Contribution des diff´erentes composantes du champ a´eroacoustique

10³ 30 35 40 45 50 f (Hz) f (Hz)

Fig.5.17 – DSP de champ de pression acoustique rayonn´e aux points (a) (x^′, y^′, z^′) = (0, 0, 0.6), (b) (x^′, y^′, z^′) = (−0.3, 0.3, 0.6). (∗) Champ inhomog`ene ; (×) Premier champ homog`ene ´equivalent α1 = 2, α2 = 0.7, θeq = 53^◦; () Deuxi`eme champ homog`ene ´equivalent α1 = 8, α2 = 1.1, θ_eq= 53^◦

5.6 Analyse des contributions au rayonnement `a l’aide de la

fonc-tion de coh´erence

On rappelle que dans le domaine fr´equentiel la corr´elation entre deux ph´enom`enes al´eatoires est quantifi´ee par la fonction de coh´erence donn´ee par l’´equation :

˜ γ_p²_epr(x_i, x^′_j, ω) =    PN n=1p˜⁽ⁿ⁾_e (x_i, ω)˜p^(n)∗_r (x^′_j, ω)  (PN n=1p˜⁽ⁿ⁾e (x_i, ω)˜p^(n)∗e (x_i, ω))(PN n=1p˜⁽ⁿ⁾r (x′ j, ω)˜p^(n)∗r (x′ j, ω)) ^(5.23) Dans cette partie en profitant de l’acc`es aux diff´erentes r´ealisations du champ spatial d’exci-tation, la fonction de coh´erence est ´evalu´ee entre le champ rayonn´e et le champ d’excitation total ou le champ d’excitation associ´e `a une de ses composantes. Dans un second temps (paragraphe

5.6.2), la fonction de coh´erence est utilis´ee pour ´etudier la possibilit´e de distinguer des sources localisables par rapport aux autres composantes du champ via leur contribution au bruit rayonn´e. L’´equation (5.23) fournie la coh´erence entre deux points. Pour obtenir une tendance moyenne, cette fonction est ´evalu´ee pour l’ensemble des combinaisons possibles entre les Nx = 600 points d’excitation sur la plaque et les Nx′ = 50 points de mesures du champ rayonn´e ce qui repr´esente un nombre total de 30000 combinaisons. L’´equation suivante repr´esente l’expression de la coh´erence moyenne entre le champ d’excitation et le champ rayonn´e :

˜γ2 pepr(ω) = ¹ NxNx′ Nx X i=1 N_x′ X j=1 ˜ γ_p²_epr(xi, x^′_j, ω) (5.24)

5.6.1 Contribution des diff´erentes composantes du champ a´eroacoustique

De la mˆeme mani`ere que dans la partie 5.5.1 trois familles de calcul sont consid´er´ees. Pour la premi`ere famille, l’excitation est purement acoustique et la deuxi`eme famille repose sur une

5.6. ANALYSE DES CONTRIBUTIONS AU RAYONNEMENT 151 excitation purement a´erodynamique. La coh´erence moyenne est simplement ´evalu´ee entre le champ d’excitation et le champ rayonn´e. On rappelle que le niveau d’´energie moyenne consid´er´ee pour la composante turbulente est 20 dB sup´erieur `a celui de la composante acoustique. La figure5.18

montre la coh´erence moyenne en fonction de la fr´equence pour ces deux excitations. La mˆeme ˜γ2 pepr  (a) ˜γ2 pepr  (b) 10³ 10⁴ 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 10³ 10⁴ 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 f (Hz) f (Hz)

Fig. 5.18 – Coh´erence moyenne entre : (a) le champ d’excitation purement acoustique (champ diffus) et le rayonnement associ´e, (b) le champ d’excitation purement a´erodynamique (mod´ele de Corcos) et le rayonnement associ´e.

analyse est effectu´ee pour l’excitation a´eroacoustique pour laquelle le champ est constitu´e des deux composantes a´erodynamique et acoustique. La coh´erence moyenne est ´evalu´ee entre le champ total d’excitation et le champ rayonn´e. La connaissance exacte des deux composantes (acoustique et a´erodynamique) pr´esentes dans le champ total permet d’analyser s´epar´ement la coh´erence moyenne ´evalu´ee entre le champ total rayonn´e (issu de l’excitation a´eroacoustique) et chacune des composantes acoustique et a´erodynamique constituant ce champ d’excitation a´eroacoustique. Les r´esultats sont montr´es sur la figure 5.19.

˜γ2 pepr  10³ 10⁴ 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 f (Hz)

Fig. 5.19 – Coh´erence moyenne entre le champ total rayonn´e associ´e `a une excitation a´eroacoustique et : (-) la composante acoustique, (-) la composante a´erodynamique et (-) le champ d’excitation a´eroacoustique total.

La figure 5.20 montre la superposition des courbes pr´ec´edemment obtenues (figures 5.18 et

5.19). L’allure ´equivalente des courbes de coh´erence sur la figure 5.20 pour les composantes as-soci´ees montre que le comportement vibroacoustique de plaque vis-`a-vis d’un champ d’excitation

n’est pas influenc´e par l’ajout d’un autre champ d’excitation. Ce r´esultat, attendu, confirme que la r´eponse vibroacoustique de la plaque est lin´eaire pour chaque composante du champ d’excitation. Rappelons que les diff´erentes composantes des champs d’excitation sont statistique-ment ind´ependantes (d´ecorr´elation parfaite entre les composantes). Il n’est donc pas r´eellestatistique-ment n´ecessaire d’effectuer des calculs ind´ependants pour chaque composante comme on l’a fait dans cette ´etude. On constate tout de mˆeme sur la figure 5.20 que les courbes de coh´erence ne sont pas strictement identiques. Plus clairement pour le champ diffus, on peut remarquer (en basses fr´equences) un ´ecart de niveau de coh´erence entre une excitation purement acoustique et une excitation a´eroacoustique. Cet ´ecart est li´e `a la participation de la composante a´erodynamique dans le rayonnement pour l’excitation a´eroacoustique.

