5.3 Vibration d’une plaque sous chargement al´eatoire
5.3.2 Expression finale de la puissance acoustique rayonn´ee
2π r ms D (5.13)
Pour les panneaux de type vitrage automobile et pour des vitesses d’´ecoulements classiques, la fr´equence de co¨ıncidence a´erodynamique est de l’ordre de quelques dizaines de Hertz. La fr´equence de co¨ıncidence acoustique est de l’ordre de quelques milliers de Hertz (typiquement autour de 3000 − 3500 Hz).
Pour une fr´equence donn´ee, les modes tels que kmn< ks sont dits acoustiquement rapides, et les modes tels que kmn > ks sont dits acoustiquement lents. De la mˆeme mani`ere pour les modes a´erodynamiques, kmn< kc et kmn > kc d´ecrivent respectivement les modes a´erodynamiquement rapides et lents. Ce m´ecanisme, li´e `a une correspondance entre nombres d’onde, est appel´e co¨ınci-dence spatiale. Notons que la fr´equence de co¨ıncico¨ınci-dence d´epend des param`etres structurels de la plaque.
5.3.1 Rayonnement acoustique de plaques vibrantes
Le calcul de la pression rayonn´ee dans de l’air par une plaque vibrante se fait grˆace `a l’´equation de Helmholtz r´egissant la propagation des ondes acoustiques, et `a la condition aux limites de continuit´e de la vitesse `a la surface de la plaque. L’expression de la puissance acoustique rayonn´ee par la plaque est donn´ee par [8]
˜ Π(ω) = ρcs ∞ X m,n=0 ˜ φvmn(ω)˜σmn(ω), (5.14) o`u le facteur de rayonnement modal est d´efini par
˜ σmn(ω) = (2π)2 Z +k0 −k0 Ψˆmn(k) 2 q 1 − (kk0)2 dk (5.15)
D’apr`es l’´equation (5.15), le rayonnement de chaque mode est maximal lorsque kmn= k0 (co¨ınci-dence spatiale). L’efficacit´e de rayonnement d’un mode traduit le couplage entre la d´eform´ee modale, dont le maximum se situe autour de kmn, et le champ acoustique rayonn´e, dont le maxi-mum se situe autour de k0. Pour kmn = k0 le mode est alors co¨ıncident et il rayonne fortement. Pour kmn< k0, l’efficacit´e de σmn est proche de 1 et le mode rayonne de fa¸con tr`es efficace. Pour kmn > k0 l’efficacit´e de rayonnement de mode est plus faible, mais non nulle.
5.3.2 Expression finale de la puissance acoustique rayonn´ee par une plaque sous excitation a´eroacoustique
Les diff´erentes expressions analytiques permettant de mod´eliser le ph´enom`ene complet de rayonnement acoustique d’une plaque soumise `a une excitation a´eroacoustique ont ´et´e exprim´ees dans les paragraphes pr´ec´edents. En introduisant dans l’´equation (5.14) les diff´erents relations exprim´ees, la puissance acoustique rayonn´ee par la plaque est :
˜ Πac(ω) = ρcsS˜pp(ω)X mn ˜ Φpmn(ω) ˜ Hmn(ω) 2 ˜ σmn(ω) (5.16) Cette expression repr´esente les trois filtres d´etaill´es sur la figure5.4.
Que ce soit avec une excitation de type a´erodynamique, ou une excitation de type acoustique, le couplage avec un panneau se d´ecompose de mani`ere similaire en trois filtres :
5.3. VIBRATION D’UNE PLAQUE SOUS CHARGEMENT AL ´EATOIRE 135
Fig. 5.4 – Sch´ema de principe des m´ecanismes de couplage entre l’excitation a´eroacoustique, la vibration de la plaque et son rayonnement acoustique (figure extraite d’Arguillat [8])
– Un filtre spatial, caract´eris´e par l’acceptance de couplage ˜Φpmn(ω). Celle-ci traduit, pour un mode donn´e, la capacit´e de la plaque `a ˆetre excit´ee par le nombre d’onde excitateur. L’acceptance de couplage entre un mode (m, n) et une excitation caract´eris´ee par un nombre d’onde kex est maximale lorsque kmn ≈ kex.
– Un filtre fr´equentiel, caract´eris´e par la r´eponse fr´equentielle de la plaque ˜ Hmn(ω) 2 . Celle-ci repr´esente, pour un mode donn´e, la facult´e de r´epondre `a la fr´equence excitatrice. La r´eponse fr´equentielle d’un mode de la plaque est maximale lorsque le mode est r´esonnant, c’est-`a-dire que sa fr´equence propre correspond `a la fr´equence d’excitation.
