propos´ee, la puissance de bruit g´en´er´e est proportionnelle `a la perte de charge `

a la puissance trois et `a la dimension g´eom´etrique caract´eristique de l’a´erateur au carr´e. En n´egligeant l’effet du confinement sur la propagation des ondes, une relation similaire a ´et´e re-trouv´ee par Gordon [50,51] qui a remplac´e les sources de bruit par les dipˆoles dont la puissance est proportionnelle `a la perte de charge.

L’effet de confinement dans un conduit a ´et´e soulign´e par Heller et Windnall [55] et Nelson et Morfey [92]. Ces deux auteurs ont d´emontr´e que les dipˆoles se comportent comme des monopˆoles en champ libre pour les fr´equences inf´erieures `a celle correspondante au premier mode transversal, avec une d´ependance de la puissance acoustique rayonn´ee `a la vitesse en puissance quatre (U⁴) pour les conduits infinis. L’effet du confinement sur la puissance acoustique rayonn´ee peut ˆetre n´eglig´e pour les fr´equences plus ´elev´ees o`u les longueurs d’ondes acoustiques sont plus petites que la section de conduit ; dans ce cas la puissance rayonn´ee est proportionnelle `a U⁶.

Nelson et Morfy [92] ont mod´elis´e les sources de bruit g´en´er´ees par un spoiler (le spoiler repr´esente une ailette) vertical avec une distribution de dipˆoles axiaux. Sous des hypoth`eses r´ealistes sur la turbulence et en utilisant une distribution spatiale des forces, la puissance acous-tique rayonn´ee est associ´ee `a la traˆın´ee fluctuante totale du spoiler.

Le pr´esent travail ´etudie le probl`eme sous un angle diff´erent, visant `a identifier les ´ev`enements a´erodynamiques impliqu´es dans la g´en´eration de bruit en ayant acc`es `a l’ensemble des variables du champ a´erodynamique et du champ acoustique r´esultant. La difficult´e extrˆeme (voire l’impos-sibilit´e) d’acc´eder aux variables d’´ecoulement dans une configuration aussi complexe (´ecoulement confin´e, ´etendu spatiale vaste) par les moyens exp´erimentaux ne laisse d’autre choix que d’avoir recours `a la simulation num´erique. Dans cette optique, les travaux pr´ec´edents [1] effectu´es au sein de la direction de recherche de Renault ont eu pour objectif de prouver la fiabilit´e et la repr´esentativit´e physique des simulations num´eriques de l’´ecoulement faites `a l’aide de la LBM (code PowerFLOW) pour une telle configuration.

Dans ce travail pr´ec´edent, les capacit´es de PowerFLOW `a simuler la propagation d’une onde plane acoustique sans ´ecoulement moyen ont d’abord ´et´e examin´ees. Ensuite, en imposant un d´ebit d’entr´ee constant les capacit´es du code `a simuler la g´en´eration de bruit par la turbulence ont ´et´e v´erifi´ees.

A l’issue d’un plan d’exp´erience visant `a ´etudier conjointement l’influence du nombre d’ailettes, leur angle et la position du clapet sur le bruit rayonn´e, 18 configurations diff´erentes ont ´et´e ´etudi´ees. Chacune des 18 configurations a ´et´e d’abord physiquement construite. L’´ecoulement d’air a ´et´e introduit par une soufflerie silencieuse. Le rayonnement acoustique a ´et´e mesur´e dans le conduit en amont du clapet et en aval, en dehors du conduit, dans une salle semi-an´echo¨ıque. La figure4.1montre le banc de mesure et la position des microphones utilis´es pour la mesure de bruit rayonn´e. La corr´elation entre la simulation et la mesure directe du champ acoustique rayonn´e a ´et´e satisfaisante pour la plupart des configurations ´etudi´ees. Les cas pour lesquels la corr´elation n’est pas satisfaisante ont conduit `a augmenter la r´esolution du maillage spatial (r´eduction de la taille des mailles) dans les zones potentiellement sources. Cela a conduit `a l’am´elioration des r´esultats. L’augmentation de la r´esolution du maillage a ´egalement repouss´e la fr´equence de coupure de calcul (fr´equence `a laquelle les r´esultats du calcul diff`erent des mesures). La figure 4.2 montre les spectres de pression acoustique en amont (dans le conduit) et en aval (en dehors du conduit) issus de la mesure et ceux obtenus par la simulation num´erique avec un maillage de r´esolution ´elev´ee. Plus de d´etails concernant ce travail peuvent ˆetre trouv´es dans Adam et al. [1].

4.1. BRUIT DU SYST `EME DE VENTILATION : A ´ERATEUR 59

Fig. 4.1 – Banc de mesure

(a) (b)

dB(ref : 2 × 10−5 P a_√

Hz) dB(ref : 2 × 10−5 P a_√ Hz)

f Hz f Hz

Fig.4.2 – Spectre de pression acoustique (a) en position amont du clapet et (b) en position aval, en dehors de l’´ecoulement : (—) simulation num´erique, (—) donn´e exp´erimentale

4.1.1 Pr´esentation de la configuration consid´er´ee et des param`etres de