˜γ2 pepr  10³ 10⁴ 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 f (Hz)

Fig. 5.20 – Coh´erence moyenne entre (-) excitation acoustique et rayonnement associ´e, (

-) rayonnement d’une excitation a´eroacoustique et la composante acoustique, (-) excitation a´erodynamique et rayonnement associ´e, (-) rayonnement d’une excitation a´eroacoustique et la composante a´erodynamique.

Il faut souligner que l’interpr´etation du niveau de coh´erence moyenne et son lien avec la causalit´e pour une excitation spatialement ´etendue reste tr`es d´elicate. En effet la fonction de coh´erence d´etermine le taux de ressemblance lin´eaire entre deux ph´enom`enes. Si on consid`ere l’´ev´enement A comme une ´eventuelle source de l’´ev´enement B, le niveau de coh´erence renseigne sur la relation de cause `a effet entre eux. Dans ce cas une valeur de coh´erence de 1 indique que A est la seule source de B et un niveau de coh´erence de 0 montre que A ne participe pas dans la g´en´eration de B. Les valeurs interm´ediaires de coh´erence traduisent le fait que A n’est pas le seul contributeur `a l’´ev´enement B. Il est donc raisonnable de s’interroger sur le niveau tr`es faible de coh´erence moyenne entre le champ d’excitation a´erodynamique et le rayonnement associ´e (voir figure 5.18(b)). Sachant qu’il est le seul contributeur au champ rayonn´e dans ce cas, on pourrait s’attendre `a une coh´erence de “1”. En r´ealit´e, l’interpr´etation de causalit´e via la fonction de coh´erence ne peut ˆetre consid´er´ee que pour une source ponctuelle. Plus pr´ecis´ement, le signal repr´esentant la “source” que l’on ´etudie doit repr´esenter la totalit´e de l’information de cette source. Si l’´ev`enement “source” est d´ecrit par un ensemble de points comme c’est le cas pour les champs spatialement ´etendus sur les plaques, l’interpr´etation sur la causalit´e ne peut ˆetre effectu´ee que si la source est coh´erente entre ces points d’espace. Dans ce cas, en chaque point, le signal repr´esente la totalit´e de l’information “source”. Dans le cas d’un champ a´erodynamique, la coh´erence entre le champ rayonn´e et un seul point de la plaque est quasi-nulle, ´etant donn´e que, d’une mani`ere caricaturale, chaque point de la plaque re¸coit une excitation “ind´ependante”. Plus pr´ecis´ement, pour un champ d’excitation unique, le niveau de coh´erence entre le champ rayonn´e et le champ d’excitation sera de l’ordre de grandeur de L<sub>c</sub>(ω)/L<sub>xy</sub> o`u L_c(ω) est la longueur

5.6. ANALYSE DES CONTRIBUTIONS AU RAYONNEMENT 153 de corr´elation caract´eristique du champ d’excitation et L_xy est la longueur caract´eristique de la plaque. Pour une onde plane acoustique, L_c(ω) = L_xy quelles que soient les fr´equences, la coh´erence sera donc de 1. C’est ce que confirme la figure 5.21 qui montre la coh´erence moyenne ´evalu´ee sur 30 r´ealisations d’une onde plane acoustique (chaque r´ealisation poss`ede une phase ind´ependante) et les rayonnements associ´es.

˜γ2 pepr  10³ 10⁴ 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 f (Hz)

Fig. 5.21 – Coh´erence moyenne d’un champ d’excitation de type onde plane et le rayonnement associ´e

Dans le cas d’un champ diffus, la longueur de corr´elation d´ecroˆıt en sinus cardinal en fonction de la fr´equence ce qui explique la d´ecroissance progressive observ´ee sur la figure5.18(a). Dans le cas d’un champ a´erodynamique, la longueur de corr´elation caract´eristique est beaucoup plus petite que pour les champs acoustiques et elle d´ecroˆıt exponentiellement en fonction de la fr´equence. On peut consid´erer que les tr`es faibles valeurs observ´ees sur la figure5.18(b) sont li´ees `a la limite de convergence de l’estimateur de coh´erence et que la valeur r´eelle de la coh´erence est encore plus faible que celle observ´ee sur cette figure.

Cette exp´erience montre que la contribution au champ rayonn´e d’une source ´etendue faible-ment coh´erente ne peut pas ˆetre correctefaible-ment ´evalu´ee par une analyse de corr´elation. En effet la limite de coh´erence entre le champ d’excitation et le champ rayonn´e est fix´ee par la coh´erence du champ d’excitation sur la surface de l’excitation. Plus la source est coh´erente plus sa contribution au champ rayonn´e peut ˆetre ´evalu´ee par l’analyse de corr´elation. La d´etermination de la contri-bution des composantes du champ d’excitation a´eroacoustique telles qu’elles sont choisies semble ˆetre impossible. En fait, la composante acoustique de l’excitation pourrait ˆetre la somme de plu-sieurs sources compactes spatialement coh´erentes sur la surface d’excitation mais incoh´erentes entre elles : le choix du champ diffus (une infinit´e d’ondes planes) comme champ d’excitation acoustique n’est qu’une simple hypoth`ese. Supposons que l’on dispose d’un signal repr´esentant parfaitement chacune de ces sources. Il serait alors possible de relier leur contribution au rayon-nement `a l’aide de leur niveau de coh´erence avec le champ rayonn´e. Cela fait l’objet de la partie suivante.