D´ecomposition du champ de pression en modes POD

a fait visible mis `a part aux tr`es basses fr´equences. Une premi`ere tˆache peu ´energ´etique centr´ee autour des petits nombres d’onde correspond `a la composante acoustique du champ de pression. Une deuxi`eme tˆache plus ´energ´etique repartie sur les grands nombres d’onde correspond `a la composante turbulente du champ de pression. On note ´egalement que la tˆache li´ee `a la compo-sante turbulente est beaucoup plus ´etal´ee que celle de la compocompo-sante acoustique. En tr`es basses fr´equences (par exemple `a 43 Hz) comme les deux composantes sont centr´ees autour des nombres d’ondes relativement petits, elles sont confondues et leur distinction sur le plan des nombres d’onde n’est pratiquement pas possible.

5.7.4.2 D´ecomposition du champ de pression en modes POD

Afin de s´eparer les deux composantes acoustique et turbulente, une POD temporel est ap-pliqu´ee au champ de pression pari´etale. Le champ de pression ´etant constitu´e de 7200 points spatiaux et 1000 ´echantillons temporels, la formulation Snapshot de la POD dans le domaine espace-temps est choisie. Sur la figure 5.39, la somme cumul´ee des valeurs propres est pr´esent´ee pour les 300 premiers modes.

Le premier mode repr´esente 11.1% de l’´energie fluctuante du champ de pression. Cette quantit´e d’´energie pr´edit la pr´esence d’un nombre limit´e de longueurs d’onde tr`es grandes et ´energ´etiques par rapport au reste des longueurs d’ondes du champ. On d´ecompose le champ de pression se-lon l’´equation 5.26 en deux parties. Le spectre en nombre d’onde de chaque partie est calcul´e conform´ement `a la d´emarche suivie et aux param`etres choisis pour le calcul du spectre en nombre d’onde du champ total d´ej`a pr´esent´e. Le r´esultat est pr´esent´e sur la figure 5.40 pour diff´erentes fr´equences et diff´erents nombres de mode POD de coupure.

Comme une grande fraction de l’´energie du champ est pr´esente aux basses fr´equences et les longueurs d’ondes portantes cette ´energie sont parmi les plus grandes longueurs d’ondes (λ = U_c/f = 2π/k), les premiers modes POD sont repr´esentatifs de ces longueurs d’onde. Cela peut tr`es bien ˆetre observ´ee sur la figure5.40pour f = 43 Hz. On note ´egalement qu’aux basses fr´equences, comme la distinction des deux composantes acoustique et turbulente du champ (si

(a) (b) dB (ref : 1 Pa2m2/(rad3s−1)) dB k_z k_z k_x k_x (c) _dB (d) _dB k_z k_z k_x k_x

Fig. 5.38 – Densit´e spectrale en nombre d’onde des fluctuations de pression adimensionnelle C_p^′ = 1^{P − ¯P}

2ρcuc (avec ρ_c = 1.204 Kg/m3 et u_c = 45 m/s) pari´etale dans la zone d’´etude. (a) - (d) estimation `a : 43, 501, 1003 et 1700 Hz.

on suppose que les deux existent !) est impossible, on ne peut pas d´eterminer ce que les premiers modes POD repr´esentent. Ainsi sachant que l’´energie est essentiellement concentr´ee dans les basses fr´equences et les bas nombres d’onde, cette r´epartition ´energ´etique va piloter la r´epartition de l’ensemble des modes POD. Etant donn´e que les premiers modes POD spatiaux sont de lon-gueurs d’ondes fix´ees et ne varient pas avec la fr´equence, on obtient un filtre robuste et efficace en nombres d’onde pour des fr´equences ´elev´ees.