– Un deuxi`eme filtre spatial, caract´eris´e par le facteur de rayonnement ˜σmn(ω). Celui-ci tra-duit l’acceptance de couplage de la plaque avec un champ acoustique diffus. Les modes dont le nombre d’onde caract´eristique est inf´erieur au nombre d’onde acoustique poss`edent un rayonnement important : ce sont les modes dits rayonnants.
Il apparaˆıt donc que les modes qui influencent le plus la puissance rayonn´ee sont les modes r´esonnants et les modes rayonnants. En basse et moyenne fr´equences (f < fs), les modes r´esonnants sont excit´es par les nombres d’onde a´erodynamique de la zone subconvective (k < ks). En haute fr´equence, les modes r´esonnants sont excit´es par les nombres d’onde acoustique (grandes longueurs d’onde). Les modes rayonnants correspondent quant `a eux, `a toutes les fr´equences, aux nombres d’onde acoustique. Le m´ecanisme d’excitation d’un panneau automobile est r´esum´e sur le diagramme en nombre d’onde pr´esent´e sur la figure 5.5. Cette figure montre que, pour un ´ecoulement subsonique, le spectre en nombre d’onde de pression pari´etale se compose d’une par-tie convective, de nombre d’onde caract´eristique kc = ω/Uc, et d’une partie acoustique de nombre d’onde caract´eristique ks = ω/cs. Sur ce diagramme, la distance entre les “taches” acoustique et a´erodynamique d´epend du nombre de Mach M puisque ks = M kc. Comme on peut le voir sur la figure, en haute fr´equence, les nombres d’onde de l’excitation acoustique correspondent mieux `a celui de la r´esonance des vitrages. Ainsi, la composante acoustique joue un rˆole tr`es important dans l’excitation des vitrages. Pour le rayonnement, les seuls nombres d’onde aptes `
a rayonner en champ lointain sont ceux qui, pour chaque fr´equence, sont situ´es dans le disque acoustique. Ainsi, les petits nombres d’onde jouent un rˆole particuli`erement important dans le couplage fluide-structure.
Fig. 5.5 – Diagramme en nombre d’onde des fluctuations de pression pari´etale d’un ´ecoulement subsonique `a une fr´equence fix´ee (sur cette figure k0 repr´esente ks) : (a) pour ks ≤ kf ≈ kc (b) pour ks≤ kf ≤ kc et (c) kf ≤ ks≤ kc (figure extraite d’Arguillat et al. [9])
5.4 M´ethodes de calcul de bruit rayonn´e, m´ethode ´el´ements finis
FEM
De mani`ere g´en´erale, on peut distinguer deux voix principales pour calculer le rayonnement acoustique d’un panneau soumis `a une excitation a´eroacoustique :
– La m´ethode SEA est un outil simple et rapide qui consiste `a ´ecrire le bilan statistique de l’´energie entre l’excitation, la vibration et l’´emission du panneau [17,38]. L’utilisation de la SEA reste souvent limit´ee aux g´eom´etries et les conditions aux limites simples. On note que dans cette approche toutes les grandeurs physiques sont exprim´ees de mani`ere statistique. Pour le champ d’excitation l’expression de la DISP ou spectre en nombre d’onde est n´ecessaire pour chaque type d’excitation. On utilise g´en´eralement des mod`eles simplifi´es tels qu’un champ diffus pour l’excitation acoustique et un champ de type Corcos pour l’excitation turbulente (le logiciel commercial AutoSEA utilise par exemple le mod`ele de Cockburn et Robertson [32] qui introduit l’effet d’´epaisseur de couche limite dans le mod`ele de Corcos). L’obtention des param`etres des DISP de chaque champ d’excitation sur un panneau automobile est un travail tr`es complexe. En particulier, l’´evaluation exp´erimentale de l’amplitude du champ acoustique reste encore tr`es approximative [63] `a cause de la tr`es faible ´energie de cette composante par rapport au champ turbulent. Concernant le mod`ele d’excitation turbulente, quelque soit le mod`ele choisi pour repr´esenter cette composante, il doit ˆetre judicieusement adapt´e en fonction de l’´energie d’excitation et des param`etres de convection et de corr´elation. Ces param`etres peuvent ˆetre choisis `a partir des donn´ees issues de mesures microphoniques sur la paroi [10] ou `a partir des donn´ees issues de calcul instationnaire de l’´ecoulement [101]. – La FEM (Finite Element Method) est bas´ee sur la discr´etisation des ´equations gouvernant la dynamique du syst`eme. Les g´eom´etries et les conditions aux limites complexes peuvent ˆetre
5.4. CALCUL DE BRUIT RAYONN ´E, M ´ETHODE ´EL ´EMENTS FINIS FEM 137