Il reste maintenant `a d´eterminer le num´ero du mode de coupure permettant de s´eparer au mieux ces deux composantes. Prenant compte du fait que les modes POD spatiaux sont de lon-gueurs d’ondes fix´ees et ne varient pas avec la fr´equence, la qualit´e de s´eparation avec un nombre de coupure (N<sub>c</sub>) donn´ee diff`ere d’une fr´equence `a l’autre. On se contente donc de comparaisons visuelles entre les spectres en nombres d’onde des champs s´epar´es en utilisant diff´erents nombres de mode de coupure N<sub>c</sub>. Dans notre cas, le nombre de mode de coupure ainsi obtenu qui a fourni une bonne s´eparation pour la plupart des fr´equences correspond `a N_c = 3. Le spectre en nombre d’onde des parties s´epar´ees avec ce nombre de coupure est donn´e pour deux fr´equences sur la figure 5.41.

5.7. S ´EPARATION ACOUSTIQUE/TURBULENTE PAR LA POD 171

PN

n=1λn/PNmode

n=1 λn

N

Fig. 5.39 – Evaluation cumul´ee des valeurs propres

Cette analyse de transform´ees en nombre d’onde, montre que la POD permet de s´eparer de mani`ere satisfaisante les composantes acoustique et turbulente pour des fr´equences ´elev´ees.

Une autre analyse possible pour v´erifier la nature (acoustique ou turbulente) de chaque partie des membres de gauche de l’´equation5.26peut ´egalement ˆetre effectu´ee via une analyse de phase. De la mˆeme mani`ere que dans la partie 4.5.3 on compare la phase relative entre les signaux de pression extraits en deux points s´epar´es d’une distance ∆x avec la phase relative d’une onde plane acoustique ou la phase li´ee `a une onde qui se propage `a la vitesse de l’´ecoulement (ou plus pr´ecis´ement la vitesse de convection des structures turbulentes).

Cette analyse est effectu´ee pour diff´erents points et pour diff´erentes distances de s´eparation. Le r´esultat varie en fonction de l’endroit o`u les deux points sont consid´er´es. Il varie ´egalement en fonction de la distance de s´eparation entre eux. Cependant, dans la grande majorit´e des cas, les r´esultats obtenus sont similaires `a ceux pr´esent´es dans ce qui suit. Sur la figure5.42, la phase relative entre les signaux de pression en deux points ((x, z) = (−0.14, 0.86) et (−0.09, 0.86)) s´epar´es d’une distance de 5 cm selon l’axe x est repr´esent´ee pour le champ original et les champ s´epar´es par les modes POD.

En parcourant une distance de s´eparation relativement grande les structures turbulentes peuvent perdre leur coh´erence. En effet, dans ce cas la distance parcourue est plus grande que la longueur de corr´elation moyenne des structures turbulentes. Cette perte de coh´erence se traduit par la perte de la relation de phase entre les deux signaux mesur´es `a une telle distance. La figure

5.42(a) montre que la distance de s´eparation consid´er´ee (5 cm) est bien trop grande pour que les fluctuations de pression puissent garder une relation de phase lin´eaire. En revanche les mˆemes signaux projet´es sur les trois premiers modes POD montrent un d´ephasage relatif qui s’approche de mani`ere assez satisfaisante au d´ephasage li´e `a une onde plane acoustique. Pour la partie recons-truite avec les modes restants la phase est aussi bruit´ee que le champ original (figure5.42(c)). Ce r´esultat est attendu car les modes restant contiennent la majorit´e de l’´energie du champ initial. Sur la figure5.43 une distance de s´eparation de 1 cm selon l’axe x avec le mˆeme point de d´epart que le cas pr´ec´edent est consid´er´ee. Comme on peut l’observer sur la figure 5.43(a), pour cette distance de s´eparation les fluctuations de pression poss`edent une phase lin´eaire qui co¨ıncide avec une onde plane poss´edant une vitesse de propagation de 32 m/s. Cette vitesse de propagation

N_c=1 N_c=3 N_c=4 43 Hz dB (ref : 1 Pa2m2/(rad3.Hz)) dB dB k_x k_x k_x 501 Hz dB (ref : 1 Pa2m2/(rad3.Hz)) dB dB k_x k_x k_x 1002 Hz dB (ref : 1 Pa2m2/(rad3.Hz)) dB dB k_x k_x k_x 1700 Hz dB (ref : 1 Pa2m2/(rad3.Hz)) dB dB k_x k_x k_x

Fig. 5.40 – Densit´e spectrale en nombre d’onde sur la ligne kz = 0 des fluctuations de pression adimensionnelle C_p^′ = ^{P − ¯}1 ^P

2ρcuc (avec ρ_c = 1.204 Kg/m³ et u_c = 45 m/s) pari´etale dans la zone d’´etude : (-) champ total, (•) la partie reconstruite avec N_c premiers modes et (+) la partie reconstruite avec les modes allant de N_c jusqu’au dernier mode (milli`eme mode).

5.7. S ´EPARATION ACOUSTIQUE/TURBULENTE PAR LA POD 173 peut ˆetre consid´er´ee comme ´equivalente `a la vitesse de convection des structures turbulentes par l’´ecoulement moyen (la vitesse moyenne correspond `a 45 m/s) dans cette direction. Pour cette distance de s´eparation et aux basses fr´equences, les longueurs d’ondes du champ de pression correspondent `a ces mˆemes longueurs d’onde grandes et ´energ´etiques qui ont ´et´e capt´ees par les premiers modes POD. Cela peut tr`es bien ˆetre observ´e sur la figure 5.43(b) o`u la phase relative est trac´ee pour le champ projet´e sur les 3 premiers modes POD. Sur cette figure la pr´esence d’une phase turbulente (phase d’une onde plane poss´edant la vitesse de convection de 32 m/s) jusqu’`a 250 Hz peut tr`es bien ˆetre observ´ee. Pour les fr´equences plus ´elev´ees une phase proche d’une phase acoustique (phase d’une onde plane acoustique) est obtenue. De la mˆeme mani`ere attendue (comme dans le cas pr´ec´edent) la phase de la partie reconstruite `a l’aide des modes restants (figure5.43(c)) correspond `a celle du champ initial.

Ces r´esultats permettent de valider cette nouvelle proc´edure de s´eparation des composantes acoustique et a´erodynamique d’un champ de pression pari´etal r´ealiste.

(a) (b) dB (ref : 1 Pa2m2/(rad3.Hz)) dB kz kz k_x k_x (c) _dB (d) _dB k_z k_z k_x k_x

Fig. 5.41 – Densit´e spectrale en nombre d’onde des fluctuations de pression adimensionnelle C_p^′ = 1^{P − ¯P}

2ρcuc (avec ρ_c = 1.204 Kg/m³ et u_c = 45 m/s) pari´etale dans la zone d’´etude : (a) 501 Hz, fluctuations de pression projet´ees sur les 3 premiers modes POD ; (b) 501 Hz, fluctuations de pression projet´ees sur les modes allant de 4 `a 1000 ; (c) 1700 Hz, fluctuations de pression projet´ees sur les 3 premiers modes POD ; (d) 1700 Hz, fluctuations de pression projet´ees sur les modes allant de 4 `a 1000.

5.7. S ´EPARATION ACOUSTIQUE/TURBULENTE PAR LA POD 175

f Hz f Hz f Hz

Fig. 5.42 – Phase relative entre les fluctuations de pression aux points (x, z) = (−0.14, 0.86) et (−0.09, 0.86) : onde plane se propageant dans la direction de x `a (-) 340 m/s et (-) 32 m/s. (-) La pression issue de la simulation num´erique : (a) champ total (b) partie reconstruite avec les trois premiers modes et (c) partie reconstruite avec les modes restants

f Hz f Hz f Hz

Fig. 5.43 – Phase relative entre les fluctuations de pression aux points (x, z) = (−0.14, 0.86) et (−0.13, 0.86) : onde plane se propageant dans la direction de x `a (-) 340 m/s et (-) 32 m/s. (-) La pression issue de la simulation num´erique : (a) champ total (b) partie reconstruite avec les trois premiers modes et (c) partie reconstruite avec les modes restants